专题10.3直线与圆圆与圆的位置关系(教师版)

专题10.3直线与圆、圆与圆的位置关系课标要求核心素养1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.与实际问题．，掌握用几何法处理圆与圆的位置关系的相关问题的过程.数学抽象数学运算直观想象1.点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点x0xx点x0,xx点x0,xx2.直线与圆的位置关系设圆C:x-a2+y-b2=r2,直线l:Ax+By+C=0由x-a2+y-b2=r2Ax+By+C=0消去y(或位置关系相离相切相交图形公共点个数012量化方程观点∆<0∆=0∆>0几何观点d>rd=rd<r【重要结论】1.直线被圆截得的弦长=1\*GB2⑴几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2=2\*GB2⑵代数法：设直线y=kx+m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F2.圆的切线方程常用结论=1\*GB2⑴过圆x2+y2=r2上一点=2\*GB2⑵过圆x-a2+y-b2=r2上一点=3\*GB2⑶过圆x2+y2=r2外一点M(x3.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r公切线条数43210【重要结论】1.相交两圆的公共弦所在直线方程设圆C1:x2+y2+D1x+E2.圆系方程=1\*GB2⑴同心圆系方程：x-a2+y-b2=r2，=2\*GB2⑵过直线Ax+By+C=0与圆C:x2+yx=3\*GB2⑶过圆C1:x2+y2x2+y当时，D1-当两圆相切时，为过两圆切点的直线方程.1.【人教A版选择性必修一2.例6P97】古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(0,6)，B(0,3)、动点M满足MAMB=12，记动点M(1)求曲线C的方程；(2)过点N(0,4)的直线l与曲线C交于P，Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程．解：(1)设Mx,y，由点A(0,6)，B(0,3)动点M满足

MAMB=12，故曲线C的方程x(2)当直线l无斜率时，此时直线与圆相交P，Q两点，

则P0,5,Q0,9或者Q0,5,P当直线l有斜率时，设l：

y=kx+4，联立直线与圆的方程y=kx+4x2+y-7Δ=36k2-20设Px1,y1,Qx2,y若P为线段NQ的中点，

则x2+02=x1y2+42=y1，所以x2=2x1，所以k=±153，因此l2.【人教A版选择性必修一习题2.5第13题P99】已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b.若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b解：由圆C的方程：x2+y2=4，可得，圆C的圆心为原点O(0,0)，半径为2．

若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，

则O到直线l：y=x+b的距离d小于1，

直线l的一般方程为：x-y+b=0，

∴d=|b|2<1，

解得考点一考点一直线与圆的位置关系【方法储备】判断直线与圆的位置关系的常用方法：=1\*GB2⑴几何法：利用圆心到直线的距离d与r的关系判断．=2\*GB2⑵代数法：联立方程之后利用∆判断．=3\*GB2⑶点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．【典例精讲】例1.(2022·辽宁省朝阳市联考)若直线3x+4y+a=0与圆x-22+y2=4有且仅有一个公共点，则实数a解：由题意，直线3x+4y+a=0与圆x-22+y2=4有且仅有一个公共点，

则直线与圆相切，所以d=r

故圆心2,0到直线3x+4y+a=0的距离d=a+6故答案为：4或-16．例2.(2023·辽宁省丹东市月考)若无论实数a取何值时，直线ax+y+a+1=0与圆x2+y2-2x-2y+b=0都相交，则实数b的取值范围A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-6) D.(-6,+∞)解：∵x2+y2-2x-2y+b=0表示圆，

∴2-b>0，即b<2．

∵直线ax+y+a+1=0过定点(-1,-1)．

∴点(-1,-1)在圆x2+y2-2x-2y+b=0例3.(2022·浙江省台州市月考)已知直线y=kx+4与曲线y=4-x2有两个不同的交点，则k解：易知曲线

y=4-x2表示圆心在原点，半径是2的圆在x轴以及x轴上方的部分，

直线y=kx+4过定点P(-4,0)，

作出曲线y=4-x2的图象，在同一坐标系中，再作出直线y=k(x+4)，

当直线与曲线相切时，可得，4k1+k2=2，

解得k2=13，【拓展提升】练11(2022·广东省佛山市月考)若曲线C1：x2+y2-2x=0与曲线C2：y(y-mx-m)=0有四个不同的交点，则实数解：由题意可知曲线C1：x2+y2-2x=0表示一个圆，化为标准方程得：

(x-1)2+y2=1，所以圆心坐标为(1,0)，半径r=1；

C2：y(y-mx-m)=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，

由直线y-mx-m=0可知：此直线过定点(-1,0)，

在平面直角坐标系中画出图象如图所示：

当直线y-mx-m=0与圆相切时，

圆心到直线的距离d=2|m|m练12(2023·浙江省嘉兴市模拟)已知点A-1,0，B2,0与直线l:mx-y+m=0m∈R，若在直线l上存在点P，使得PA=2PB，则实数mA.-33,33 B.解：设点P(x,y)，由于|PA|=2|PB|，

所以(x+1)2+y2=2(x-2)2+y2，整理得(x-3)2+y2=4，

∵P在直线l考点二考点二弦长问题【方法储备】1.求直线与圆相交弦的弦长=1\*GB2⑴几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l=2r2-d=2\*GB2⑵代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．2.圆的弦的性质的应用=1\*GB3①圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心；=2\*GB3②圆心与弦中点的连线垂直于这条弦.【易错提醒】注意讨论斜率不存在的情况，当直线与圆相交时，几何法求弦长较方便，一般不用代数法.【典例精讲】例4.(2023·山西省运城市模拟)已知直线l:2x-y-2=0被圆C:x2+y2-2x+4y+m=0截得的线段长为2解：圆C：

x2+y2-2x+4y+m=0

，即

x-12+y+22=5-m

则圆心

C

到直线

l:2x-y-2=0

的距离

d=2×1--2又直线被圆截得的线段长为

255

，所以

2r2解得

m=4

．故答案为：

4例5.(2022·江西省上饶市月考)已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4关于直线l：y=x-a的对称圆的方程为(x-a2)2A.22 B.23 C.2或2解：因为圆C：(x-a)2+(y-2)2=4与圆(x-a2)2+y2=4关于直线l：y=x-a对称，

所以点(a,2)与点(a2,0)关于直线y=x-a对称，

即2-0a-a2=-12+02=a+a22-a，解得a=-1或a=2，【拓展提升】练21(2022·江西省南昌市模拟)（多选）已知直线l: (a+1)x-(a-1)y-2=0(a∈R)，圆C:(x-3)2+(y-4)2=25，直线l和圆C交于A、A.直线l过定点(0,1)

B.线段AB的长度的最大值为10

C.圆心C到直线AB的距离的最大值为13

D.线段AB的长度不可能为解：对于A:直线方程可以整理为(x-y)a+x+y-2=0，

由方程组x-y=0,x+y-2=0,解得x=1,y=1,所以直线l过定点P(1,1)，A错误;

对于B:当直线l通过圆心C时，AB的长度最大，最大值为直径10，B正确;

对于C:如图，当直线l⊥PC时，圆心C到直线AB的距离的最大，

最大值为PC=(3-1)2+(4-1)2=13，C正确;

对于D:当PC⊥l时，AB的长度最小，

AB=2练22(2023·四川省成都市模拟)已知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切，切点为A(2,4)．(1)求圆C的方程；(2)已知斜率为-1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N．=1\*GB3①若直线l被圆截得的弦MN的长为14，求直线l的方程；=2\*GB3②当△MCN的面积最大值时，求直线l的方程．解：(1)圆C的圆心为C，依题意得直线AC的斜率kAC=-1，

∴直线AC的方程为y-4=-(x-2)，即x+y-6=0，

∵直线OA的斜率kOA=42=2，

∴线段OA的垂直平分线为y-2=-12(x-1)，即x+2y-5=0．

解方程组

x+y-6=0x+2y-5=0，得圆心C的坐标为(7,-1)．

∴圆C的半径为r=|AC|=(7-2)2=1\*GB3①圆心C到直线l的距离d=|6-m|2，|MN|=2r2-d2=250-d2=14，

∴d=|6-m|2=1，解得m=6±当且仅当d2=25时，即(6-m)当△MCN的面积最大值时，直线l的方程为y=-x+6±5考点三考点三切线与切线长问题【方法储备】1.求过圆C上一点P(x①若kPC=0,则切线斜率不存在，即切线方程为②若kPC不存在，则切线斜率为0，即切线方程为y=y③若kPC存在且不为零，则切线斜率为-12.求过圆外一点P(x理论：过圆外一点可作圆的两条切线，至少有一条切线斜率存在.=1\*GB2⑴几何法：=1\*GB3①设切线方程为y-y0=kx-x0，则利用圆心到直线的距离为半径r，求出斜率k；=2\*GB3②若求出的k值有2个，即可得出两条切线方程；若k值只有1个，则另一条切线斜率不存在，要补充说明.=2\*GB2⑵代数法：设切线方程为y-y0=kx-x0，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝03.过圆外一点P(x0,y=1\*GB2⑴求切线长：PA=PC2-r2；（r=2\*GB2⑵求直线AB的方程：转化为求以P为圆心,切线长PA为半径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程.4.过圆外一点P(x0,y求四边形PACB中的最值问题：=1\*GB2⑴S四边形PACB=2S△PAC=2\*GB2⑵求∠APB的最值，转化为求Rt△PAC中∠APC的最值即可补充：通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决。用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算,解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.【典例精讲】例6.(2023·河北省张家口市期末)过点P(1,1)作圆E：x2+y2A.x+y-2=0 B.2x-y-1=0

C.x-2y+1=0 D.x-2y+1=0或2x-y-1=0解：由圆E的方程：x2+y2-4x+2y=0可得圆心坐标为E(2,-1)，

将P的坐标代入圆的方程可得1+1-4+2=0，

可得P点在圆上，

所以过P点与圆相切的直线与直线PE垂直，

因为kPE=-1-12-1=-2，

所以过P点与圆相切的直线的斜率为12例7.(2023·江苏省南京市模拟)过圆O：x2+y2=5外一点P(2,5)作圆O的切线，切点分别为A.2 B.5 C.45解：根据题意，圆O：x2+y2=5的圆心为(0,0)，半径r=5，

若P(2,5)，则|PO|=4+5=3，

圆O：x2+y2=5外一点P(2,5)作圆O的切线，切点分别为A，B，

则|PA|=|PB|=9-5=2，

故点A、B在以P为圆心，半径为2的圆的圆上，

该圆的方程为(x-2)2例8.(2023·湖南省长沙市月考)已知圆O:x2+y2=2，M是直线l：x-y+4=0上的动点，过点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则解：设∠AMB=2θ，则MA⋅可知当OM⊥l时，|MA|最小且2θ最大，cos2θ设点O到直线l的距离为d，则d=2因为圆O的半径为2，所以当OM⊥l

时，sinθ=12，可得cos所以MA⋅MB的最小值为3．故答案为：3．【拓展提升】练31(2022·重庆市模拟)在平面直角坐标系xOy中，过动点P作圆A：(x-1)2+(y-1)2=1的一条切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=2解：|PQ|=2|PO|⇒|PA|2-1=2|PO|2，

设P(x,y)，

则(x-1)2+(y-1)2-1=2(x2+y2)，

化简得(x+1)2+(y+1练32(2023·广东省广州市月考)（多选）过直线l:2x+y=5上一点P作圆O:x2+y2=1的切线，切点分别为A，BA.若直线AB//l，则|AB|=5 B.cos∠APB的最小值为35

C.直线AB过定点(25,1解：设Px0,y0，Ax1,y1，Bx2,y2，

因为过P作圆O:x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，

所以A、B在以OP为直径的圆上，则其方程为x-x022+y-y022=x02+y0222，

易知A、B是圆O与其的交点，所以两圆方程相减可得AB所在的直线方程，

因此弦AB所在直线方程为xx0+yy0=1，

对于A，因为直线AB//l，所以x0=2y0，

又因为点P在直线l:2x+y=5上，则2x0+y0=5，解得x0=2,y0=1，

因此弦AB所在直线方程为2x+y=1，

因为点O(0,0)到直线2x+y=1的距离为55，

所以弦AB的长AB=21-552=455，故A错误；

对于B，设∠APB=2θ，OP=d，则∠OPA=θ，

则sinθ=1d，考点考点四圆与圆的位置关系【方法储备】1.判断圆与圆的位置关系=1\*GB2⑴几何法：=1\*GB3①确定两圆的圆心坐标和半径长；=2\*GB3②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1+r2，|r1=3\*GB3③比较d，r1+r2，|r=2\*GB2⑵代数法：将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.

若方程中∆>0，则两圆相交，在程中∆=0，则两圆相切；若方程中∆<0，两圆外离或内含.2．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．【典例精讲】例9.(2022·重庆市月考)圆C1:x2+y2-2mx+4y+(m解：圆C1即(x-m)2+(y+2)2=9，表示以C1(m,-2)为圆心，半径等于3的圆．

圆C2即(x+1)2+(y-m)2=4，表示以C2(-1,m)为圆心，半径等于2例10.(2022·山东省济南市期中)（多选）圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0

B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0

C.公共弦AB的长为22

D.解：圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+4x-6y=0，

由两圆的方程相减得公共弦AB所在直线方程为x - y = 0，故A正确；

由选项A可得直线AB的中垂线的斜率k=-1，

又因为中垂线过圆O1:x2+y2-2x=0的圆心O1(1,0)，

所以线段AB中垂线的方程为x+y-1=0，故B正确；

可得圆心O1(1,0)到直线x - y = 0的距离【拓展提升】练41(2023·湖北省荆州市模拟)已知圆x2+y2=a与圆x2+y2+4x+2y+b=0交于M，N两点，若|MN|=855，则实数解：由题得圆x2+y2=a的圆心为(0,0)，半径为a;

圆(x+2)2+(y+1)2=5-b，其圆心为(-2,-1)，半径为5-b，

所以a>0,b<5,a-5-b<5<a+5-b,,=1\*GB3①

联立x2+y2=a,x2+y2+4x+2y+b=0,练42(2023·福建省福州市模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=r2(r>0)与圆M：(x-3)2+(y-4)2=9相交于A，B两点，若线段AB上存在一点P(A.23,37 B.4,8 解：圆M的圆心为M(3,4)，半径为3，圆O的圆心为O(0,0)，半径为r，两圆的圆心距|OM|=5，则|r-3|<5<r+3，解得r∈(2,8)，由两圆方程作差可得两圆的相交弦AB所在直线的方程为6x+8y-r2-16=0，

点P为线段AB中点时，以点P为圆心，1为半径的圆与圆M无公共点，这样的点P必存在，

此时圆心M(3,4)到直线AB的距离为d=6×3+8×4-r2-1636+64=r2-3410，

所以d+1<3，即练43(2022·湖北省孝感市模拟)（多选）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x-a2+A.a2+b2=1

B.直线AB的方程为2ax+2by-3=0

C.AB中点的轨迹方程为x2+y解：圆C1、C2的圆心坐标分别为(0,0)，(a,b)，两圆的半径均为1，

两圆方程相减得两圆公共弦所在直线AB的方程2ax+2by-a2-b2=0，

C1(0,0)到直线AB的距离d=a2+b24a2+4b2=a2+b22，

又公共弦AB的长为1，由垂径定理得122+a2+b222=12，解得a2+b2=3，

所以直线