《一元函数的导数及其应用》教材分析与教学建议

1.本章地位和作用2.本章学习目标3.本章内容介绍4.本章重难点5.分节教材分析及建议各位老师，大家好！

今天我和大家分享的是选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》的教材分析与教学建议。不当之处，请批评指正。

下面我将从五个方面谈谈我的看法：本章地位和作用

导数是进一步学习数学和其他自然学科的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具。通过本章的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理的基本素养。

本章内容较为丰富，主要包含：导数的概念与意义、导数的运算以及导数在研究函数中的应用。本章是对函数性质进一步的研究、补充和完善，通过对本章的学习，学生将理解导数是一种借助极限的运算，会更好的认识函数的单调性、极值最值等基本性质。同时，将导数运用到不等式、数列等体系中，让学生进一步认识导数的地位和作用。在解决函数的单调性和极值最值时，要让学生进一步体会并掌握分类讨论、数形结合等重要数学思想。这也正是本章的重难点，要有针对性的强化练习。本章学习目标1.导数的概念及其意义（1）通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数的概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。（2）体会极限思想（新旧课程标准唯一变化）（3）通过函数图像直观理解导数的几何意义。2.导数的运算（1）能根据导数的定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax+b））的导数。（3）会使用导数公式表3.导数在研究函数中的作用（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。（2）借助函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系。1.新教材知识结构图：本章内容介绍2、对本章的课时安排如下：约16课时本章内容介绍本章重点

导数的概念是微积分学的最重要的概念之一，在微积分学中具有基础性地位，也是本章最为核心的内容.利用导数的基本运算法则求简单函数和简单复合函数的导数，是利用导数研究函数性质的基础和必备技能，对很多运动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究，其中函数的增减，以及增减的范围、增减的快慢程度等是最基本的问题。借助导数知识可以简明地回这些问题:由f'(x)的正负可知函数f(x)是增还是减，由f'(x)绝对值的大小可知函数变化的快慢程度.不仅如此，导数也是研究函数极值问题、解决优化问题的一种通法。导数定量地刻画了函数的局部变化规律，是研究函数性质的基本工具，因此本章的重点是:导数的概念，利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数和简单复合函数的导数，利用导数研究简单函数的性质.本章重点

导数是瞬时变化率的数学表达，学生对导数的内涵--瞬时变化率的认识有一定难度;同时，从平均变化率过渡到瞬时变化率得到导数概念的过程，蕴含着“用运动变化的观点研究题”“逼近(极限)”“以直代曲”等微积分的重要思想，需要学生不断感悟，因此，导数的概念是本章的一个教学难点。在导数概念及其几何意义的得出过程中，让学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透解决问题的思想方法，并借助具体数值和几何直观体会极限思想是突破难点的关键.

由于复合函数的求导是“从外往内”分两层求导，需要准确分析复合函数的结构，而学生对复合函数的复合过程的认识存在一定的困难，所以求简单复合函数的导数是本章的另一个教学难点。加强对复合数的复合过程的分析，理清复合函数中的自变量、中间变量、因变量，是突破这一难点的关键。1.本节知识结构框图：2.重点：导数的概念，导数的几何意义

难点：导数的概念，曲线的切线概念《5.1导数的概念及其意义》教材分析及建议分节教材分析及建议内容原教材（道）新教材（道）例题35课后练习题313课后习题912思考栏目13探究栏目24观察与归纳栏目12

新教材在在保留并改进原题的同时，也增加了像P70习题第5、7题等，意在考察导数的几何意义和瞬时变化率的表达式：3.内容变化《5.1.1变化率问题》教材分析及建议

新教材用高台跳水和抛物线切线的斜率这两个例子，结合“两个思考、两个观察、四个探究”深入浅出地让学生弄清平均速度与瞬时速度的关系、割线与切线的关系，体会极限思想，感受极限力量；而老教材只是通过两个问题给出了平均变化率的概念，之后对平均变化率取极限得出导数的概念。相比较来说新教材对探究对象的研究更具体，更加符合学生的认知规律。另外，新教材在第61页和64页增加了5道练习，意在让学生会用极限表达式求瞬时速度和切线的斜率，而老教材是没有相应的练习的。4.具体教材分析及建议

问题1高台跳水

采用问题驱动教学模式，先提出核心问题“如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度”

①“计算运动员在0≤t≤

时间里的平均速度”在这段时间段内，运动员的平均速度为0，但运动员几乎一直处于运动状态，从而引起认知冲突，引出瞬时速度，体会研究瞬时速度的必要性。②“瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗?”启发学生解决瞬时速度的思路与方法，展开研究过程。注意:从t=1s两侧采用“运动变化的观点”研究某一时间段内的平均速度;从数值和解析式两个角度，观察平均速度的变化趋势，使学生初步体会极限思想与方法。

③“求运动员在t=2s和某一时刻t时的瞬时速度”要求学生模仿解决问题的过程和方法，使学生对解决问题的思想和方法以及极限思想有更多的感受。建议：第一，应充分引导学生经历解决问题的全过程,并在解决问题的关键点上加强思想方法的引导,主要包括“运动变化的观点”“极限思想与方法”等,只有这样学生对导数的内涵和思想才能有所感悟,进而为抽象概括出导数的概念奠定基础;第二，在列表计算运动员在1与1+△t之间的平均速度时，应充分使用计算工具,计算出较多平均速度的值,以帮助学生观察出平均速度的变化趋势。问题2教材首先提出问题:如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切。对于一般的曲线C,如何定义它的切线咜?Pxyo激发学生兴趣，自然引入课题抛物线切线的斜率建议：充分利用信息技术工具,帮助学生从图形上直观观察,教学宜采用教师引导与学生自主探究相结合的方式进行.

《5.1.2导数的概念及其几何意义》教材分析及建议1.本节知识结构框图：2.重点：求简单函数的导数难点：求简单复合函数的导数分节教材分析及建议

《5.2导数的运算》教材分析及建议内容原教材（道）新教材（道）例题47课后练习题210课后习题1113思考栏目22探究栏目223.内容变化

新教材增加的P81页第6题是比较典型的一类题目，意在让学生意识到，导数值是一个常数。

《5.2.1基本初等函数的导数》教材分析及建议

新教材首先根据导数定义求解了六个常用函数的导数，在此基础上直接给出基本初等函数的导数公式表，通过求导时统一的程序化步骤，让学生进一步理解导数的概念，理解求函数的导数是一种借助于极限的运算，从而进一步体会极限思想；基本初等函数的导数公式则由八个调整为六个，概括性更强。

本节在求前四个常用函数的导数时，特别注意了它们的几何意义和物理意义的解释，教学时要有意识的将导数和导数的几何意义联系起来，使学生深刻认识导数的内涵，逐渐养成应用数学知识解释现实问题的习惯。4.具体教材分析及建议

新教材改变了旧教材极大不合理的部分，第一课时的分配更加的合理，将基本初等函数的导数公式与通货膨胀率问题合到了第一课时，同时增加了1个具体的求函数导数的例题，将原探究题改为边空题，课后也有了配套的练习题，这样的调整使学习目标更加明确，避免了旧教材的杂乱无章。

对于这一节，新教材以上节例2为引导，通过“探究”栏目，采用由特殊到一般的方法，先通过具体函数的求导使学生对运算法则有一个直观的认识，然后再一般化地给出函数和、差的导数，从具体到抽象，适度进行“规则”的抽象概括，从而降低了运算法则的抽象性，使得过程自然、合理，不突兀。《5.2.2导数的四则运算法则》教材分析及建议建议：教学中应让学生独立完成“探究”，从而形成对运算法则的直观感受。

由于受函数的和、差的导数运算法则的影响，学生会自然地猜想函数的积（商）的导数等于函数导数的积（商）。基于此，教材设置了一个思考题目，通过对具体函数积和商的求导，使学生认识到函数的积（商）的导数不一定等于导数的积（商），在错误的猜想后教材给出了函数的积（商）的导数运算法则，从而降低了认知难度，让学生更加容易接受运算法则。而旧教材仅是简单通过一句话生硬地给出了求导法则。

相比旧教材，新教材还设置了两个求具体函数导数的例题，和相应的课后练习，让学生及时应用导数运算法则求导，巩固了学生对导数运算法则的理解和掌握：《简单复合函数的导数》教材分析及建议

2.重点：利用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间难点：用导数求函数的极值与最大（小）值1.本节知识结构框图：分节教材分析及建议《导数在研究函数中的应用》教材分析及建议3.内容变化

仍然要求学生从数与形两方面掌握一些重要的不等式：

4.具体教材分析及建议《5.3.1函数的单调性》教材分析及建议

这一节，新老教材在知识点的引入上大同小异，首先仍旧通过高台跳水案例（案例背景相同，知识函数关系有变化），利用几何直观让学生认识函数单调性与导数正负的关系，从而猜想函数的单调性与函数导数的正负有内在的联系。但新教材增加了“思考”栏目，给学生明确了需要思考的问题，进而由高台跳水这一特殊例子推广到一般。相比较于老教材，新教材这样处理更加过渡自然，水到渠成。

建议：教学中老师们要注意用导数判断函数的单调性是充分条件而非必要条件，同时教师们要切忌用自己对函数单调性与导数关系的认识简化教学过程，而应该让学生结合一次函数，二次函数，三次函数和反比例函数的图像，借助于几何直观感受可以用函数导数的正负来判断函数的单调性，最后结合图像对一般情况进行归纳总结。

例题1中3个小题的导函数符号没有变化，从而可以直接利用导函数的正负判断函数的单调性，并求出单调区间（删除了旧教材中例题里的（2）和（4）小题，因为其导函数的符号有变化）。同时给出了每个函数的图像，目的是加强学生直观想象素养，对所获得的结论提供直观支持。

建议：教学时可以鼓励学生直接利用单调性的定义求解本题，通过与用导数判断函数单调性的方法进行比较，使学生认识到导数是研究函数单调性的基本工具，其方法具有普适性、通用性。

第二课时教材增加了两个新例题和一个探究题。例3以具体的三次函数为例（改编了旧教材中三次函数并将其后移，旧教材中第一课时容量太大），归纳总结了用导数求函数单调区间的一般步骤。

建议：教学时老师们要联系例1说明导函数无零点时如何处理。利用例题1中的（3）说明定义域内函数存在间断点，以及导函数无零点时如何完成第3步中的列表。新教材删除了旧教材中例题3（恒速注水问题），换之以探究栏目“对数函数

与幂函数在区间上增长的快慢”。建议：教学时还可以让学生反思必修第一册中借助函数值和函数图像直观比较幂函数、指数函数和对数函数增长差异的方法的不足，进而启发学生利用导数精确定量的比较这三类函数增长速度的差异，进一步体会直线上升、指数爆炸、对数增长这些变化的含义。通过上述过程，学生可以进一步体会导数的力量——导数精确定量的刻画函数的变化规律。（导数是一把锋利的手术刀，将函数逐层剥开）。例4的增加是前面探究中比较不同函数增长速度差异的一个应用。建议：教学时不仅要利用导数对函数增长的快慢进行判断与刻画，还要结合函数的图像与导数的几何意义加深对函数增长快慢的理解。同时，还可以结合函数的图像引导学生得到以下重要的结论：①当x>0时，②在|x-1|很小时，

（帮助解决一些近似计算问题）（在今后证明不等式问题时常常用到）

新教材中函数的极值这一课时与旧教材完全相同，函数的最大（小）值与旧教材相比有两处变化，增加了2个例题P94例4证明、P95例7，优化问题中删除了2个例题，只保留了饮料瓶的大小问题（利润最大）。《5.3.2函数的极值与最大（小）值》教材分析及建议

建议：此题教学时，可以让学生自己尝试构造函数，体会用求函数最大值来证明这个不等式的方法，并由此对用求函数最大（小）值证明不等式的步骤进行适当的梳理。

在第二课时增加了例7，是用导数研究函数

的单调性、极值、图像、方程解个数的问题。

教学时，应特别重视画出函数大致图象的过程，并在画图过程中梳理提炼出函数作图的基本步骤，理清这些步骤与求函数单调区间、求函数极值等问题的步骤之间的联系，还可以启发学生由图像进一步研究函数的最大（小）值、函数值域等性质。（函数

的最小值为

，无最大值；函数的值域为[,+）。在通过观察函数

的图像得出方程

的解的个数后，还可以让学生根据零点的存在性定理，进一步研究方程

的解所在的区间。

在此基础上，可以引导学生总结用导数研究函数性质的步骤:(1)求出函数f(x)的定义域，确定函数图象的大致范围;(2)用导数f’(x)研究函数f(x)的单调性、极值;(3)利用函数f(x)的单调性、极值等性质画出f(x)的大致图象;(4)利用函数f(x)的图象进一步研究函数的最大(小)值、值域、零点等性质.

这一节还选用了旧教材中的三个优化问题中的一个——饮料瓶的大小问题（利润最大），介绍导数在解决实际问题中的应用。提高学生分析问题、解决问题及其数学建模的能力。个人认为，此处虽然仅仅采用了一个例题，但是新高考模式下，试题的阅读量非常大，创新型和应用型试题越来越被重视，一些老的、经典的类型题目仍旧可以换个背景呈现出来。我们的教学时仍旧不能降低要求，无论高考是否考，我们都应该借助这一块加强学生的数学阅读和数学实践能力。教学反思：导数在研究函数中的应用1.强调导数研究函数性质的一般步骤本章教学中，应强调利用导数研究函数的单调性、极值、最大(小)值的一般步骤，体现程序化思想，以让学生体会导数是研究函数性质的基本工具，是普适性方法。2.教学过程中要充分发挥学生的主体地位，借以渗透化归转化思想（将导函数向基本初等函数转化）、数形结合思想（利用导函数图象直观判断导函数符号）、分类讨论思想（含参数的函数的单调性问题）、函数与方程思想（导函数