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解析函数的无穷次可导性

问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。1.解析函数的高阶导数定理3.3在定理3.1条件下,函数f(z)在区域D内有各阶导数,并且有注上式也可写成该公式在求积分是常用到先证明结论关于n=1时成立。是D内另一点。证明只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0

现在估计上式右边的积分。设以z为心，以d为半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取z+h，使得0<|h|<d，那么当时设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度是L，于是我们有因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证[证毕]注3.高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.例1解例2解由柯西－古萨基本定理得由柯西积分公式得例3解根据复合闭路定理和高阶导数公式,例4解分几种情况同理有根据复周线Cauchy积分定理和高阶导数公式,2解析函数的无穷可微性定理3.4设函数f(z)在z平面上区域D内解析,则f(z)在D内有各阶导数,并且它们也在D内解析.证明在数学分析中，我们知道一个在区间内有导数的实变函数f(x)在这区间内不一定有二阶导数。但在一个区域内的解析函数，即只设有一阶导数的函数却具有任意阶导数。可见复变函数在一区域内有导数是很强的条件，由它可逐步推出柯西-黎曼方程，柯西定理，柯西公式及解析函数有任意阶导数。课堂练习答案四、小结与思考高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函数的

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