第4节 科学测量：用单摆测量重力加速度

误差分析1．系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到忽略不计的程度。2．偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1，2，…在数“零”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。

注意事项1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm。2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时、计数。二、他版教材实验多融通人教版教材实验方案

(二)粤教版教材实验方案

[差异解读]1.实验原理与实验方案与人教版实验方案相同。2．对应平衡位置，在桌子上设置了记号，并手拿铅笔作了标记。3．用秒表测量时间，不同于人教版用停表测量。[典例1]

(2022·济南高二检测)在“用单摆测量重力加速度”的实验中：(1)小博同学制作了如图所示的甲、乙、丙三个单摆，你认为他应选用________单摆来做实验。实验原理与操作(2)实验过程中小博同学分别用了图(a)、(b)所示的两种不同方式悬挂小球，你认为________[选填“(a)”或“(b)”]悬挂方式较好。(3)某同学用秒表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示，则单摆的周期为________s。数据处理和误差分析(2)由图像求出的重力加速度g＝________m/s2(取π2＝9.87)。(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是________。A．测摆长时摆线拉得过紧B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了C．开始计时时，秒表过迟按下D．实验时误将49次全振动数为50次[解析]

(1)T2-l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。图像法求重力加速度(1)图像法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。(2)由于T-l的图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用T2-l的图像，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度。

1．[实验器材的创新]如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验。(1)若用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出周期的表达式T＝________。创新考查角度和创新思维(2)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期T＝________s。(3)在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系(T2-L)图线，并根据图线拟合得到方程T2＝kL＋b，由此可知当地的重力加速度g＝________，摆球半径r＝________(用k、b、π表示)。r/m0.450.400.350.300.250.20T/s2.112.142.202.302.432.64(1)由实验数据得出如图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示________。(2)Ic的国际单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。答案：(1)T2r

(2)kg·m2

0.17

(3)不变1．(2023·晋江高二调研)用一个摆长为80.0cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过__________cm(保留1位小数)。(提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。)某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为________cm。答案：6.9

96.82．某同学在实验室利用单摆测量当地的重力加速度。 (1)他在组装单摆时，应选择________。 (2)在摆球自然悬垂的状态下，用毫米刻度尺量取从悬点到摆球最顶端的长度l；用游标卡尺测量摆球的直径d，示数如图所示，则d＝________mm。(3)该同学测出不同摆长L和对应的周期T，并在坐标纸上作出T2-L图线，由图线可精确求出重力加速度g≈________m/s2(已知π2≈9.86，结果保留3位有效数字)。(4)另一同学由单摆周期公式直接求得的g值偏小，则可能是________。A．测量悬线长度作为摆长，没有加上摆球的半径B．把N次全振动误计为(N＋1)次全振动C．摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，使摆线变长解析：(1)由于摆线越长测量误差越小，所以摆线应适当长些；为减小空气阻力对实验的影响，应选择质量大而体积小的小钢球。故选D。(2)由题图读出摆球的直径d＝18mm＋7×0.1mm＝18.7mm。答案：(1)D

(2)18.7

(3)9.76

(4)AC3．如图甲所示为采用光电门和示波器进行单摆实验来测量当地的重力加速度的装置示意图，两根长度相等的轻细线一端连接小球，另一端固定在铁架台的水平横杆上。用游标卡尺测量小球直径，测量结果如图乙所示。在小球摆动的最低点处装有光电门，并和示波器相连，当小球通过光电门时，示波器上将显示被挡光的电压脉冲图像。把摆球从平衡位置拉开一个小角度(小于5°)由静止释放，使其在竖直平面内摆动，示波器上显示的电压脉冲图像如图丙所示。(1)本实验中单摆的有效摆长用L表示，周期用T表示，则重力加速度的表达式为g＝

____________。(2)图乙中用游标卡尺测得的小球直径为________cm。(3)若实验中测得轻细线的长度为84.10cm，横杆上两固定点之间的距离为8.20cm，则此单摆的有效摆长为________cm。(4)由图丙可知该单摆的周期为________s。4．(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。若已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m。若测定了40次全振动的时间为75.2s，计算可得单摆周期是________s。 (2)为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上(如图乙所示)，即图中用“·”表示的点，则：①单摆做简谐运动应满足的条件是________