第18讲相似三角形专题之一线三等角(原卷版)

第18讲相似三角形专题复习之一线三等角【知识点睛】常见基本类型：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型模型性质应用：一般地：当动点E一般地：当动点E运动到底边的中点时，CF有最大值模型构造：图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度.构造步骤：找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；特别地：当tanα=1/2、1/3等特定值时，α也可以是特殊角；定线——通常以“水平线”或者“竖直线”为“一线三等角”中的“一线”；特殊角度时也可以是45°等倾斜直线；构相似——通常以“特殊角”为“中间角”，过“中间角”的两边与“一线”的交点构造两个含特殊角的Rt△；例：如右图，当∠ABP=45°时，∵∠ABP在y轴上，∴在y轴上分别构造两个等腰直角三角形△AOE，△PHG，则在y轴上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB∽△BGP∴模型特例——K型图（三垂定理）性质：性质：普通”K型图”可得左右两个△相似，即△1∽△2【当AB=BC时，△1≌△2】中点型”K型图”亦可得三个△两两相似，即当BD=BE时，△1∽△2∽△3以上性质反之亦成立，即也可用于证明中点或角相等或线垂直。应用：当一个直角放在一条直线上时，通常要构造“K型图”解题当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K型图”解题由“K型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算“K型图”常和“A字图”或“8字图”类的平行相似结合在一起求长度“K型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂线。如图：【类题讲练】1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF，连接AE，EF，若点E是CD中点，则CF长为（）A． B．1 C．2 D．32．如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当BF＝1，AE＝时，则AD的长是（）A． B． C．2 D．3．如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．点C为BD上一点，连接AC、CE．当BC＝（）时，可使AC⊥CE．A．3 B．2或4 C． D．2或34．如图，点A，B，C在同一直线上，∠A＝∠DBE＝∠C，则下列结论：①∠D＝∠CBE，②△ABD∽△CEB，③＝，其中正确的结论有（）个．A．0 B．1 C．2 D．35．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长．6．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于F，则AF＝．7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD＝∠B，则CD＝．8．如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．9．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝．（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是．10．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（a，3）（a＞0），P为x轴上一点，∠PAB＝45°，∠PBA＝30°，则a的值为．11．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是线段DC上的动点，过点E作EF⊥BE，使EF＝BE，连接BF交AD于点G，EF交AD于点H．以下结论正确的是．①△BCE∽△EDH；②∠BGE＝∠DGE；③点F到直线GE的距离最大值为；④点H到直线GE的距离最大值为．12．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为．13．如图是一款上铺的收纳挂篮（如图1），其侧截面可看作直角梯形，现有一长方体形状的物体放置在该挂篮中，当物体如图2放置时，AB∥PQ．正方形DMEC为露出挂篮部分，此时S正方形DMEC＝400cm2，当物体如图3放置时，B'与Q重合，四边形为D′FNC′露出挂篮部分，此时S四边形D′C′NF＝200cm2，且D′F＝C′N＝MF，则D′到PQ的距离为．14．如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E．（1）若AM＝4，EB＝EM＝3，求BM．（2）若AB＝6，BC＝8，①求AM：ME．②若BM＝7，求BE．15．【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△AED∽△BFE．（2）若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长．【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E为AB边上一点（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F．当△CEF为等腰三角形时，BE的长为