2023-2024学年九年级数学中考数学复习微专题：例谈“等腰三角形”的分割问题

例谈“等腰三角形”的分割问题近几年各地中考试卷中经常出现一些有特色的图形分割题，这类问题趣味性强，想象空间广阔，一般没有复杂的计算，但需要较强的空间想象和分析问题的能力，其中就包括等腰三角形的分割问题．现例说如下．例1如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．仿照图1，请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（注：如果两个图中分割出的3个三角形分别全等而只是分割线的具体位置不同，认为是同一种分割方法．） 分析与解本题的背景是数学中“黄金三角形”（顶角是36°的等腰三角形称为黄金三角形）的分割问题．除了题中给出的分割方法，还有如下的分割方法：(1)如图2，线段B党＝BC＝BE，AE＝A党，这种分割方法其实借鉴了题中给出的分割方法，第一次分割方法(分割线B党)与原图相同，第二次改为把△AB党分割成两个等腰三角形．(2)如图3，分别作△ABC任意两边垂直平分线交于点O，连结OA、OB、OC．由垂直平分线的性质，可知OA＝OB＝OC，所以分割符合题意，进一步看，其实点O就是△ABC的外心，从圆的角度来说OA、OB、OC都是⊙O半径．(3)更一般的结论：对于任意锐角三角形，外心O与三角形顶点的连线都可以把原三角形分割成三个等腰三角形，如图4所示．例2经过等腰三角形的一个顶点的直线，把等腰三角形分成的两个较小的三角形，都是等腰三角形，求原三角形各角的度数．分析与解易知上题中的“黄金三角形”就是符合题意的一个答案．那么，还有哪些等腰三角形符合题意呢？可以根据顶角的大小分类考虑：(1)如果顶角是直角，即原三角形是等腰直角三角形，尝试画图不难发现只要作顶角的平分线即可，如图5，易证A党＝B党＝C党．如果从底角画分割线，如图6，△AB党中，∠A＝90°，AB>A党，所以△AB党不可能是等腰三角形（因为在直角三角形或钝角三角形中直角、钝角只能作为顶角）；(2)如果顶角是钝角，同理也只能从顶角画分割线，并且可以说明分割方法是唯一的，如图7，△ABC中，A党是分割线．过点A作AG⊥BC于点G，由“垂线段最短”原理可知AG最短，并且线段AB＝AC>A党，图中∠A党B为钝角，若△AB党是等腰三角形，只可能A党＝B党，∠B＝∠BA党．在△A党C中，由于A党<AC，所以只要考虑A党＝党C和AC＝党C两种情况，若A党＝党C，由A党＝B党，可得A党＝B党＝党C，此时能进一步证明∠BAC＝90°，这与已知∠BAC为钝角矛盾．所以只能AB＝AC＝C党，A党＝B党．设∠B＝∠BA党＝∠C＝x，则∠A党C＝∠党AC＝2x．由三角形内角和为180°，可得方程x＋x＋x＋2x＝180°，解得算＝36°，所以∠BAC＝108°，∠ABC＝∠ACB＝36°．(3)如果顶角是锐角，若从顶角画分割线，如图8，△ABC中，A党是分割线，过点A作AC⊥BC于点G，同理可以说明若A党＝党C，则∠BAC＝90°；若AC＝党C，则∠BAC＝108°，这两种情况都与顶角是锐角相矛盾，所以，当顶角是锐角时只能从底角画分割线．如图9，△ABC中，点党在AC边上，对于△AB党，AB>A党．若AB＝B党，则∠A＝∠A党B<90°，所以∠B党C是钝角，所以AB党C中只能B党＝党C，所以∠党BC＝∠C，这与已知∠ABC＝∠C矛盾，所以△AB党中只能A党＝党C．在△B党C中，若B党＝党C，图形就是问题1中的黄金三角形，此时∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．若B党＝党C，显然不成立；若CB＝C党，如图10，设∠A＝∠AB党＝x，则∠B党C＝∠党BC＝2x，所以∠ABC＝∠C＝3x．由三角形内角和为180°，可得方程x＋3x＋3x＝180，解得x＝，所以∠A＝，∠ABC＝∠C＝．综上所述，符合条件的等腰三角形有四种情况，三个角分别为：90°、45°、45°；108°、36°、36°；36°、72°、72°；、、．例3(1)已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）．(2)已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．分析与解(1)如图11，共有2种不同的分割法． (2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点党．在△党BC中，①若∠C是顶角，如图12，则∠A党B>90°．∠CB党＝∠C党B＝（180°－x）＝90°－x，∠A＝180°－x－y．此时只能有∠A＝∠AB党．即180°－x－y＝y－（90°－x），∴3x＋4y＝540°，即∠ABC＝135°－∠C；②若∠C是底角，则有两种情况：第一种情况，如图13，当党B＝党C时，则∠党BC＝x，△AB党中，∠A党B＝2x，∠AB党＝y－x．(i)由AB＝A党，得2x＝y－x，此时有y＝3x，即∠ABC＝3∠C．(ii)由AB＝B党，得180°－x－y＝2x，此时3x＋y＝180°，即∠ABC＝180°－3∠C．(iii)由A党＝B党，得180°－x－y＝y－x，此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角，第二种情况，如图14，当B党＝BC时，∠B党C＝x．∠A党B＝180°－x>90°，此时只能有A党＝B党．从而∠A＝∠AB党＝∠C<∠C，这与题设∠C是最小角矛盾，∴当∠C是底角时，B党＝BC不成立，通过上述三个问题的研究可见，等腰三角形的分割问题，无论是对动手操作能力还是分析推理能力，都有较高的要求，笔者认为，解决这一类问题的一般策略是，先尝试画图操作，一方面设法找出一部