数3线性代数复习总结

线性代数复习总结第一章：行列式一、概念（1）全排列与逆序数.（2）行列式：不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项）二、性质1、 经转置行列式的值不变2、 某行有公因子k，可以把k提到行列式外3、 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和4、 两行互换行列式变号5、 某行的k倍加到另一行，行列式的值不变三、展开式1、D=工aAn ijijj=1（按第1、D=工aAn ijijj=1n ijiji=12、工aA=0 （k丰i）ijkjj=1

aA=0 （丰j）ijiki=13、aiiM

biMaAAi2ain=bA+bAiii 2i2+AbA.其中A是nin ijaij中aij的代数余子式.aaAAni n2aaAbAaiiiinaMbMa2i22nMMMMM=bAiijMMMMMaAbAaninnnnn四、计算+bA+AbA.22j nnj1、 化成上三角或下三角行列式2、 利用行列式的性质3、 利用行列式的展开式4、用矩阵的性质，A,B为n阶方阵，则有|kA|=kn|A|, |AB|=|A||BB=iaiibCB=iaiib，0B=〔AB,其中A,B是方阵.5、用特征值IAI=nxi第二章：矩阵一、初等变换：1、初等矩阵：单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

2、初等矩阵P左乘A所得PA就是对A作了一次与P同样的初等行变换；初等矩阵Q左乘A所得AQ就是对A作了一次与Q同样的初等列变换3、任何矩阵都可以通过一系列初等行变换变成行阶梯型与行最简型矩阵二、逆矩阵1、证法：n阶方阵A可逆o|A|丰0oR（A）=no3B,使得AB二E（或者BA二E）oA的特征值全不为零2、求法：（1）用定义，找矩阵B，使得AB=E，则A-i=B(2)初等变换法(aeLQ|a(2)初等变换法(aeLQ|a-J1⑶用伴随矩阵法A-1二paa/“1⑶用伴随矩阵法A-1二paa/“A=IAE/A ）-1（4）用分块矩阵法 Dk B丿3、矩阵方程AX=BnX=A-1BAY1kA-1B-「丿AXB二CnX二A-1CB-i三、矩阵的秩1、 计算：用初等变换法，用定义法2、 性质(1)A(1)A为mxn矩阵,则有R(A)<minh,n}2)R(AB)<min1r(a)R(b)}；如果A可逆，则有R(AB)=R(B)(3)A为n阶方阵，则有R(A)=no|A|丰0；R(A)<no|A|=0.四、矩阵运算的性质(1)ABC=a(BC)=(AB)C(2kA=A九，九AB=A九B=AB九.(其中九是数)(3)((3)(AB)T=BTAT(4)(AB)-1=B-1A-1.(5)(A-1)T=(AT)-A,B为n阶方阵，则有|kA|=kn|A|, |AB|=|A||B|.方阵的幂五、特殊矩阵伴随矩阵，正交矩阵AAT=ATA=E，对称矩阵，反对称矩阵，对角矩阵

、线性表示第三章：向量向量0可由向量组a,a,Z线性表示12mO存在数k,k、线性表示第三章：向量向量0可由向量组a,a,Z线性表示12mO存在数k,k,A,k使得，0=ka+ka+Aka12m1122mmo方程组xa+xa+Axa=0有解(即是Ax=0有解)1122mmoR(a,a,Aa)=R(a,a,Aa,0)(即是R(A)=R(A,0))12m12m二、线性相关与线性无关1、向量组a,a,Aa线性相关o存在不全为零的数k,k,A,k使得，12m12mka+ka+Aka二0.1122mm、向量组a1,a2,Aam线性无关o如果k1a1+k2a2+Akmam=0,则有mm=k=A=k=0.2m向量组a,a,Aa线性相关(无关)o方程组xa+xa+A12m1122(只有零解)(即是Ax=0有非零解(只有零解))oR(a,a,Aa)<m(=m)(即是R(A)<m(=m))1 2m其中A=(a,a,Aa)1 2m3、xa=0有非零解mm4、向量组a,a,Aa，如果A=(a,a,Aa)是方阵，则a,a,Aa线性相关(无12m12m12m关)o|A|=0(A|m丰0)三、最大无关组与向量组的秩概念求法：求向量组a,a,Aa的秩及其最大无关组，令A=(a,a,Aa),然后对矩阵A1 2m 1 2m进行行初等变换，化到行阶梯型(或者行最简型)，求出A的秩r，向量组的秩也是r。四、向量组的等价:互相表示五、向量的正交，x=(x1,x2,A,xn)T;y=(y1,y2,A,ynx与y正交olx,y]=xTy=0.第四章：线性方程组(以下A为mxn矩阵，方程组为n元方程组、基本结论2、 如果A是n阶方阵，则Ax=O只有零解o|A|丰0 ；Ax=O有非零解o|A|=0.3、 Ax=b）有唯一解oR（A）=R（A,b）=nAx=b有无穷解oR（A）=R（A,b）<nAx二b无解oR（A）hR（A,b）4、如果A4、如果A是n阶方阵，则Ax二b有唯一解o|A|丰0.且有xj=其中A.|是系数行IAI）列式|A|中把第j列改为常数列，其他不变.（克莱姆法则）二、基础解系，解得结构1、 定理，Ax二O的秩R（A）=r<n,则Ax二O得基础解系恰有n-k个线性无关的解向量.2、 求Ax二b的解，求导出组Ax二O的基础解系与Ax二b的一个特解3、 解的性质若a,a是Ax二b的解，则a-a是Ax二O的解；1212若a是Ax二b的解，耳是Ax二O的解，则a+n是Ax二b的解.第五章：特征值与特征向量一、 特征值与特征向量（以下A是n阶方阵）1、 定义Ax=Xx, （x丰0）2、 求法：（1）特征值：用定义Ax—Xx， °丰0），特征方程|A-九E-0（2）特征向量：用定义Ax—Xx, °丰0）基础解系法，求方程组（A-XE）x二O的基础解系3、 性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2） |a|=mi（3） X是A的特征值，）是多项式，则申是申（A）特征值.（4） A是可逆矩阵，X是A的特征值，则1是A-1的特征值X二、 矩阵的相似1、定义A与B相似oP-1AP=B2、 性质：如果A与B相似，则有R（A）=R（B）|A|=|B；|A_ZE|=|B—XE.3、 可对角化A可对角化OA有n个线性无关的特征向量OR（A一九E）=n一