高等教育线性代数矩阵

第一节矩阵的基本概念一矩阵的引入三几种特殊矩阵四矩阵与线性变换五小结二矩阵的概念1、某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭周同学1211张同学0000陈同学0221为了方便，常用下面的数表表示一、矩阵的引入2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四城市之间的航线图其中√表示有航班.

为了便于计算,把表中的√改成１,空白地方填上０,就得到一个数表:北京杭州广州上海这个数表反映了四城市间交通联接情况.为了方便，常用下面的数表表示广州杭州北京上海发站广州杭州北京上海到站3、线性方程组的解取决于系数常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.二、矩阵的定义定义）排成的行列的矩形数表，称为数域由数域中的个数（记作：元素行标列标称为矩阵的元.中的一个矩阵.F或或元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.注：１、只有一行的矩阵称为行矩阵,只有一列的矩阵称为列矩阵.２、３、行数与列数相等的矩阵称为ｎ阶方阵,４、若，且，称两矩阵同型.５、称为方阵的行列式.若，且，称两矩阵相等.６、例如实矩阵矩阵（行矩阵）矩阵（１阶方阵）矩阵（列矩阵）复矩阵３阶方阵两矩阵同型两矩阵相等三、几种特殊的矩阵１、零矩阵个元素全为零的矩阵称为零矩阵.注意

不同的零矩阵未必相等的.记作或.２、对角矩阵主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵.不全为0记作３、单位矩阵主对角线上的所有元素全为1的对角阵称为单位阵.全为1记作4、数量矩阵记作主对角线上的所有元素全为的对角阵称为数量阵.全为5、三角矩阵形如形如的矩阵称为上三角矩阵.的矩阵称为下三角矩阵.上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵.记作6、负矩阵称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；若，则称为的负矩阵.记作7、行阶梯形矩阵2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.如称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：1）行阶梯形矩阵8、行最简形矩阵2）各非零行的首非零元均为1.3）首非零元所在列其它元素均为０.如称满足下列两个条件的矩阵为标准形：1）左上角为单位阵；９、标准形２）其它元素均为０.如之间的关系式一个线性变换.四、矩阵与线性变换的关系个变量与个变量表示一个从变量到变量其中为常数.线性变换的系数构成的矩阵称为系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为称之为恒等变换.对应单位阵.线性变换对应线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.(1)矩阵的概念五、小结(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵；单位矩阵；对角矩阵；零矩阵.矩阵与行列式的有何区别?思考题

矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.另外行列式与矩阵的记号也是不同的.解答第二节矩阵的运算一加法三乘法四矩阵的幂九小结二数乘六方阵的行列式五矩阵的转置七伴随矩阵八共轭矩阵课前复习1、矩阵的定义形数表，称为数域Ｆ中的一个ｍ×ｎ矩阵.由数域Ｆ中的ｍ×ｎ个数排成的ｍ行ｎ列的矩记作：注：实矩阵，复矩阵，行矩阵，列矩阵，方阵，方阵的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等.2、几种特殊的矩阵1）零矩阵ｍ×ｎ个元素全为零的矩阵称为零矩阵.2）对角矩阵主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵.3）单位矩阵主对角线上的所有元素全为１的对角阵称为单位阵.4）数量矩阵主对角线上的所有元素全为λ的对角阵称为数量阵.5）三角矩阵上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵.6）负矩阵称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵：1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；7）阶梯形矩阵2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：1）行阶梯形矩阵8）行最简形矩阵2）各非零行的首非零元均为１.3）首非零元所在列其它元素均为０.称满足下列两个条件的矩阵为标准形：1）左上角为单位阵；9）标准形２）其它元素均为０.一、矩阵的加法1、定义注意:只有同型矩阵才能进行加法运算.若规定2、运算规律（设ＡＢＣＯ均是同型矩阵）（1）

（交换律）（2）

（结合律）（3）（4）（5）（减法）二、数乘矩阵1、定义若规定2、运算规律（设均是矩阵，）（1）（2）（3）（4）（6）1）数乘矩阵是数λ去乘Ａ中的每一个元素.注意:（5）2）若，则矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的线性运算.三、矩阵的乘法1、引例设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型如果生产这三种型号的计算机每台的利润(单位：万Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ甲乙ⅠⅡⅢ那么这两家公司的月利润(单位：万元)为多少?号的计算机，月产量（单位：台）为元／台)为

甲公司每月的利润为29.1万元，乙公司的利润为由例题可知矩阵Ａ、Ｂ、Ｃ的元素之间有下列关系34.1万元.依题意2、定义若规定其中注：1）条件左矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数2）方法等于左矩阵的第行与右矩阵的第列对应元素左行右列法——矩阵乘积的元素乘积的和.3）结果左行右列——左矩阵Ａ的行数为乘积Ｃ的行数，右矩阵Ｂ的列数为乘积Ｃ的列数.特别：与矩阵的乘积与矩阵的乘积为为一阶方阵，即一个数一个ｓ阶方阵例1设解3、矩阵相乘的三大特征1、无交换律2、无消去律3、若4、运算规律（假定所有运算合法，是矩阵，）（2）（3）（4）（5）注不尽相同，亦不尽相同.(1)定义对于矩阵，若，称与可交换.例2设，求的所有可交换矩阵.解设，于是即建立方程组得所以四、方阵的幂1、定义规定若注：1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.2、只能是正整数.（1）（2）2、运算规律（设均是阶方阵，）（4）（3）（5）注：（1）（2）（7）例3设，计算解下用数学归纳法证明猜想当时，等式显然成立.当时，等式成立，即等式成立.所以猜想正确.要证时成立，此时有解例4设，计算.易见把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例五、矩阵的转置1、定义2、运算规律（假定所有运算合法，是矩阵，）（1）（2）（4）（3）特别例5已知解所以而且显然对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等.如3、对称矩阵定义设为阶方阵，若，即，那么称为对称矩阵.

两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵,对称矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.特别定义设为阶方阵，若，即，那么称为反对称矩阵.反对称矩阵的主要特点是:主对角线上的元素为0,其余的元素关于主对角线互为相反数.如

两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵,反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵.但两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵.特别4、反对称矩阵证明例6设列矩阵，满足为阶单位矩阵，且，证明是对称矩阵，且.是对称矩阵.又

证明任一阶方阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.例7设则设则六、方阵的行列式注意方阵与行列式是两个不同的概念.1、定义由ｎ阶方阵Ａ的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵Ａ的行列式.记作2、运算规律（假定所有运算合法，ＡＢ是矩阵，λ∈Ｒ）（1）（2）（4）（3）注例8已知解所以易见1、定义行列式的各个元素的代数余子式按照的位置所构成矩阵的转置.七、伴随矩阵称为矩阵的伴随矩阵.2、运算规律（假定所有运算合法，是矩阵，）（1）（2）或

同理可得性质证明所以00八、共轭矩阵1、定义当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.2、运算规律（假定所有运算合法，是矩阵，）（1）（2）（3）（4）（6）（5）（7）九、小结矩阵运算数乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵方阵的幂线性运算对称矩阵反对称矩阵加法一背景二逆矩阵的概念与性质三应用四小结第三节逆矩阵课前复习矩阵运算加法数乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵矩阵的幂线性运算对称矩阵反对称矩阵乘法运算中的１，在数的运算中，当数α≠０时，则称为的倒数，个矩阵，在矩阵的运算中，一、背景1、数2、矩阵则矩阵Ａ称为的可逆矩阵，（或称为的逆）；有单位阵Ｅ相当于数的那么，对于矩阵Ａ，如果存在一有称为的逆阵.3、线性变换它的系数矩阵是一个ｎ阶矩阵，若记则上述线性变换可表示为按Cramer法则，若，则由上述线性变换可解出在按第列展开得即则可用线性表示为若令易知这个表达式是唯一的.这是从到的线性变换，称为原线性变换的逆变换.若把此逆变换的系数记作，则此逆变换也可以记作为恒等变换所对应的矩阵，故因此于是有由此，可得可见又例使得的逆矩阵记作二、逆矩阵的概念和性质1、定义对于阶方阵，如果有一个阶方阵，则称方阵是可逆的，是的逆矩阵.并把方阵称为的逆矩阵.若设和是逆矩阵，则有所以的逆矩阵是唯一的,即说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.证明于是例1设,求的逆矩阵.解设则证明，使得两边求行列式，有定理1若矩阵可逆，则若矩阵可逆，则即有定理2矩阵可逆的充要条件是，且其中为矩阵的伴随矩阵.证明因为矩阵与其伴随矩阵有，故有又因为所以，按逆矩阵的定义，即有例2解当时，称为奇异矩阵；证明推论若或，则当时，称为非奇异矩阵.2、奇异矩阵与非奇异矩阵易知于是只证时，3、运算规律（设均是阶可逆方阵）1）若且证明由推论，即有2）若且且3）若，且同阶，推广证明4）若且5）若6）若证明且证明而因为所以为整数）（其中7）其它的一些公式8）一些规定四、应用例3求下列矩阵的逆，其中解1）依对角矩阵的性质知：依矩阵的逆的定义，必有易知：解2）即计算其中例4的行列式.解例5求解设且满足有而设求例6其中为矩阵的伴随矩阵.解例7解矩阵方程解设例8证明证明例9所以可逆.由，得例10可逆，并求它们的逆矩阵.由设方阵满足方程，证明证明所以可逆.逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵存在五、小结定义法初等变换法（后面介绍）一矩阵的分块二分块矩阵的运算法则五小结六思考第四节矩阵的分块法三应用四两种特殊的分块法课前复习使得的逆矩阵记作定义对于ｎ阶矩阵Ａ，如果有一个ｎ阶矩阵Ｂ，则称矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵.说明若Ａ是可逆矩阵，则Ａ的逆矩阵是唯一的.定理1若矩阵Ａ可逆，则定理2矩阵Ａ可逆的充要条件是，且其中为矩阵Ａ的伴随矩阵.当时，Ａ称为奇异矩阵；当时，Ａ称为非奇异矩阵.运算规律（设ＡＢ均是ｎ阶方阵）1）若且2）若且3）若，且同阶，推广4）若且5）若6）若且且（其中ｋλμ为整数）7）其它的一些公式8）一些规定一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例即注：分块时首先满足，再考虑对角或三角矩阵，然后考虑以及其它的特殊矩阵.按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式.二、分块矩阵的运算规则1、矩阵的加法设与为同型矩阵，采用相同的分块法，有其中与为同型矩阵，则分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.2、数乘则3、乘法设，分块成其中的列数分别等于的行数.其中4、转置则那么分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置.都是方阵.5、分块对角矩阵

设Ａ为ｎ阶方阵，若Ａ的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余子块全为零，那么方阵Ａ就称为分块对角阵.即如都是分块对角阵.分块对角矩阵具有下述性质:1）2）3）若则有若，则有5）若则均为可逆方阵.4）若则6、设则例1

设三、应用求解分块则又于是例2

设求解-1例3

设求其中解例4

设为阶方阵，分别为的伴随矩阵，分块阵，则（）分析例5设求解令其中所以而所以可求.称为矩阵的个行向量.矩阵有个行，称为矩阵的个列向量.矩阵有个列，四、两种特殊的分块法--按行分块与按列分块.行记作，则矩阵便记为若第列记作若第，则矩阵便记为对于线性方程组若记其中称为系数矩阵，称为增广矩阵.称为未知数向量，称为常数项向量，按分块矩阵的记法，可记利用矩阵的乘法，此方程组可记作如果把系数矩阵按行分成块，则线性方程组可记作这就相当于把每个方程记作如果把系数矩阵按列分成块，则与相乘的相应的应分为块，从而可记作即对于矩阵与矩阵的乘积矩阵，若把按行分成块，把按列分成块，其中便有另外：以对角矩阵左乘矩阵时，把按行分块，有另外：以对角矩阵右乘矩阵时，把按列分块，有

在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.(1)加法(2)数乘(3)乘法分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似：同型矩阵，采同相同的分块法；数乘矩阵，需乘的每一个子块；若与相乘，需的列的划分与的行的划分相一致.五、小结(4)转置(5)分块对角阵的行列式与逆阵(6)两种特殊的分块法：按行分块与按列分块.六、思考题证一消元法二矩阵的初等变换五小结六思考第五节矩阵的初等变换与秩三矩阵的秩四应用举例课前复习1、矩阵的逆2、分块对角矩阵1）2）3）若4）若则则3、线性方程组的几种形式4、与的乘法引例求解线性方程组一、消元法解线性方程组④①②③解④①②③①②③④①②③③①①④②③④①②③③②②④②④①②③③③④即其中ｃ为任意常数.总结1、上述解方程组的方法称为高斯消元法．2、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程的ｋ倍加到另一个方程．3、这三种变换均可逆.4、方程组的变换可以看成矩阵的变换.1、定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换.（1）互换两行：（2）数乘某行：（3）倍加某行：二、矩阵的初等变换（ElementaryTransformation）定义矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换．同理，把换成可定义矩阵的初等列变换.ERTECTET初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换定义经过有限次初等变换变成矩阵，如果矩阵就称矩阵，记作等价关系的性质：具有上述三条性质的关系就称为等价．（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性：利用初等行变换可把矩阵化为行阶梯形矩阵.利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.定理利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵化为标准形矩阵.三、矩阵的秩1、子阵与阶子式将矩阵的某些行和列划去（可以只划去某些行或列），剩下的元素按原来的顺序构成的新矩阵叫做矩阵的子矩阵.中，任取行列在矩阵位于这些行与列交叉处的个元素，依照它们在中的位置次序不变而得的阶行列式，称为矩阵的一个定义定义阶子式.矩阵共有个阶子式.最低阶为阶，最高阶为阶.如：矩阵取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，二阶子式是组成的的最高阶子式是3阶，共有4个3阶子式.易见而在这个矩阵中,都是矩阵的子矩阵.2、矩阵的秩定义（1）（2）则称为矩阵的最高阶非零子式.记为或.（1）性质：（2）（3）（4）阶方阵，（5）其中（6）最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，定义阶方阵，为满秩阵.，则称定义，则称为行满秩阵；，则称为列满秩阵；结论矩阵的秩最高阶非零子式的阶数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的阶数，则称为降秩阵.定义所有与等价的矩阵的集合称为一个等价类.注：（１）所有矩阵可以划分为一个等价类.（３）化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，仅能用初等行变换，而化为标准形矩阵时，初等行变换和初等列变换均可使用.（４）任一矩阵的行最简形矩阵与标准形矩阵唯一.（５）标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵.（２）同型同秩矩阵等价.例１解计算A的3阶子式，

用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等变换法去求矩阵的秩.四、应用举例解例２并求的一个最高阶非零子式.设，求矩阵的秩，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵：求的一个最高阶非零子式知的一个最高阶非零子式为３阶，的阶子式共有个，考察的行阶梯形矩阵记则在中找一个三阶非零子式根据初等行变换对应到A中可以找到一个三阶非零子式易验证

Ａ的一个最高阶非零子式.例３设其中求解分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故例4

将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化为行最简形,最后化为标准形.并求其秩.

注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换.化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用.依次为行阶梯形和行最简形矩阵。最后得到的矩阵是的标准形，依次为秩显然为３.２、子阵与阶子式３、秩的定义及性质五、小结１、矩阵的初等变换（Elementarytransformation）初等行(列)变换（1）（2）则称为矩阵的最高阶非零子式.记为或.最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，４、经过有限次初等变换变成矩阵，如果矩阵就称矩阵，记作５、矩阵等价具有的性质利用初等行变换可把矩阵化为行阶梯形矩阵.利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.６、利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵化为标准形矩阵.７、矩阵的秩最高阶非零子式的阶数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的阶数一初等矩阵三小结第六节初等矩阵二应用举例２、子式与阶子式３、秩的定义及性质课前复习１、矩阵的初等变换（Elementarytransformation）初等行(列)变换（1）（2）则称为矩阵的最高阶非零子式.记为或.最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，４、经过有限次初等变换变成矩阵，如果矩阵就称矩阵，记作５、矩阵等价具有的性质利用初等行变换可把矩阵化为行阶梯形矩阵.利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.６、利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵化为标准形矩阵.７、矩阵的秩最高阶非零子式的阶数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的阶数相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵.一、初等矩阵的概念定义１、对调就称为初等矩阵.记作２、数乘记作３、倍加记作基本事实(左行右列)相当于相当于相当于相当于相当于相当于二、基本结论１、初等矩阵均可逆２、为初等矩阵３、４、有限个初等矩阵５、为可逆阵三、初等矩阵的应用又因此类似的因此又因此因此又例１设求证证:例2解例3解一由例2得解二用初等变换解矩阵方程：,求，使例4用初等变换解矩阵方程：例5,求，使例6已知矩阵的伴随矩阵,且，求.解例7,求，使解第二章小结与练习一、矩阵的定义定义）排成的行列的矩形数表，称为数域由数域中的个数（记作：中的一个矩阵.F注：实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、ｎ阶方阵、方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等.二、几种特殊的矩阵1）零矩阵个元素全为零的矩阵称为零矩阵.2）对角矩阵主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵.3）单位矩阵主对角线上的所有元素全为1的对角阵称为单位阵.4）数量矩阵主对角线上的所有元素全为的对角阵称为数量阵.5）三角矩阵上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵.6）负矩阵7）对合矩阵设Ａ为ｎ阶方阵，如果，则称矩阵为对合矩阵.8）正交矩阵设Ａ为ｎ阶方阵，如果，则称矩阵为正交矩阵.9）幂等矩阵设Ａ为ｎ阶方阵，如果，则称矩阵为幂等矩阵.称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵：1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；10）阶梯形矩阵2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：1）行阶梯形矩阵11）行最简形矩阵2）各非零行的首非零元均为1.3）首非零元所在列其它元素均为０.称满足下列两个条件的矩阵为标准形：1）左上角为单位阵；12）标准形２）其它元素均为０.三、矩阵与线性变换的关系之间的关系式个变量与个变量一个线性变换.表示一个从变量到变量其中为常数.线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.四、矩阵的运算1、加法注意:只有同型矩阵才能进行加法运算.若规定2、数乘若规定3、乘法若规定其中4、幂规定若注：1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.2、ｋ只能是正整数.

把矩阵Ａ的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做Ａ的转置矩阵，记作.5、转置设Ａ为ｎ阶方阵，若，即，那么Ａ称为对称矩阵.设Ａ为ｎ阶方阵，若，即，那么Ａ称为反对称矩阵.行列式的各个元素的代数余子式所构成矩阵的转置.７、伴随矩阵记作８、共轭矩阵当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.6、方阵的行列式行列式（各元素的位置不变）叫做方阵Ａ的行