年中考数学复习二次函数

考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三*

学海无涯成功属于每天都努力学习的人！二次函数考点一二次函数的定义一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的____次式；②x的最高次数是2；③二次项系数a_____0.2．二次函数的三种基本形式(1)一般形式：

；(2)顶点式：

，它直接显示二次函数的顶点坐标是

；(3)交点式：

，其中x1、x2是图象与x轴交点的_______．二≠y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)(h，k)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)横坐标*

学海无涯考点二二次函数的图象和性质*

学海无涯*

学海无涯考点三二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系字母

项目字母的符号图象的特征

aa＞0开口向上a＜0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab＞0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc＝0经过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交*

学海无涯注意：当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c.若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0.若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0.b2－4acb2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac＞0与x轴有两个交点b2－4ac＜0与x轴没有交点*

学海无涯考点四二次函数图象的平移任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：温馨提示：二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移.*

学海无涯考点五二次函数解析式的求法1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bxc(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．3．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y＝a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入，求出待定系数化为一般式.*

学海无涯考点六二次函数的应用二次函数的应用包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题变量之间关系．(2)用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围．*

学海无涯(1)抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为(

)

A．(3，－4)

B．(3,4)

C．(－3，－4)

D．(－3,4)(2)抛物线y＝－6x2

可以看作是由抛物线y＝－6x2＋5按下列何种变换得到(

)A．向上平移5个单位B．向下平移5个单位C．向左平移5个单位D．向右平移5个单位*

学海无涯y3)，y1、y2、y3

的大小关系是(

)A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2－4ac>0；②abc>0；③8a＋c>0；④9a＋3b＋c<0.其中，正确结论的个数是(

)A．1

B．2

C．3

D．4*

学海无涯【点拨】本组题主要考查二次函数的图象和性质．【解答】(1)A

∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，∴抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为(3，－4)．(2)B把抛物线y＝－6x2＋5向下平移5个单位得抛物线y＝－6x2.*

学海无涯-2a<0，则abc>0，故②正确；当x＝－2时，y>0，此时y＝4a－2b＋c＝4a－2(－2a)＋c＝8a＋c>0，故③正确；x＝1是抛物线的对称轴，由图象知抛物线与x轴的正半轴的交点在3与4之间，则当x＝3时，y<0，即y＝9a＋3b＋c<0，④正确，即正确结论有4个．*

学海无涯

一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0＜x≤1)．(1)用含x的代数式表示:今年生产的这种玩具每件的成本为______元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为______元．(2)求今年这种玩具每件的利润y(元)与x之间的函数关系式．(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少万元？注:年销售利润=(每件玩具的出厂价—每件玩具的成本)×年销售量．*

学海无涯【点拨】本题考查二次函数的应用，解决此类问题时，要审清题意，搞清未知量之间的关系是关键．【解答】(1)(10＋7x)

(12＋6x)(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x.(3)∵w＝2(1＋x)(2－x)＝－2(x－0.5)2＋4.5，又∵－2＜0,0＜x≤1，∴w有最大值，∴当x＝0.5时，w最大值＝4.5(万元)．答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．*

学海无涯1．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是(

)A．2

B．1

C．－1

D．－2答案：A2．抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是(

)A．(2，－3)B．(－2,3)C．(2,3)D．(－2，－3)答案：D3．抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是直线(

)A．x＝1

B．x＝－1

C．x＝－3

D．x＝3答案：A*

学海无涯4．二次函数y=-2x2+4x＋1的图象如何平移就得到y=-2x2的图象(

)A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位答案：C*

学海无涯答案：C6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是(

)A．a＜0B．abc＞0C．a＋b＋c＞0

D．b2－4ac＞0答案：C*

学海无涯答案：B8．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围．*

学海无涯(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值．(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．答案：(1)y＝30－2x(6≤x＜15)

(2)当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃面积最大，最大值为112.5平方米(3)6≤x≤11*

学海无涯二次函数训练时间：60分钟

分值：100分*

学海无涯成功属于每天都努力学习的人！一、选择题(每小题3分，共36分)1．在抛物线y＝－x2＋1上的一个点是(

)A．(1,0)B．(0,0)C．(0，－1)D．(1,1)【解析】将(1,0)，(0,0)，(0，－1)，(1,1)代入y＝－x2＋1，只有(1,0)适合关系式，所以选A.【答案】A

*

学海无涯2．抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标是(

)A．(1,0)B．(－1,0)C．(－2,1)D．(2，－1)【解析】∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴顶点坐标为(1,0)．【答案】A

*

学海无涯3．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是(

)A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是(0,3)D．顶点坐标是(1，－2)【解析】∵y＝－x2＋2x－3＝－(x2－2x＋3)＝－(x－1)2－2，∴抛物线顶点坐标为(1，－2)．【答案】D

*

学海无涯4．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为(

)A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1D．b＝－3，c＝2【解析】抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标是(1，－4)，把顶点向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的坐标为(－1，－1)，所得图象的解析式为y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，∴b＝2，c＝0.【答案】B

*

学海无涯5．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为(

)*

学海无涯A．(2,3)B．(3,2)C．(3,3)D．(4,3)【解析】∵AB平行于x轴，所以A、B两点的纵坐标相同，B点的纵坐标是3，∵对称轴为x＝2，A、B两点关于对称轴对称，所以AB＝4，所以B点的坐标为(4,3)．【答案】D

*

学海无涯A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2【解析】将A、B、C三点横坐标分别代入y＝x2－6x＋c得y1＝7＋c，y2＝－8＋c，y3＝－7＋c，∴y1＞y3＞y2.【答案】B

*

学海无涯7．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是(

)A．y＝－(x＋1)2＋2B．y＝－(x－1)2＋4C．y＝－(x－1)2＋2D．y＝－(x＋1)2＋4【解析】∵y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴抛物线的顶点坐标为(－1,2)．又当x＝0时，y＝3，∴抛物线与y轴的交点为(0,3)．点(－1,2)关于点(0,3)的对称点是(1,4)，即抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的顶点坐标是(1,4)且开口向下，∴旋转后的抛物线的解析式是y＝－(x－1)2＋4.【答案】B

*

学海无涯8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(

)A．a>0

B．c<0C．b2－4ac<0

D．a＋b＋c>0【解析】由图象可知，当x＝1时，二次函数值大于0，即把x＝1代入解析式得a＋b＋c>0.【答案】D

*

学海无涯【解析】由题意知，k<0，则y＝kx2＋kx的图象大致为C.【答案】C

*

学海无涯10．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(

)*

学海无涯A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值【解析】观察图象知二次函数在0≤x≤3时，有最小值－1，最大值3.【答案】C

*

学海无涯11．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(

)A．1米

B．5米C．6米D．7米【解析】∵当t＝1时，h最大＝6，∴小球距离地面的最大高度是6米．

【答案】C

*

学海无涯12.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图所示，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(

)*

学海无涯A．4米

B．3米C．2米D．1米【解析】∵y＝－x2＋4x＝－x2＋4x－4＋4＝－(x－2)2＋4，∴水喷出的最大高度是4米．【答案】A

*

学海无涯二、填空题(每小题4分，共20分)13．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，另一个解x2＝___.*

学海无涯【解析】方程－x2＋2x＋k＝0的解，即为y＝－x2＋2x＋k与x轴交点的横坐标，由图象知抛物线的对称轴为x＝1，其中一个交点坐标为(3,0)，所以另一个交点坐标为(－1,0)，即x2＝－1.【答案】－1

*

学海无涯14．点A(2，y1)、B(3，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1________y2(填“＞”“＜”“＝”)．【解析】分别将x＝2和x＝3代入y＝x2－2x＋1，得y1＝22－2×2＋1＝1，y2＝32－2×3＋1＝4，∴y1＜y2.【答案】＜*

学海无涯15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a、b、c满足a＋b＋c＝0和9a－3b＋c＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线________．【解析】∵当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＝0，∴抛物线经过(1,0)、(－3,0)，∴对称轴是直线x＝－1.【答案】x＝－1

*

学海无涯16．如图所示，抛物线y＝－x2＋2x＋m(m＜0)与x轴相交于点A(x1,0)、B(x2,0)，点A在点B的左侧．当x＝x2－2时，y________0(填“＞”“＝”“＜”)．*

学海无涯【答案】<*

学海无涯17．如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是________．(只要求填写正确命题的序号)*

学海无涯【答案】①③*

学海无涯三、解答题(共44分)18．(15分)如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c

的图象经过A(－1，－1)、B(0,2)、C(1,3)三点．(1)求二次函数的解析式；(2)画出二次函数的图象．*

学海无涯*

学海无涯19．(14分)如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.(1)求m的值；(2)求点B的坐标；(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)，使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．*

学海无涯【答案】解：(1)把x＝3，y＝0代入y＝－x2＋2x＋m

得－9＋6＋m＝0，∴m＝3.(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点B的坐标为(－1,0)．*

学海无涯或∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为x＝1.由于A、B关于直线x＝1对称，故点B的坐标为(－1,0)．(3)如图所示，设点D的坐标为(x，y)，∵x＞0，y＞0，要使S△ABD＝S△ABC，点D的纵坐标与点C的纵坐标应相等，∴y＝3，即－x2＋2x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝2，∴点D的坐标为(2,3)．*

学海无涯20．(15分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1,0)、C(0，－3)两