微专题1比较大小的方法(教师版)

微专题1比较大小的方法考点一考点一作差、作商法比较大小【方法储备】若两个待比较的代数式为同类型，可直接利用作差法，作商法，比较大小.【典例精讲】例1.(2023·山东省青岛市月考)（多选）下列不等式不恒成立的是(

)A.a2+3>2a B.a2+b2解：A:a2+3-2a=(a-1)2+2>0恒成立，所以a2+3>2a，故A正确；

B:a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，所以a2+例2.(2022·四川省成都市月考)已知a=logπe2，b=lnπe，c=A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a解：a=logπ⁡e2=lne2lnπ=2lnπ，

b=lnπe=lnπ-ln⁡e=lnπ-1，例3.(2023·湖北省期末)若a=log23，b=log4A.a=b=c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a解：2a=log23，2b=log∵3>6，2c又c，b都大于0，∴c<b．∴c<b<a，

故选：D．【拓展提升】练11(2023·辽宁省沈阳市模拟)已知a=log53，b=log138，A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a解：∵a-34=log53-34=4log53-34=log581-log51254<0，∴a<34，练12(2023·江苏省扬州市月考)已知a=5，b=15(ln 4-ln 3)，c=16(lnA.a<c<b B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c解：先比较a与b大小，即比较1与3ln43大小，

比较13与ln43大小，比较e13与43大小，比较e与(43)3大小，

e>2.5，(43)3<2.5，∴e>(43)3，∴a>b，

比较b与c考点二考点二基本不等式法比较大小【方法储备】利用基本不等式及其变形,比较大小.【典例精讲】

例4.(2022·陕西省宝鸡市月考)设f(x)=lnx，0<a<b，若p=f(ab)，q=f(a+b2)A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q解：设f(x)=lnx，0<a<b，即有a+b2>ab，

则p=f(ab)=lnab=12例5.(2023·江苏省扬州市模拟)设a=log53，b=log85A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b解：∵ab=log53log85=log53⋅log58<(log53+log58)【拓展提升】练21(2023·江西省南昌市模拟)（多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(

)A.2aba+b≥ab B.(a+b)解：对于A，因为a>0，b>0，所以

a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号，

所以a+b⋅ab≥2ab，

所以2aba+b≤ab，故A中不等式不成立；

对于B，a+b1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba⋅≥1-3ab22a2·2b练22(2022·广东省广州市模拟)（多选）已知a>0,b>0，且2a+8b=1，则A.3a-4b>33 B.解：对于A，因为a>0，b>0，且2a+8b=1，

所以2a-8b=2a-(1-2a)=4a-1>-1，

所以32a-8b>3-1=对于B，(2a+8b)2=2a+8b+22a∙8b=1+22a∙8b≤1+(2a+8b)=2，

当且仅当对于C，log2(2a)+log2(8b)=log2(2a·8b)≤log2(2a+8b2对于D，已知a>0，b>0，且2a+8b=1，

所以(2a+8b)2≤2(2a)2+(8b)2，

即1故选ABC．考点三性质法考点三性质法比较大小【方法储备】1.直接利用不等式的性质、指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小.2.化为同分母或同底数、同指数、同真数的对数式和指数式，利用其单调性进行比较.3.借助中间值进行比较：函数类型、底数和真数都不一样,直接比较或利用函数性质判断有一定困难时,可以借助一个恰当的中间变量比较大小.4.借助对数运算的性质比较大小：对数的底数和真数都是较小的正整数,或者对数的真数和底数存在一定的倍数关系,则可采用对数运算的性质，进行化简变形，再比较大小.【典例精讲】

例6.(2023·山东省新高考联合模拟)（多选）已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列说法正确的是(

)A.1a-c>1b-c B.a-c>2b解：由题意得实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则由题干得a>0，c<0，a-c>0，b-c>0，b-a<0，

对于A：1a-c-1b-c=b-c-a+ca-cb-c=b-aa-cb-c<0，则1a-c<1b-c，故A错误；

对于B：由题意得a-b>0，-a<0，可得a-b>-a，即a-b>b+c，也即a-c>2b，故B正确；

对于C：a2例7.(2022·浙江省金华市月考)

设a=0.540.45，b=0.450.54，c=log0.540.45A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.c>a>b解：因为f(x)=0.54x在R上递减，

所以1=0.540>0.540.45>0.540.54，

又因为h(x)=x0.54在(0,+∞)上单调递增，所以0.540.54>0.450.54>0，

由1=0.540例8.(2023·安徽省亳州市模拟)已知a=23ln10，b=103ln2，c=3A.a<c<b B.b<c<a C.c<a=b D.a=b<c解：由a=23ln10，b=103ln2，c=34ln3，整理变形为，

lna=3ln10·ln2，lnb=3ln2·ln10，lnc=4ln3·ln3，

可得lna=ln例9.(2022·云南省曲靖市模拟)已知定义在R上的函数fx=x⋅2x,a=flogA.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a解：因为定义在R上的函数fx对于∀x∈R，都有f(-x)=-x⋅2所以函数fx=x⋅2当x∈(0,+∞)时，函数f(x)=x⋅2x，则所以函数f(x)=x⋅2x在因为a=f(log5由对数函数y=log5x(x>0)所以f(log52)>f(lo又因为ln72>lne=1>lo所以b>c>a，故选：B．【拓展提升】练31(2022·广东省汕头市模拟)（多选）已知x，y均大于0，ex+x=ey+2y，则下列结论正确的是A.log3x<log3y B.解：∵x，y均大于0，ex+x=ey+2y>ey+y，而f(x)=ex+x是增函数，∴x>y>0，

对于A，y=log3x在(0,+∞)上是增函数，∴log3x>log3y，故A错误；

对于B，y=x-23在(0,+∞)上是减函数，∴x-23<y练32(2022·期末)已知0<a<b，logax+logby<logay+logA.当logab>0时，x>y B.当logab>0时，x<y

C.当logab<0时，x<y D.当解：由0<a<b，logax+logby<logay+logbx，可得logaxy1-1log又y>0，则x<y;

若0<a<1，则0<a<b<1，所以logab<1，则1-1logab<0,

所以logaxy>0=loga1,

所以0<xy<1，又y>0，则x<y，故B正确，A错误；

当logab<0时，又0<a<b，所以0<a<1考点四考点四数形结合比较大小涉及指数函数、对数函数的方程，比较方程根大小，对方程进行同底化恒等变形,引入参数,把方程问题转化为两个函数图像交点的横坐标问题,利用函数的图象与性质来确根的大小关系，进而比较大小.【典例精讲】例10.(2023·江西省南昌市模拟)若正数x，y，z满足5x=6y=A.z>y>x B.z>x>y C.y>z>x D.x>z>y解：设5x=6y=log7z=k>1，则x=log5k，易得7k>log5k>例11.(2022·湖南省邵阳市模拟)已知a=x13，b=(13)xA.当a=b时，c<a B.当b=c时，a<c

C.当a=c时，b<a D.当c=0时，a<b解：当a=b时，x=13，此时c=log所以当a=b时，有c>a，故A错误；

作出a=x13，b=(13)x，c=log13x，的图象如下图：

当b=c时，即两图象在交点A处相等，

设交点横坐标为t，此时t13>log13t，所以a>c，故B错误；

同理，如图，当a=c【拓展提升】练41(2022·陕西省宝鸡市模拟)已知f(x)=(35)|x-1|，则下列不等关系正确的是(

)A.f(log27)<f(log0.52.5)<f(1)解：画出函数f(x)=(3，

函数f(x)的图象关于直线x=1对称，

由函数f(x)的图象可知，f(1)是最大值，

∵|log27-1|=|log27-log22|=log272<2练42(2023·湖北省孝感市月考)（多选）已知实数a，b，c满足clna=c⋅eb=1，则下列关系式中可能成立的是(

)A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a解：由clna=c⋅eb=1可得lna=eb=1c，

设lna=eb=1c=t,t>0,

则a=et,b=lnt,c=1t考点五考点五构造具体函数比较大小【方法储备】1.移项构造函数：已知条件的数学结构非常对称,并且含有两个变量x和y，对于两个变量的式子，常采用移项构造函数的方法构造新函数,然后通过求导数研究函数的单调性，并结合对数运算，从而解决问题.2.单调性构造法：构造相同函数，比较不同函数值.3.作差、作商构造法：构造不同函数，比较相同函数值.通过作差、作商构造函数，研究单调性，比较函数值与0或1的大小关系.4.放缩法比较大小：放缩法与构造函数法相结合，利用等式两边形式上接近的特点，利用相关结论，进行适当放缩，使其在形式上一致，从而构造函数.常用结论：=1\*GB2⑴与指数型函数有关的常见不等式有：=1\*GB3①ex≥x+1，=2\*GB3②ex≥ex，=3\*GB3③当x∈0,1时，ex<11-x，=4\*GB3④ex≥1+x+12=2\*GB2⑵与对数型函数有关的常见不等式有：=1\*GB3①lnx≤x-1，=2\*GB3②lnx≥1-1x，=3\*GB3③lnx<x，=4\*GB3④当x∈0,1时，12x-1x<lnx<x-1；当x∈=3\*GB2⑶与三角函数有关的常见不等式有：=1\*GB3①当x∈0,π2时，sinx<x<tanx，=2\*GB3②当x∈0,+∞时，sinx<x，=3\*GB3③1-12x2【典例精讲】例12.(2022·重庆市联考)若2a-2bA.3a-b>1 B.(13解：由2a-2b>lnb-lna，可得2a+lna>2b+lnb，

由于函数f(x)=2x+lnx在(0,+∞)上单调递增，

∴f(a)>f(b)，∴a>b>0，

∴3a-b>30=1，故A正确；

∵y=(1例13.(2023·湖南省长沙市月考)已知a=ln33，b=e-1，c=3ln28A.b>c>a B.a>c>b C.a>b>c D.b>a>c解：a=ln33,b=lnee,c=ln88；

设f(x)=lnxx，x>0，∴x≥e时，f'(x)≤0，

∴f(x)在[e,+∞)上单调递减，例14.(2023·江西省百校联考)设a=ln1.1,b=e0.1-1,c=A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<a<c解：令fx=ex-x+1，所以f'x=ex-1，

当x>0时f'x>0，当x<0时f'x<0，

即函数fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，

所以fxmin=f0=0，

即ex≥x+1，当且仅当x=0时取等号，

令x=0.1，可得b=e0.1-1>0.1，

令h(x)=tanx-x，x∈(0,π2)，则h'(x)=1cos2x-1>0，

∴h(x)=tanx-x在x∈(0,π2)上单调递增，

∴h(x)>tan0-0=0，∴x∈(0,π2)时，tanx>x．∴c=tan0.1>0.1，

令gx=lnx-x+1，则g'x=1x-1=1-xx，

所以当0<x<1时，g'x>0，当x>1时，g'x<0，

即函数gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，

所以g例15.(2023·北京市市辖区专项测试)设a=e0.01，b=1.01，c=ln1.01，其中e为自然对数的底数，则(

)A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b解：令f(x)=ex-(x+1)，则f'(x)=ex-1，

当x≥0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(0.01)=e0.01-1.01>f(0)=0，即e0.01>1.01，

令g(x)=lnx-x，则g'(x)=1x-1=1-xx，

当【拓展提升】练51(2023·浙江省杭州市期中)若7a=5，8b=6，e2c=2+e2，则实数a，A.a>c>b B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c解：∵7a=5，8b=6，

∴a=log75,b=log86，

∵

e2c=2+e2，∴2+e2c=e2，即c=log2+e2e2，

令f(x)=logx+2x，x∈e,+∞，

则f(x)=lnxln(x+2)，x∈e,+∞，

∴

f'x=1xln(x+2)-1练52(2023·山东省青岛市模拟)若ea+lna=eA.a2>b B.2a>b C.a解：ea+lna=eb+12ln(eb)=eb+lneb=eb+练53(2023·江苏省镇江市模拟)（多选）e是自然对数的底数，m，n∈R，已知mem+lnn>nlnn+A.若m>0，则m-n>0 B.若m>0，则em-n>0

C.若m<0，则m+lnn<0 D.若解：原式变形为mem-m>nlnn-lnn，

构造函数f(x)=xex-x，f'(x)=ex(x+1)-1，

∵x>0时，ex(x+1)>1，∴f'(x)>0，f(x)单调递增，

∵x<0时，ex(x+1)<1，∴f'(x)<0，f(x)单调递减

对于A，取m=n=1满足原式，所以A错；

对于原式⇔f(m)>f(lnn)，∴m>lnn，即em>n，所以B对；

对于C，当lnn≤0时，显然会有m+lnn<0;

当lnn>0时，根据单调性可设f(t)=f(m)>f(lnn)，t>0且∴h(m)<0，即f(t)=f(m)<f(-m)，

又∵x>0时，f(x)单调递增，∴t<-m，∴lnn+m<t+m<0，故C对；

对于D，取m=-2，n=1e，满足原式，但练54(2023·安徽省黄山市月考)已知a，b，c满足a=sin13，b=e-13A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b解：由正弦函数的单调性可知，a=sin 13<sinπ6=1设y=lnxx，则y'=(lnxx)'=1-lnxx2

当x>e时，y'<0，所以函数y=lnxx在(e,+∞)单调递减，

则ln33<lne练55(2023·湖北省黄冈市月考)设a=2ln1.01，b=ln1.A.a<b<c B.b解：∵a=2ln1.01=ln1.0201，b=ln1.02，∴a>b，

令f(x)=2ln(1+x)-(1+4x-1)，0<x<1，

令1+4x=t，则1<t<5，

∴x=t2-14，∴g(t)=2ln(t2+34)-t+1=2ln(t2+3)-t+1-2ln4，

∴g'(t)=4tt2+3-1=4t-t2-3t2+3=-(t-1)(t-3)t2+3>0，1<t<5，

∴g(t)在(1,5)上单调递增，

∴g(t)>g(1)=2ln4-1+1-2ln4=0，

∴f(x)>0，即2ln(1+x)>1+4x-1，0<x<1，

取x=0.01，则2ln1.01>1.04考点六考点六构造抽象函数模型比较大小【方法储备】根据题目给定的代数形式构造抽象函数模型：=1\*GB2⑴观察两个结构：=1\*GB3①等价不等式的变形结构(分离变量)；=2\*GB3②已知条件中关于导数f'(x)的关系式特征；=2\*GB2⑵构造抽象函数模型：定义域→观察结构→结合函数四则运算的求导公式构造函数→求导(生成已知条件形式)→单调性→求解问题的“等价不等式(分离变量)”.另外，选择题还可以构造特殊的函数解析式解题.【典例精讲】例16.(2022·广东省东莞市月考)已知定义在(0,π