系统仿真 第 7 章 仿真的输出分析

第7章

仿真的输出分析§7-1引言§7-2性能测度及其估计§7-3终态仿真的输出分析§7-4稳态仿真的输出分析什么是输出分析？为什么要进行输出分析？输出分析的两种状态系统（结构数量是确定的）（结构参数是随机的）输入（参数是随机的）输出？确定的输入激励一个确定的系统，得到的输出就是一个确定的输出。通过一次确定的仿真便可得出解。随机的输入激励一个随机的系统，得到的输出是……?输出的表达形式如何？需要经过多少次的仿真才能说明输出结果？输出分析的目的在于预测一个系统的性能，或比较两个或多个不同系统设计的性能。估计系统的性能参数，以及性能参数估计的有效范围。用仿真统计得到的‘作为观察值的估计量。统计得到的方差S2

就是估计量的偏差范围。或确定出达到给定精度所需的观察次数。在离散事件仿真中，大多数仿真输出数据呈现出自相关的特征，即：前面的输出往往会影响到后面的输出数据。如：库存系统中的初期库存、生产系统中的初始状态、排队系统中初始排队状态和初始服务状态等。接下页7-1引言输出分析的输出状态暂态（终态）稳态（非终态）终态仿真就是指在某个持续时间TE之内系统的仿真，这里E是停止仿真的一个指定的事件，这样被仿真系统在指定初始条件下于时刻0“打开”，并在停止时刻TE“闭合”。非终态系统常被用来研究系统的固有特性，它与系统的初始条件无关，即：不会因为初始条件的改变而变化。非终态系统是指系统在持续循环运行时间内，前一时间结束的仿真结果影响到后一时间的仿真条件。非终态系统是连续运行的系统，至少在很长一段时期内运行。暂态系统仿真常被用来研究系统对外界条件变化的响应能力。7-1引言例题某一个通信系统由几个部件加上几个备用部件组成。其中一个分支环节由A、B、C、D四个部分组成，B和C呈并联方式连接。在系统失效为止的时间周期TE内考虑系统。停止事件E定义为

E={A失效，或D失效，或B与C同时失效}初始条件为各部件在时刻0都是新的（系统处于理想状态）。7-1引言

例题如果研究的是系统电器元件的平均寿命情况。即在相同的实验条件下，进行元件的寿命测量，即：从同样实验条件下，从时刻0开始，一直进行到E事件变真。对于这样的研究，采用的是终态仿真。如果研究的是系统的特性，如通讯能力、通讯容量的峰值等，我们采用的是非终态仿真。因此终态或非终态仿真是随研究要求的变化而改变。7-1引言性能测度估计的方法假设系统性能可用参数θ(或φ)表示，通过系统仿真，我们希望得到θ(或φ)的值。如何得到或统计此值？我们可以运用参数的估计方法：既要得到这个值，又要得到这个值的精度范围——点估计及其区间估计。区间估计的长度是点估计准确度的一个测度。同样，仿真的数据也有两种：第一种仿真输出数据具有离散形式{Y1，Y2，…，Yn}，用来估计θ

第二种仿真输出数据具有连续形式{Y(t)，0≤t≤T}，用来估计φ

7.2性能测度及其估计点估计（离散随机变量）基于数据{Y1，Y2，…，Yn}的θ的点估计定义为式中是基于样本量n的样本均值。如果的数学期望是θ，即则是θ的无偏估计。θ称为离散仿真系统性能的平均测度(即：期望值)。该样本的数学方差的估计值为：称为样本的方差估计值。=θ

7.2性能测度及其估计点估计（连续随机变量）基于数据{Y(t)，0≤t≤T}的φ的点估计定义为式中T是仿真的运行长度，称为Y(t)在〔0，T〕上的时间平均值。φ称为连续仿真系统性能的平均测度。在离散型仿真中，也存在着连续型随即变量，如：动态实体在系统中的排队等待时间。该样本的数学方差的估计值为：称为样本的方差估计值。=φ

是φ的无偏估计。7.2性能测度及其估计区间估计首先，确定在无偏估计下，估计点估计(或)的方差。令表示点估计的真实方差令表示基于数据{Y1，Y2，…，Yn}的方差的估计值。称为数据{Y1，Y2，…，Yn}所描述的随即过程的方差估计值。假设B称为在方差估计中的偏差系数。如果是近似无偏的(B≈1.0)，那么取统计量，根据数理统计的定理，可知，统计量

当B=1，为点估计方差的一个无偏估计。7.2性能测度及其估计区间估计为了使θ达到近似的100（1-

）%置信区间，必须满足

P(|t|>t,)=

f=n-1为t检验的自由度数。n为样本数。通过t分布的标准统计表，可以查得自由度为f，满足置信区间的t,值根据问题：如何求得上式中的到点估计方差的近似无偏估计？7.2性能测度及其估计区间估计如果{Y1，Y2，…，Yn}是统计独立的观察值

由点估计定义式计算，然后计算样本方差

当Yi是独立的、相同分布时，那么样本方差S2是总体方差σ2=var(Yi)(对所有i=1，2，…，n，皆为常数)的无偏估计。由于的方差为，那么σ2()的无偏估计具有f=n-1的自由度只要点估计是无偏的，那么置信区间便是近似正确的称为点估计的标准偏差。标准偏差是点估计准确度的测度。7.2性能测度及其估计区间估计如果{Y1，Y2，…，Yn}不是统计独立的观察值那么是点估计真实方差的有偏估计。当{Y1，Y2，…，Yn}是从一次单独运行中得到的输出观察序列时，Y1，Y2，…，Yn是一个自相关序列（称之为时间序列）。为了定量表示自相关对方差估计的影响，假设时间序列Y1，Y2，…，Yn是均值为θ的协方差平稳的时间序列（稳态过程），对协方差平稳时间序列Y1，Y2，…，Yn用表示滞后k的协方差。7.2性能测度及其估计区间估计依据协方差的定义是Y的自相关函数又其对应的是平稳过程（或近似平稳过程），协方差函数与i无关协方差函数是一个对称的函数当k=0时，函数取最大值

0是序列的总体方差定义（-1

k

1）k=1,2,…,n当对所有的k，

k>0，序列是正自相关的。大部分仿真序列是正相关的。当对所有的k，

k<0，序列是负自相关的。7.2性能测度及其估计对具有式所定义的采祥均值的平稳时间序列来讲，的方差由下式给出7.2性能测度及其估计如果Yi是独立观察值，那么当k=1，2，3，…时，=0，，上式为如果Yi是非独立的观察值，将其表示为如同独立观察值的形式，其期望值由下式给出与独立观察值的估计区间比较，其取值范围的表示方式与B的值有关，B有可能大于1或小于17.2性能测度及其估计

如果相关系数大体上是正的，那么c>1，这样n/c<n，因此B<1。这时，用来估计则偏低。那么所算出的名义的100(1-α)%置信区间将是太小，其实际结果将使仿真置信区间较小而失去点估计的准确度。

7.2性能测度及其估计如果相关系数大体上是负的，这使得c<1(c总是≥0)，这样得出B>1，在这种情况下，用来估计则偏高。由不等式计算出的名义的100(1-α)%置信区间将是太大，它的真实置信度将大于(1-α)。换句话说，点估计的真实精度将比用它的方差估计表示的精度来得高，即这个误差不像第一种情况的误差那么严重，因为当呈现负相关时，估计值的准确度将倾向于比用方差估计表示的准确度更好。7.2性能测度及其估计输出分析例题独立重复运行法一个终态仿真，它在仿真时间区间[0，TE]中运行，并由此得到观察值Y1，Y2，…，Yn。样本量n可以是固定数，也可以是随机变量。终态仿真的目的是估计设仿真共重复R次，每次运行都利用不同的随机数流和独立选择的初始条件(也包含所有含有相同初始条件的情况)。令Yri是第r次重复运行的第i次观察i=1，2，…，n，以及T=1，2，…，R。当固定r时，Yr1，Yr2，…是自相关序列，但对不同的响应r和s，r≠s，Yri和Ysi是统计独立的。对每一次运行r，其样本均值为r=1，2，…，R

7.3终态(暂态)仿真的输出分析独立重复运行法R个样本均值。，，…，是统计独立的，具有同一分布，并且是θ的无偏估计，于是可以应用经典的置信区间估计的方法。假设做了R次独立的重复运行，用来计算整个的点估计。用来估计的方差则其100(1-α)%的置信区间为自由度f=R-1量=称为点估计的标准偏差，它的大小反映了θ的点估计的准确度。当R增加时，标准误差倾向于变得越来越小而趋于0。7.3终态(暂态)仿真的输出分析稳态仿真的作用一个仿真模型的单次运行的目的在于估计系统的稳态或长期特征。设该单次运行得到的观察值是Y1，Y2，…，一般情况下，它是一个自相关时间序列的采样值。所要估计的稳态(或长期)的均值性能测度由下式定义该式意味着仿真模型利用不同随机数的所有仿真都将产生样本均值收敛于θ的序列Yi，i=1，2，…，θ的值与初始条件无关。7.4稳态仿真的输出分析稳态仿真中初始条件所引起的偏差稳态仿真运行一般可以分成两段(目的是为了消除初始条件的影响)第一段从时刻0到时刻T0为初始阶段；第二段接着从T0到停止时刻T0+TE为数据收集阶段。T0的选择是十分重要的，因为用I来表示系统在时刻T0的状态比用时刻0原来的初始条件I。更能反映出系统的稳态行为。暂态稳态I0IT0T0+TE指定初始条件稳态初始条件长度为T0的初始段长度为TE的数据收集段系统在时间T0的状态I是随机变量，系统在此点已达到近似稳态，指在时刻T0的系统状态的概率分布充分接近稳态概率分布，从而使响应变量点估计的动态偏差可以忽略不计。数据收集阶段的长度TE

应足够长以保证得到充分准确的系统稳态行为的估计。7.4稳态仿真的输出分析稳态仿真重复运行方法我们已经看到通过设定T0、TE可以将点估计中初始条件引起的偏差已被减少到可忽略的程度，另外，独立重复运行的方法同样可用来估计点估计值变化范围（适用于无动态偏差），并构造置信区间。如果，在点估计中有明显的动态偏差，那么采用大量的重复运行来减少点估计值的变化范围，就会导致错误的置信区间。大量的重复运行会使得置信区间围绕点发生“偏移”，使原本围绕着θ变短的置信区间“偏移”到围绕着“错误的点”(θ+b)变短。7.4稳态仿真的输出分析在稳态仿真中样本量与准确度的关系提高在100(1-

)%置信区间内的系统估计性能测度θ的准确度在ε之内的方法主要有2种：增加重复运行数R增加运行长度TE

7.4稳态仿真的输出分析增加重复运行数R提高准确度置信区间不等式是均值θ的基于t分布的置信区间，其半长是S是样本标准偏差，R是重复运行次数。=设给定一个准确度临界值ε，我们希望用来估计θ(具有准确度ε)这个事件的发生具有较高的概率，比如说至少为。即：需要取足够大的样本量R来满足7.4稳态仿真的输出分析增加重复运行数R提高准确度仿真初期，假设初始仿真样本量R0（已经运行并得到了观察记录），即仿真者最初已做了R0次独立的重复运行。R0次重复运行将用来得到总体方差

2的初始估计S02

。为符合半长临界值

必须选择更大的样本量R，使得R

R0，且R是满足R

R0，以及的正整数。

7.4稳态仿真的输出分析增加重复运行数R提高准确度（算法）由于t

/2,R-1R

Z

/2(这里Z

/2为R→∞的t

/2，可查表得到)，那么对R的初始估计量在确定出最终样本量R之后，再做R-R0次附加的观察，并得到

的100(1-

)%置信区间和S是基于所有R次重复运行而计算出来的7.4稳态仿真的输出分析若按上一种方法计算，需要附加重复运行次数R-R0，那么，我们可按同一比例R/R0把运行长度T0+TE增加到新的运行长度(R/R0)(T0+TE)。于是，要把附加的数据从时刻0删除到时刻(R/R0)T0，这样有更多的数据可用来计算点估计值。增加仿真运行的时间长度T0+TE增加每次重复运行的总运行长度并删除总运行长度中固定比例T0/(T0+TE)部分的好处是：在点估计中，任何残留的动态偏差将由于附加删除了运行的初始阶段的数据而进一步减少。而该方法可能具有的缺点是：为了继续进行全部R次响应的仿真（从时刻T0+TE运行到(R/R0