四川省绵阳市绵阳中学资阳育才学校2023-2024学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

四川省绵阳市绵阳中学资阳育才学校2023-2024学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，则最小值是（）A.10 B.9C.8 D.72．已知实数，满足则的最大值为（）A.-1 B.0C.1 D.23．已知等差数列的前n项和为，，，若（），则n的值为（）A.15 B.14C.13 D.124．已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（）A. B.C. D.5．在单调递减的等比数列中，若，，则（）A.9 B.3C. D.6．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A. B.C. D.7．已知双曲线的左焦点为，，为双曲线的左、右顶点，渐近线上的一点满足，且，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.8．已知、，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.9．椭圆的焦点坐标是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）10．已知椭圆的焦点分别为，，椭圆上一点P与焦点的距离等于6，则的面积为（）A.24 B.36C.48 D.6011．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.7512．已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆相切，则的面积的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列满足，，则______.14．已知命题恒成立；，若p，均为真，则实数a的取值范围__________15．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂______盏灯笼16．若过点作圆的切线，则切线方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求当的面积取得最大值时的值18．（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明19．（12分）如图，在长方体中，，，，M为上一点，且（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值20．（12分）已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列.（1）求的通项公式：（2）在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及.21．（12分）直线经过点，且与圆相交与两点，截得的弦长为，求的方程.22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF（1）证明：AB⊥CF；（2）求点C到平面BEF距离；（3）求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值【详解】∵，，，∴＝，当且仅当，即时等号成立故选：B2、D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可得到结果【详解】由约束条件画出可行域如图，化目标函数为，由图可知当直线过点时，直线在轴上的截距最小，取得最大值2.故选：D3、B【解析】由已知条件列方程组求出，再由列方程求n的值【详解】设等差数列的公差为，则由，，得，解得，因为，所以，即，解得或（舍去），故选：B4、D【解析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，，因此以为直径的圆的标准方程为：，而圆：，得：，即为直线的方程，由，所以直线经过定点，故选：D【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点、在以为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.5、A【解析】利用等比数列的通项公式可得，结合条件即求.【详解】设等比数列的公比为，则由，，得，解得或，又单调递减，故，.故选：A.6、B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7、C【解析】由双曲线的渐近线方程和两点的距离公式，求得点的坐标和，在中，利用余弦定理，求得的关系式，再由离心率公式，计算即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，设在渐近线上，且点在第一象限内，由，解得，即点，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以双曲线离心率为.故选：C.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8、B【解析】设直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式求出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由斜率公式可得，，因此，.故选：B.9、A【解析】根据椭圆的方程求得的值，进而求得椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由椭圆，可得，则，所以椭圆的焦点坐标为和.故选：A.10、A【解析】由题意可得出与、、的值，在根据椭圆定义得的值，即可得到是直角三角形，即可求出的面积.【详解】由题意知，.根据椭圆定义可知，是直角三角形，.故选：A.11、C【解析】求出第一次取得红球的事件、第一次取红球第二次取白球的事件概率，再利用条件概率公式计算作答.【详解】记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，，于是得，所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6.故选：C12、A【解析】由直线与圆相切可得，再利用基本不等式即求.【详解】由已知可得，，因为直线与圆相切，所以，即，因为，当且仅当时取等号，所以，，所以面积的最小值为1.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据递推关系依次求得的值.【详解】依题意数列满足，，所以.故答案为：14、【解析】根据题意得到命题为真命题，为假命题，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】根据题意，命题，均为真命题，可得命题为真命题，为假命题，由命题恒成立，可得，解得；又由命题为假命题，可得，解得，所以，即实数a的取值范围为.故答案为：.15、【解析】根据给定条件，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，利用等比数列前n项和公式计算作答.【详解】依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，公比，前9项和为1533，于是得，解得，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.故答案为：316、或【解析】根据圆心到切线的距离等于圆的半径即可求解.【详解】由题意可知，，故在圆外，则过点做圆的切线有两条，且切线斜率必存在，设切线为，即，则圆心到直线的距离，解得或，故切线方程为或故答案为：或三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由短轴长得，由离心率处也的关系，从而可求得，得椭圆方程；（2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式得弦长，求出原点到直线的距离，得出三角形面积为的函数，用换元法，基本不等式求得最大值，得值【详解】解：（1）由题意得，，所以，，椭圆的方程为（2）直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得由题意，，设，则，弦长，点到直线的距离，所以的面积，令，则，当且仅当时取等号．所以，对应的，可解得，满足题意18、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时，，即不等式成立.【小问1详解】解：函数的定义域为，，∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】证明：因为时，证明，只需证明，由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；所以.令，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以.所以时，，所以当时，19、（1）（2）【解析】（1）以A为原点，以AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，（2）求出和的法向量，利用空间向量求解【小问1详解】以A为原点，以AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由，，，，所以，，，因此，，，设平面的法向量，则，，所以，取，则，，于是，所以点到平面的距离【小问2详解】由，，设平面的法向量，则，，所以，取，则，，于是，由（1）知平面的法向量为，记二面角的平面角为，则，由图可知二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为20、（1）；（2），.【解析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为成等差数列，所以有，因成等比数列，所以，所以；【小问2详解】由题意可知：在和之间插入个，在和之间插入个，，在和之间插入个，此时共插入的个数为：，在和之间插入个，此时共插入的个数为：，因此.21、或【解析】直线截圆得的弦长为，结合圆的半径为5，利用勾股定理可得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求出直线斜率，由点斜式可得结果.【详解】设直线的方程为，即，因为圆的半径为5，截得的弦长为所以圆心到直线的距离，即或，∴所求直线的方程为或.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.22、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】(1)利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答.(2)以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离.(3)利用(2)中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.小问1详解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，则，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小问2详