1第一章典型方程与定解条件

一、基本物理定律与典型方程的建立二、各种定解条件的数学描述三、偏微分方程定解问题的基本概念数学物理方程定解问题的提法泛定方程（传输方程、波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等）定解问题：定解条件（初始条件，边界条件）四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类

数学物理方程与特殊函数第一章一些典型方程和定解条件的推导11/12/20231条件：均匀柔软的不可拉伸细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。1.1.1牛顿运动定律与弦振动方程研究对象：弦线上某点在t时刻沿纵向的位移。一、基本物理定律与典型方程的建立11/12/20232弦振动的相关模拟11/12/20233波的传播的相关模拟11/12/20234弦振动的相关模拟11/12/20235简化假设：(2)横向振幅极小，

张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：其中：11/12/20236其中：………一维波动方程令：------非齐次方程自由项--齐次方程忽略重力作用：11/12/20237从麦克斯韦方程出发：在没有场源的自由空间：例1时变电磁场与三维波动方程11/12/20238对第一方程两边取旋度，根据矢量运算：由此得：得：即：同理可得：——电场的三维波动方程——磁场的三维波动方程11/12/202391.1.2能量守恒与热传导方程热传导现象中所要研究的物理量是温度。热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场温度与那些量有关呢？例如，手握铁棒放在炉火烧，火中的一端温度高，手握的一端温度低，这说明温度分布与位置有关；同时，手握的一端也会慢慢变烫，即温度分布与时间有关。给定一空间内物体，设其上的点在时刻t的温度为

,研究温度的运动规律。11/12/2023101.1.2能量守恒与热传导方程傅立叶试验定律是傅立叶在1822年出版的著作《热的解析理论》中提出的。傅立叶是导热理论的奠基人，他通过实验，分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立叶试验定律，从而揭示了导热热流与局部温度梯度间的内在联系。热场2、傅里叶(Fourier)热传导定律(试验定律):

1、热量守恒定律:温度变化吸收的热量通过边界流入的热量热源放出的热量两个物理定律11/12/2023111.1.2能量守恒与热传导方程根据傅立叶试验定律，在dt

时间内从dS

流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为高斯公式(矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分)傅立叶试验定律：在任意时刻，各向同性的连续介质内任意位置处的热流密度在数值上与该点的温度梯度成正比，而方向相反，即热场其中k为导热系数，公式中的负号表示热量的传递方向与温度梯度方向相反。11/12/202312热场流入的热量导致V内的温度发生变化

,温度发生变化需要的热量为：由热量守恒定律得：由及的任意性知由此得到热传导方程：它反映了导热物体内的能量守恒关系。11/12/202313热场如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程为热扩散系数。对均匀且各向同性物体，即物体的热物性参数均为常数，则有对应地，称(1)为齐次热传导方程。称f为非齐次项(自由项)。11/12/202314质量守恒与扩散方程

1858年,菲克(Fick)参照了傅里叶于1822年建立的导热方程,获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式:菲克第一定律。假设有一单相固溶体,横截面积为A,浓度C不均匀,在dt时间内,沿法向通过点x处截面A所迁移的物质的量与该处的浓度梯度成正比：由扩散通量的定义:单位时间内通过单位横截面的粒子数，有菲克第一定律

（1）

式中J称为扩散通量.常用单位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)；

是同一时刻沿轴的浓度梯度；D是比例系数，称为扩散系数。

11/12/202315质量守恒与扩散方程扩散过程扩散通量J的方向与浓度降低的方向一致11/12/202316如图所示，在扩散方向上取体积元和分别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在Δt

时间内，体积元中扩散物质的积累量为扩散流通过微小体积的情况质量守恒与扩散方程即扩散物质的浓度满足扩散方程：而于是11/12/202317质量守恒与扩散方程如果扩散系数为常数，则上式可写成一般称以下两式为菲克第二定律：1.1.3静电位势与拉普拉斯方程电势u

确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程

泊松方程11/12/2023181.1.4质量守恒与连续性方程所要研究的物理量：时刻t流体在位置M(x,y,z)处的密度假设流体在无源的区域内流动，流速为在dt

时间内从dS

流入V的质量为：从时刻t1到t2通过S流入V的质量为高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）11/12/202319由区域和时间段的任意性以及被积函数的连续性，得到连续性方程

如果流速为常向量，则得到传输方程

如果流体不可压缩，即流体密度为常数，则有流入的质量导致V内的浓度发生变化

从而，V内的质量增量满足

即11/12/202320同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、

波动方程的初始条件1、初始条件——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度二、各种定解条件的数学描述11/12/202321(2)自由端：x=a

端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件——描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(3)弹性支撑端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧的支撑。或:第一类边界条件Dirichlet边界条件第二类边界条件Neumann边界条件第三类边界条件Robin边界条件或：11/12/202322B、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值(S为给定区域v的边界)(2)绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。交换系数；周围介质的温度,C、拉普拉斯方程的边界条件第一类边界条件Dirichlet边界条件第二类边界条件Neumann边界条件第三类边界条件Robin边界条件11/12/2023231、定解问题三、偏微分方程定解问题的基本概念(1)初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题(初边值问题)：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。2、定解问题的适定性

解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。11/12/202324(5)按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程3、微分方程一般分类

(1)按自变量的个数，分为二元和多元方程；(3)按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程；(2)按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和非线性微分方程；(4)按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程；例如，两自变量的一阶偏微分方程可写作：判断下列方程的类型思考11/12/202325线性方程的解具有叠加特性4、叠加原理

叠加原理的物理意义：几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。（以热传导方程为例）叠加原理I设是下面方程的解：

在G内收敛并且对t可逐项求导一次，对x可逐项求导两次，则和函数在G内仍然是（1）的解.若级数也就是说，如果是（1）的解，则其无限线性组合也是解。11/12/202326叠加原理II11/12/202327叠加原理III设是下面方程的解：

若在积分号下对t求导一次，对x可求导两次，则在G上是以下方程的解：11/12/202328叠加原理IV11/12/2023295、微分方程的解

古典解：如果将某个函数u代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。通解：含有相互独立的任意常数的个数与偏微分方程阶数相同的解。特解：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。形式解：未经过严格数学理论验证的解为形式解。6、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法11/12/202330四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类

两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式(1)其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。

若在区域上某点处满足，则(1)在点处是双曲型的；，则(1)在点处是抛物型的；，则(1)在点处是椭圆型的.如果方程(1)在所讨论的区域内每点都是双曲型(抛物型或椭圆型),则称方程在区域内也是双曲型(抛物型或椭圆型)。

11/12/202331如果一个方程在区域Ω

中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上表现为抛物型，那么，这样的方程在区域Ω

中称为混合型的。例如方程：容易看出，如果点(x0,y0)上方程表现为双曲型或椭圆型，那么一定存在该点的一个邻域，使方程在这个邻域内是双曲型或椭圆型的。但如果这个点上方程表现为抛物型，则不一定存在一个邻域，使方程在这个邻域内表现为抛物型。11/12/202332

按照偏微分方程的分类方法，很容易看出一维弦振动方程是双曲型的，一维热传导方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。这也从侧面说明了对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。例如，空气动力