离散数学（第3版）课件ch3(3) 集合与关系 3.6-3.12 贲

13.1集合的概念和表示法3.2集合的运算3.3有序对与笛卡儿积3.4关系及其表示3.5关系的运算3.6关系的性质3.7关系的闭包3.8集合的划分与覆盖3.9等价关系和等价类3.10相容关系和相容类3.11偏序关系3.12偏序集与哈斯图3.13应用案例第3章集合与关系23.6关系的性质

在计算机科学和应用数学中，往往人们更关心的是集合A到它自身的关系。我们通常称集合A到它自身的关系为A上的关系，关系的性质指的是A上的关系的性质，主要有以下5种：自反性（reflexive），反自反性（antireflexive），对称性（symmetric），反对称性（antisymmetric）和传递性（transitive）。3

定义3.19

设R为A上的关系，

(1)若

x(x

A→<x,x>

R)，则称R在A上是自反的(reflexive)。

(2)若

x(x

A→<x,x>

R)，则称R在A上是反自反的。3.6关系的性质(续)

思考：自反与反自反关系的关系矩阵和关系图各有什么特点？注意：若R是自反的，则R一定不是反自反；若R不是自反的，则R未必一定是反自反。4定义3.19设R为A上的关系，（3）若

x

y(x,y

A∧<x,y>R→<y,x>

R),

则称R在A上是对称的（symmetric）。（4）若x

y(x,y

A∧<x,y>

R∧<y,x>

R→x=y),

则称R在A上是反对称的。

3.6关系的性质(续)

思考：有没有一种关系即是对称的又是反对称的？对称与反对称关系的关系矩阵和关系图各有什么特点？5定义3.19设R为A上的关系，（5）若

x

y

z(x,y,z

A∧((<x,y>

R∧<y,z>

R)→<x,z>

R)),

则称R在A上是传递的(transitive)。

3.6关系的性质(续)

思考：下列关系那些具有传递性？（1）父子关系（2）朋友关系（3）集合之间的包含关系（4）实数中的不相等关系6ArelationRonShasthecomparabilityproperty（可比较性）meanseitheraRborbRaora=b

a,b∈S.//Both“<”and“<=”havethecomparabilityproperty;“

”doesnot.

7例1A={a,b,c}，试判断以下A上的关系具有那些性质？

R1={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>},R2={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<c,a>},R3={<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>,<c,c>},R4={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,c>},R5={<a,a>,<a,b>,<b,b>,<c,c>},R6={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>},3.6关系的性质(续)

8例1A={a,b,c}，试判断以下A上的关系具有那些性质？

R1={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>},反对称、传递R2={<a,a>,<a,b>,<b,c>,<c,a>},反对称R3={<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>,<c,c>},

自反、对称、传递R4={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,c>},对称R5={<a,a>,<a,b>,<b,b>,<c,c>},自反、反对称、传递R6={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>},9关系性质的等价描述下面给出这五种性质成立的充分必要条件。

定理3.12

设R为A上的关系，则

(1)R在A上自反当且仅当IA

R

(2)R在A上反自反当且仅当R∩IA＝

(3)R在A上对称当且仅当R＝R－1

(4)R在A上反对称当且仅当R∩R－1

IA

(5)R在A上传递当且仅当RοRR3.6关系的性质(续)

10证明：(5)必要性。任取<x,y>有

<x,y>

RοR

t(<x,t>

R∧<t,y>

R)

<x,y>

R(因为R在A上是传递的)

所以RοR

R。

充分性。任取<x,y>,<y,z>

R，则

<x,y>

R∧<y,z>

R

<x,z>

RοR(RοR

R)

<x,z>

R

所以R在A上是传递的。

11思考：设R1和R2是A上的关系，它们都具有某些共同的性质。在经过并，交，补，逆运算以后，所得到的新关系R1∪R2，R1∩R2，~R1,~R2，R1－1等是否还能保持原来关系的性质呢？3.6关系的性质(续)

123.6关系的性质(续)

例2设A={a,b},R={<a,a>,<b,b>},S={<a,a>,<b,a>,<b,b>}R和S具有什么性质？(2)R-1，S-1还具有自反性吗？(3)R∪S，R∩S还具有自反性吗？(4)~R

，~

S还具有自反性吗？13

设R和S均是A上的关系，则（1）如果R是自反的，则R-1也是自反的。（2）如果R和S是自反的，则R∩S和R∪S也是自反的。（3）R是自反的，当且仅当~R是反自反的。3.6关系的性质(续)

143.6关系的性质(续)

例3设A={1,2,3,4},R1={<1,1>,<1,2>,<2,1>},R2={<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>},R3={<1,1>,<3,2>},R4={<1,1>,<1,4>,<4,3>}。以上关系具有什么性质？(2)R1-1，~R1还具有对称性吗？(3)R1∪R2，R1∩R2还具有对称性吗？(4)R2∪R3，R2∩R3还具有传递性吗？15

自反性反自反性对称性反对称性传递性集合表达式IA

RR∩IA＝

R＝R－1R∩R－1

IARR

R关系矩阵主对角线元素全是1主对角线元素全是0矩阵是对称矩阵若rij＝1，且i≠j，则rji＝0对M2中1所在位置，M中相应的位置都是1关系图每个顶点都有环每个顶点都没有环如果两个顶点之间有边，一定是一对方向相反的边(无单边)如果两点之间有边，一定是一条有向边(无双向边)如果顶点xi到xj有边，xj到xk有边，则从xi到xk也有边3.6关系的性质(续)

163.6关系的性质(续)

设R和S均是A上的关系，则（1）如果R是对称的，则R-1和~R也是对称的。（2）如果R和S是对称的，则R∩S和R∪S也是对称的。（3）如果R和S是传递的，则R∩S也是传递的。173.6关系的性质(续)例4

设集合A＝{1,2,3,4,5},R是A上的关系。定义为R＝{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<4,4>,<4,5>,<5,5>}试判断R是(1)A上的自反关系；(2)A上的对称关系；(3)A上的反对称关系；(4)A上的可传递关系。18(1)R是自反关系；(2)R不是对称关系；(3)R是反对称关系；(4)R是可传递关系。21345解答193.1集合的概念和表示法3.2集合的运算3.3有序对与笛卡儿积3.4关系及其表示3.5关系的运算3.6关系的性质3.7关系的闭包3.8集合的划分与覆盖3.9等价关系和等价类3.10相容关系和相容类3.11偏序关系3.12偏序集与哈斯图3.13应用案例第3章集合与关系203.7关系的闭包例5设A={1,2,3},R={<1,2>,<2,3>,<3,1>},求：包含关系R并且具有“自反性”的新关系。思考：这种新关系唯一吗？213.7关系的闭包(续)

定义3.20设R是非空集合A上的关系，

R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R'，使得R'满足以下条件：

(1)R'是自反的（对称的或传递的）

(2)R

R'

(3)对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R''，有R'

R''。记R的自反闭包r(R)，对称闭包s(R)，传递闭包t(R)。

reflexivesymmetrictransitive22定理3.13设R为A上的关系，则有

（1）r(R)=R∪IA

（2）s(R)=R∪R-13.7关系的闭包(续)

下面证明(2)式根据对称闭包的定义，需证明s(R)满足以下条件：(1)对称性。(2)R

R∪R-1

。(3)最小性。即证若任取<x,y>

R∪R-1,则<y,x>

R∪R-1.

即证对A上任何包含R的对称R''，有R∪R-1

R''。23例6

设集合A＝{a,b,c,d}，定义R＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，求r(R)，s(R)。解：由定理知r(R)＝R∪IA

＝{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,c>,<c,d>,<d,d>}s(R)＝

R∪R－1＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<c,d>,<d,c>}若要求关系R的传递闭包t(R)呢？24定理3.14设R为A上的关系，则有

t(R)

=R

∪R2∪

……∪Rn证明先证R∪R2∪…∪Rn

t(R)成立，用归纳法证明Rk

t(R)。

k＝1时有R1＝R

t(R)。假设Rk

t(R)成立，那么对任意的<x,y>有

<x,y>

Rk＋1＝RkοR

t(<x,t>

Rk∧<t,y>

R)

t(<x,t>

t(R)∧<t,y>

t(R))

<x,y>

t(R)（因为t(R)是传递的）

这就证明了Rk＋1

t(R)。由归纳法命题得证。25再证t(R)

R∪R2∪…∪Rn成立，为此只须证明R∪R2∪…∪Rn是传递的。任取<x,y>,<y,z>，则<x,y>

R∪R2∪…∪Rn∧<y,z>

R∪R2∪…∪Rn

t(<x,y>

Rt)∧

s(<y,z>

Rs)

t

s(<x,z>

RtοRs)

t

s(<x,z>

Rt＋s)

<x,z>

R∪R2∪…∪Rn

从而证明了R∪R2∪…∪Rn是传递的。26例7

设集合A＝{a,b,c,d}，定义R＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，求t(R)

。t(R)＝

R∪R2∪R3∪R4

＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}

也可以用矩阵方法求解！27例8

设集合A＝{a,b,c,d}，定义R＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，求r(R)，s(R)，t(R)

。Mt

＝MR1+MR2+MR3+MR4＝＝+++

用定理中的方法求传递闭包的关系矩阵要进行n3(n－1)次位运算。

Warshall算法（改进的求传递闭包的算法）只要进行n3次位运算，可提高执行效率。28Warshall算法

设R为有限集A上的二元关系，|A|＝n，M为R的关系矩阵，可如下求取t(R)的关系矩阵Wn。算法依次构造序列，由W0构造W1，W2，……，Wn。令Wk＝[tij]，Wk－1＝[sij]，(1)把Wk－1中所有的1放入Wk

(2)[tij]＝1，当且仅当[sij]＝1或([sik]＝1且[skj]＝1)。(3)对所有k，1≤k≤n，重复步骤(2)，直至算法结束。29求传递闭包的方法：方法一：关系图法方法二：定理法方法三：关系矩阵法例9设A={1,2,3,4}，R={<1,2>,<2,3>,<3,4>,<2,1>}，求t(R)。3.7关系的闭包(续)

30方法四：Warshall算法伪码表示Closure=Mat;for(k=1;k<=n;k++)for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)Closure[i][j]=Closure[i][j]∨(Closure[i][k]∧Closure[k][j])3.7关系的闭包(续)

例10设A={1,2,3,4}，R={<1,2>,<2,3>,<3,4>,<2,1>}，求t(R)。31闭包的性质定理3.15设R是非空集合A上的关系，则

(1)R是自反的当且仅当r(R)＝R。

(2)R是对称的当且仅当s(R)＝R。

(3)R是传递的当且仅当t(R)＝R。定理3.16设R1和R2是非空集合A上的关系，且R1

R2，则

(1)r(R1)r(R2)

(2)s(R1)s(R2)

(3)t(R1)t(R2)以下定理给出了关系性质和闭包运算之间的关系。

3.7关系的闭包(续)

32定理3.17设R是非空集合A上的关系，

(1)若R是自反的，则s(R)与t(R)也是自反的。

(2)若R是对称的，则r(R)与t(R)也是对称的。

(3)若R是传递的，则r(R)是传递的。3.7关系的闭包(续)

33

可见，如果计算关系R的自反、对称、传递的闭包，为了不失去传递性，传递闭包运算应该放在对称闭包运算的后边，若令tsr(R)表示R的自反、对称、传递闭包，则tsr(R)＝t(s(r(R)))

。3.7关系的闭包(续)

例如A＝{1,2,3}，R＝{<2,3>}是A上的传递关系，

R的对称闭包s(R)＝{<2,3>,<3,2>}。显然，s(R)不再是A上的传递关系。343.1集合的概念和表示法3.2集合的运算3.3有序对与笛卡儿积3.4关系及其表示3.5关系的运算3.6关系的性质3.7关系的闭包3.8集合的划分与覆盖3.9等价关系和等价类3.10相容关系和相容类3.11偏序关系3.12偏序集与哈斯图3.13应用案例第3章集合与关系353.8集合的划分与覆盖定义3.21

设A为非空集合，若A的子集族π(π

P(A)，是A的子集构成的集合)满足下面的条件：

(1)

π；(2)π中任意两个子集都不相交，即

x

y(x，y

π∧x≠y→x∩y=

)；(3)π中所有子集的并是A，即∪π=A。则称π是A的一个划分，称π中的元素为A的划分块。

例（1）将一张纸撕成几片，则所得的各个碎片是该纸的一个划分；（2）班集体划分：按寝室划分；按男女同学划分；按年龄划分；（3）整数集合被划分成奇整数集合和偶整数集合。36例11

设高级程序设计语言的字符表∑={A,B,C,…,Z,0,1,…,9,+,-,*,/,=,?,…,#,$}。字母字符集合A={A,B,C,…,Z}；数字字符集合D={0,1,…,9}；专用字符集合S={+,-,*,/,=,?,…,#,$}；则集合族π={A,D,S}是∑的一个划分。3.8集合的划分与覆盖(续)

373.8集合的划分与覆盖(续)

例12设A＝{a,b,c,d}，给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：

π1={{a,b,c},{d}}π2={{a,b},{c},{d}}π3={{a},{a,b,c,d}}π4={{a,b},{c}}π5={

,{a,b},{c,d}}π6={{a,{a}},{b,c,d}}

则π1和π2是A的划分，其他都不是A的划分。因为π3中的子集{a}和{a,b,c,d}有交，∪π4≠A，π5中含有空集，而π6根本不是A的子集族。38定义3.22

设A为非空集合，若A的子集族π(π

P(A)，是A的子集构成的集合)满足下面的条件：

(1)

π；

(2)π中所有子集的并是A，即∪π=A。则称π是A的一个覆盖。

393.8集合的划分与覆盖(续)

例13

假设A={a,b,c,d,e},下面集合哪些是A的划分，哪些是A的覆盖。

(1)T={{a,b},{a,b,c},{d,e}}(2)T={{a,b,c},{e}}(3)T={{a},{b},{c},{d},{e}}(4)T={{a,b,c},{c,d,e}}(5)T={Φ,{a,b,c,d},{c,d,e}}(6)T={{a},{b,c},{d,e}}(7)T={{a,b,c,d,e}}划分划分划分覆盖覆盖覆盖覆盖覆盖403.1集合的概念和表示法3.2集合的运算3.3有序对与笛卡儿积3.4关系及其表示3.5关系的运算3.6关系的性质3.7关系的闭包3.8集合的划分与覆盖3.9等价关系和等价类3.10相容关系和相容类3.11偏序关系3.12偏序集与哈斯图3.13应用案例第3章集合与关系41定义3.23设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为等价关系。设R是一个等价关系，若<x,y>

R，称x等价于y，记做x～y。

例：下列关系均为等价关系（1）实数集合上的“=”关系（相等）（2）{人类}中的同姓关系、同龄关系（3）命题逻辑中的等价关系3.9等价关系和等价类423.9等价关系和等价类(续)

例14设R是集合A上的关系，令S={<a,b>|cA,使得<a,c>R且<c,b>R}，试证明：如果R

是等价关系，则S也是等价关系。43

定义3.24设R为非空集合A上的等价关系，令

x

A[x]R={y|y

A∧xRy}

称[x]R为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为[x]。例15设A={1,2,…,8}，定义A上的关系R：

R={<x,y>|x,y

A∧x≡y(mod3)}

试问R是否为等价关系。3.9等价关系和等价类(续)

44例16设集合A＝{a,b,c,d,e}，定义A上的二元关系R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<d,e>,<e,d>,<e,e>}试证明R为等价关系，并求出对应的关系矩阵和等价类。3.9等价关系和等价类(续)

453.9等价关系和等价类(续)

定理3.18

设R是非空集合A上的等价关系，则

(1)

x

A，[x]是A的非空子集。

(2)

x,y

A，如果xRy，则[x]＝[y]。

(3)

x,y

A，如果xy，则[x]与[y]不相交。

(4)∪{[x]|x

A}＝A等价类的性质46定义3.25设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记做A/R，即A/R={[x]R|x∈A}。设A={1,2,…,8}，定义A上的关系：R1={<x,y>|x,y

A∧x≡y(mod3)}R2={<x,y>|x,y

A∧x≡y(mod2)}，求A/R1，A/R2思考：若A＝{a,b,c}，则A上有多少个等价关系？3.9等价关系和等价类(续)

商集47由集合的划分构造集合上的等价关系由集合上的等价关系构造集合的划分定理

设п是A上的划分。A上的关系R定义为:aRb当且仅当

a和b是п中同一划分块的成员，则R是A上等价关系，称为п确定的等价关系。定理

设R是A上的等价关系。п是不同集合R(a)(

a

A)的集合，则п是A的划分,写成A/R,R是п确定的等价关系。3.9等价关系和等价类(续)

483.1集合的概念和表示法3.2集合的运算3.3有序对与笛卡儿积3.4关系及其表示3.5关系的运算3.6关系的性质3.7关系的闭包3.8集合的划分与覆盖3.9等价关系和等价类3.10相容关系和相容类3.11偏序关系3.12偏序集与哈斯图第3章集合与关系49定义3.26设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的，则称R为相容关系。例17一些英语单词的集合A＝{cat,teacher,cold,desk,knife,by},A上关系R定义为

R={<x,y>|x,y

A且x和y至少有一个字母相同｝。3.10相容关系和相容类R是一个相容关系。令x1=cat，x2=teacher，x3=cold，x4=desk，x5=knife，x6=by。求R的关系图，R的关系矩阵。50简化的关系图定义3.27

设R为集合A上的相容关系，如果CA，如果对于C中任意两个元素x1，x2有x1Rx2，则称C是由相容关系R产生的相容类。定义3.28

设R为集合A上的相容关系，不能真包含在任何其他相容类中的相容类，称作最大相容类。513.1集合的概念和表示法3.2集合的运算3.3有序对与笛卡儿积3.4关系及其表示3.5关系的运算3.6关系的性质3.7关系的闭包3.8集合的划分与覆盖3.9等价关系和等价类3.10相容关系和相容类3.11偏序关系3.12偏序集与哈斯图3.13应用案例第3章集合与关系52定义3.30设R为非空集合A上的关系。如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，记作

。例18

设集合A＝{a,b,c}，R是A上的关系，

R＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,b>,<b,c>,<c,c>}，试验证R是偏序关系。例19

设A是非零自然数集,DA是A上的整除关系。证明DA是A上的偏序关系。集合A和A上的偏序关系一起叫做偏序集合。3.11偏序关系53定义3.31设R为非空集合A上的偏序关系，如果ab或ba，则称a和b是可比的。否则，则称a和b是不可比的。例20

设集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系，试列举哪些元素是可比的，哪些是不可比的。54定义3.33

定义在笛卡儿积A×B上的偏序关系称为乘积偏序。定义3.34

如果（A,）是偏序集合，且ab,a≠b，则定义为ab。定义3.35

定义在笛卡儿积A×B上的偏序关系满足(a,b)(a

,b

)，如aa

，或者a＝a

且bb

则称为词典序或词典偏序。55实际上，英文字典中单词之间的排序就是Sn上的词典序关系，这也是词典序关系得名的原因。例如jumpmunp，discreetdiscrete。定义3.36推广至笛卡儿积A1×A2×A3×…×An。(a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)当且仅当a1b1或a1＝b1，a2

b2或a1＝b1，a2＝b2,a3

b3

……………或a1＝b1，……，an-1=bn-1

，anbn。563.1集合的概念和表示法3.2集合的运算3.3有序对与笛卡儿积3.4关系及其表示3.5关系的运算3.6关系的性质3.7关系的闭包3.8集合的划分与覆盖3.9等价关系和等价类3.10相容关系和相容类3.11偏序关系3.12偏序集与哈斯图3.13应用案例第3章集合与关系57思考：A={a,b}，则P(A)上的包含关系是否为偏序关系？3.12偏序集与哈斯图

哈斯图的作图法

：

(1)先画出关系图，并要求所有箭头朝上；

(2)删除所有自回路；

(3)删除所有可以由传递性导出的边；

(4)删除所有箭头。请画出其关系图。58思考：A={a,b}，则P(A)上的包含关系是否为偏序关系？请画出其关系图。哈斯图的另一种作法（教材）：

(1)以“圆圈”表示元素；(2)若xy，则y画在x的上层；(3)若y覆盖x，则连线；(4)不可比的元素可画在同一层。什么叫覆盖？59定义3.38设<A,>为偏序集。

x,y

A，如果xy且不存在zA使得xzy，则称y覆盖x。60例21

画出下列偏序集的哈斯图(1)<{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，整除关系>(2)<P({a,b,c})，

>61定义3.39

设(A,≤)是偏序集,(1)对元素y

A,若对任意x

A,有x≤y,则称y为最大元。(2)对元素y

A,若对任意x

A,使y≤x,则称y为最小元。定理

若(A,≤)是偏序集,则它至多有一个最大元，至多有一个最小元。偏序集合的特殊元素62偏序集合的特殊元素定义3.40

设(A,≤)是偏序集,(1)对元素y

A,若不存在x

A,使y＜x,则称y为极大元。(2)对元素y

A,若不存在x

A,使x＜y,则称y为极小元。定理

若(A,≤)是偏序集,A是有穷集合，则它至少有一个极大元，至少有一个极小元。63思考：极大元与最大元有什么区别与联系？总结：设有限集合A上的偏序集为(A,≤)，则(1)最大元一定是极大元；极大元未必是最大元。(2)最大元一定是唯一的；极大元未必是唯一的。(3)最大元可能不存在；极大元必定存在。64定义

偏序集中如果存在最大元素，则表示为I，称为单位元素。偏序集合如果存在最小元素，则表示为O，称为零元素。65例22

已知某偏序集(A,≤)的哈斯图如下，试求下列子集的最大元、最小元、极大元和极小元。（1）B1={1,2,3,5}（2）B2={2,3,4,5,6,7}（3）B3={4,5,8}（4）B4={4,5}66例22

试求下列子集的最大元、最小元、极大元和极小元。

最大元最小元极大元极小元B1={1,2,3,5}5151B2={2,3,4,5,6,7}无无6,72,3B3={4,5,8}8无84,5B4={4,5}无无4,54,567定义3.41

设(A,≤)是偏序集,B

A（1）如果aA，且对每一xB，x≤a，称a为B的上界。即a为B的上界a

A∧x(xB→x≤a)。（2）如果aA，且对每一x

B，a≤x，a称为B的下界，即a为B的下界a

A∧

x(x

B→a≤x)。思考：上,下界必然存在吗？上,下界必然唯一吗？68定义3.41

设(A,≤)是偏序集,B

A（3）如果C是B的所有上界的集合，即C={y|y是B的上界}，则C的最小元a称为B的最小上界或上确界。（4）如果a是B的所有下界的集合，即C={y|y是B的下界}，则C的最大元a称为B的最大下界或下确界。69例23

A={1,2,……,12},≤为A上的整除关系，试求A的子集的特殊元素(极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界、下确界)。

B={2,4,6}C={4,6,9}D={1,2,5,10}70例23试求A的子集的上界、下界、上确界、下确界

。

B={2,4,6}C={4,6,9}D={1,2,5,10}

上界下界上确界下确界B={2,4,6}121，2122C={4,6,9}无1无1D={1,2,5,10}101101713.3有序对与笛卡儿积3.4关系及其表示3.5关系的运算3.6关系的性质3.7关系的闭包3.8