国家开放大学-工程数学（本）形成性考核第四次作业

未知驱动探索，专注成就专业国家开放大学-工程数学（本）形成性考核第四次作业一、题目分析本次作业共包含三道题目，分别是：给定函数f(x)=2\*x-3，求其在区间[1,5]上的定积分。求函数f(x)=x^2-3\*x+2的不定积分。给定函数f(x)=x^3+2\*x^2-x-2，找出其在区间[-2,2]上的最大值和最小值。二、题目解答1.求定积分题目要求我们计算函数f(x)=2\*x-3在区间[1,5]上的定积分。根据定积分的定义，我们可以将区间[1,5]分成若干小的区间，计算这些小区间上函数值与区间长度的乘积，并将结果求和。具体计算过程如下：$$\\int_{1}^{5}f(x)dx=\\lim_{n\\to\\infty}\\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\\Deltax$$其中，$f(x)=2\\*x-3$，xi为区间的任一点，$\\Deltax$因为$f(x)=2\\*x-3$是一个线性函数，所以我们可以直接计算其在区间[1,5]上的面积。$$\\int_{1}^{5}f(x)dx=\\left.x^2-3\\*x\\right|_{1}^{5}$$将上式代入计算，得到积分值为：$$\\int_{1}^{5}f(x)dx=\\left.(5^2-3\\*5)-(1^2-3\\*1)\\right|$$计算得：$$\\int_{1}^{5}f(x)dx=(25-15)-(1-3)$$化简得：$$\\int_{1}^{5}f(x)dx=10-(-2)=12$$所以，函数f(x)=2\*x-3在区间[1,5]上的定积分为12。2.求不定积分题目要求我们计算函数f(x)=x^2-3\*x+2的不定积分。不定积分是指对函数进行积分，得到一个含有未知常数的结果。具体计算过程如下：$$\\intf(x)dx=F(x)+C$$其中，F(x)为原函数，对于函数f(x)=x^2-3\*x+2，我们可以逐项进行不定积分：$$\\intx^2dx=\\frac{1}{3}x^3+C_1$$$$\\int-3\\*xdx=-\\frac{3}{2}x^2+C_2$$$$\\int2dx=2x+C_3$$将上述结果相加，得到：$$\\int(x^2-3\\*x+2)dx=\\frac{1}{3}x^3-\\frac{3}{2}x^2+2x+C$$其中，C为积分常数。所以，函数f(x)=x^2-3\*x+2的不定积分为$\\frac{1}{3}x^3-\\frac{3}{2}x^2+2x+C$。3.求最大值和最小值题目要求我们找出函数f(x)=x^3+2\*x^2-x-2在区间[-2,2]上的最大值和最小值。要找出函数的最大值和最小值，我们可以先找出函数的驻点（导数为0的点），然后计算驻点处的函数值，以及区间的端点处的函数值，比较它们的大小，即可得到最大值和最小值。具体计算过程如下：计算函数的一阶导数：$f'(x)=3\\*x^2+4\\*x-1$令导数等于0，解方程$f'(x)=3\\*x^2+4\\*x-1=0$，求出驻点的横坐标。根据韦达定理，可得：$x_1=\\frac{-4+\\sqrt{4^2-4\\cdot3\\cdot(-1)}}{2\\cdot3}=\\frac{-4+\\sqrt{40}}{6}$$x_2=\\frac{-4-\\sqrt{4^2-4\\cdot3\\cdot(-1)}}{2\\cdot3}=\\frac{-4-\\sqrt{40}}{6}$驻点横坐标x的取值范围为[-2,2]，所以只需要考虑驻点处的函数值。计算驻点的纵坐标：f(x1)$f(x_1)=(x_1)^3+2\\*(x_1)^2-x_1-2$$f(x_2)=(x_2)^3+2\\*(x_2)^2-x_2-2$计算区间的端点的函数值：f(−2)$f(-2)=(-2)^3+2\\*(-2)^2-(-2)-2$$f(2)=(2)^3+2\\*(2)^2-2-2$比较函数值，找出最大值和最小值。比较f(x1)、f(x2)经过计算，得到：$$(x_1,f(x_1))=\\left(\\frac{-4+\\sqrt{40}}{6},\\frac{53-\\sqrt{40}}{12}\\right)$$$$(x_2,f(x_2))=\\left(\\frac{-4-\\sqrt{40}}{6},\\frac{53+\\sqrt{40}}{12}\\right)$$((可以看出，最大值为$\\frac{53+\\sqrt{40}}{12}$，最小值为-12。三、总结本次作业涉及到定积分、不定积分以及最大最小值的计算。通过对题目的分析和计算，我们学习到了如何计算函数在给定区间上的定积分，以及函数的不定积分和最大最小值的求解方法。这些知识在工程数学中具有重要的应用价