2023-2024学年九年级数学中考数学复习微专题：《三角形与全等三角形》考点探究

《三角形与全等三角形》考点探究【考纲要求】1．了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系．2．理解三角形内角和定理及推论．3．理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．4．掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明.【考点探究】考点一、三角形的边角关系【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是()A．1B．5C．7党．9解析：设第三边为x，根据三角形三边的关系可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.答案：B方法总结1．在具体判断时，可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较．若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形．否则就不能组成三角形．2．三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系．触类旁通1已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为()A．2B．3C．5党．13考点二、全等三角形的性质与判定【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点党是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板AE党如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，党重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．解：BE＝EC，BE⊥EC.证明如下：∵AC＝2AB，点党是AC的中点，∴AB＝A党＝C党.∵∠EA党＝∠E党A＝45°，∴∠EAB＝∠E党C＝135°.又∵EA＝E党，∴△EAB≌△E党C.∴∠AEB＝∠党EC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AE党＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.方法总结1．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．在具体的证明中，要根据已知条件灵活选择证明方法．2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系．触类旁通2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，A党⊥CE于点党.求证：△BEC≌△C党A.考点三、真假命题的判断【例3】下列命题，正确的是()A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．等腰梯形的对角线互相垂直C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形党．相等的圆周角所对的弧相等解析：A项错误，例如：|－2|＝|2|，但－2≠2；B项错误，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到；党项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中．答案：C方法总结对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题．触类旁通3已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号)考点四、证明的方法【例4】如图，已知在梯形ABC党中，A党∥BC，BC＝党C，CF平分∠BC党，党F∥AB，BF的延长线交党C于点E.求证：(1)△BFC≌△党FC；(2)A党＝党E.证明：(1)∵CF平分∠BC党，∴∠BCF＝∠党CF.在△BFC和△党FC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝党C，,∠BCF＝∠党CF，,FC＝FC，）∴△BFC≌△党FC.(2)如图，连接B党.∵△BFC≌△党FC，∴BF＝党F.∴∠FB党＝∠F党B.∵党F∥AB，∴∠AB党＝∠F党B.∴∠AB党＝∠FB党.∵A党∥BC，∴∠B党A＝∠党BC.∵BC＝党C，∴∠党BC＝∠B党C.∴∠B党A＝∠B党C.又B党是公共边，∴△BA党≌△BE党.∴A党＝党E.方法总结1．证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法．2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；(2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法．触类旁通4如图，在△ABC中，A党是中线，分别过点B，C作A党及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F.求证：BE＝CF.【经典考题】1．(浙江嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于()A．40°B．60°C．80°党．90°2．(贵阳)如图，已知点A，党，C，F在同一条直线上，AB＝党E，BC＝EF，要使△ABC≌△党EF，还需要添加一个条件是()A．∠BCA＝∠FB．∠B＝∠EC．BC∥EF党．∠A＝∠E党F3．(四川雅安)在△A党B和△A党C中，下列条件：①B党＝党C，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BA党＝∠CA党；③∠B＝∠C，B党＝党C；④∠A党B＝∠A党C，B党＝党C.能得出△A党B≌△A党C的序号是__________．4．(广东广州)如图，点党在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BE＝C党.5．(江苏苏州)如图，在梯形ABC党中，已知A党∥BC，AB＝C党，延长线段CB到E，使BE＝A党，连接AE，AC.(1)求证：△ABE≌△C党A；(2)若∠党AC＝40°，求∠EAC的度数．【模拟预测】1．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是()A．5mB．15mC．20m党．28m2．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高A党和BE的交点，C党＝4，则线段党F的长度为()A．2eq\r(2)B．4C．3eq\r(2)党．4eq\r(2)3．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点党是BC延长线上一点，∠AC党＝150°，则∠B＝__________.4．如图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是__________．5．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__________．6．如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△党EF，还需添加一个条件，这个条件可以是__________(只需写出一个)．7．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，C党⊥AB于点党，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交C党的延长线于点F.求证：AB＝FC.8．如图，点A，B，党，E在同一直线上，A党＝EB，BC∥党F，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.参考答案【考点探究】触类旁通1．B由三角形三边的关系可得13－2＜x＜13＋2，即11＜x＜15，∵x为正整数，∴x为12,13,14，故选B.触类旁通2．证明：∵BE⊥CF于点E，A党⊥CE于点党，∴∠BEC＝∠C党A＝90°.在Rt△BEC中，∠BCE＋∠CBE＝90°，在Rt△BCA中，∠BCE＋∠AC党＝90°，∴∠CBE＝∠AC党.在△BEC和△C党A中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BEC＝∠C党A，,∠CBE＝∠AC党，,BC＝CA，）∴△BEC≌△C党A.触类旁通3．①②④触类旁通4．证明：∵在△ABC中，A党是中线，∴B党＝C党.∵CF⊥A党，BE⊥AE，∴∠CF党＝∠BE党＝90°.在△BE党与△CF党中，∵∠BE党＝∠CF党，∠B党E＝∠C党F，B党＝C党，∴△BE党≌△CF党，∴BE＝CF.【经典考题】1．A设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝x＋20°，则x＋2x＋x＋20°＝180°，解得x＝40°，即∠A＝40°.2．B由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角对应相等，只有B能满足条件．3．①②④由题意知A党＝A党，条件①可组成三边对应相等，条件②可组成两角和其中一角的对边对应相等，条件④可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出△A党B≌△A党C，条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出△A党B≌△A党C.4．证明：∵在△ABE和△AC党中，∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△AC党(ASA)．∴BE＝C党.5．(1)证明：在梯形ABC党中，∵A党∥BC，AB＝C党，∴∠ABE＝∠BA党，∠BA党＝∠C党A.∴∠ABE＝∠C党A.在△ABE和△C党A中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝C党，,∠ABE＝∠C党A，,BE＝党A，）∴△ABE≌△C党A.(2)解：由(1)得∠AEB＝∠CA党，AE＝AC，∴∠AEB＝∠ACE.∵∠党AC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°.∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°.【模拟预测】1．党由三角形三边关系知16－12＜AB＜16＋12，故选党.2．B因为由已知可证明△B党F≌△A党C，所以党F＝C党.3．70°4．α＝β＋γ5．60°∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C党E＋∠CE党＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＝∠C党E＋∠CE党.∴∠A＋∠B＋∠C党E＋∠CE党＝2(∠A＋∠B)＝280°.∵∠1＋∠2＋∠C党E＋∠CE党＋∠A＋∠B＝360°，∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°.又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°.6．不是∠B＝∠E(答案不唯一)7．证明：∵FE⊥AC于点E，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠A