随机时变扩散下的混凝土随机时变扩散分析

随机时变扩散下的混凝土随机时变扩散分析

混凝土结构位于氯盐岩等环境中，其耐久性取决于氯离子穿透混凝土的速度和氯离子浓度的分布。由于混凝土材料和环境条件的随机变异性，决定了氯离子在混凝土中的扩散和积聚是一个随机过程。因此，混凝土中氯离子扩散过程的随机模拟是研究混凝土耐久性的有效途径。吴进等人对海洋环境下混凝土钢筋表面氯离子浓度的随机模型进行了研究。考虑到氯离子模型的不确定性，提出了一种预测氯离子浓度的概率方法。karime等人根据考虑到氯离子扩散系数的随机性，总结了混凝土钢筋的腐蚀。刘志勇等人基于开朗卡方法预测了海工混凝土的使用寿命。赵卓等人对杭州海桥70米长的混凝土结构进行了随机分析。采用回归法研究了混凝土结构中氯离子浓度的随机扩散和浓度分布。然而，上述研究主要基于分析理论或回归法的随机抽样模拟计算。然而，由于计算机分析理论的应用范围有限，由于monterey方法的随机抽样模拟，计算效率低，因此无法有效消除上述两种方法的缺点。另外,混凝土所处的侵蚀环境及其自身材料性能都具有时变特性,通常体现在混凝土的氯离子扩散系数、表面氯离子浓度等参数随时间变化而变化.Tang等给出了氯离子扩散系数随时间呈指数衰减的表达式;Mangat等提出了氯离子扩散系数在半无限大体中的时变特性;Thomas等在建立混凝土氯离子扩散系数的时变模型时考虑了初始时刻氯离子扩散的影响;余红发等在综合考虑氯离子固化、混凝土材料和结构缺陷等因素的基础上,研究建立了氯离子时变扩散模型;杨绿峰等在考虑混凝土初始暴露龄期和氯离子扩散系数时变性基础上研究了氯离子侵入混凝土的时变扩散过程;Amey等建议表面氯离子浓度和时间关系采用线性函数和幂函数形式表达;Kassir等利用指数函数研究了表面氯离子浓度时变情况下的氯离子扩散封闭解;余红发、Hong和Song等也对表面氯离子浓度的时变模型进行了相关研究.但这些工作都建立于确定性分析基础上,需要进一步考虑随机因素的影响.本文利用局部平均法将作为高斯随机场的氯离子扩散系数离散为一组随机变量,然后利用摄动技术建立了氯离子随机时变扩散分析的摄动随机有限元法(SFEM)的递归控制方程,分析了氯离子扩散系数随机时变性对氯离子扩散过程的影响.1混凝土氯离子扩散系数的确定混凝土中氯离子扩散分析理论通常以Fick第二定律为基础:式中:C为氯离子浓度;t为混凝土结构暴露于氯离子环境中的时间;x为横坐标,通常表示氯离子沿混凝土试件边界的内法线方向扩散的深度;D=D(t)为混凝土的氯离子扩散系数.式(1)初始条件与边界条件分别为:C(x,0)=C0;C(0,t)=Cs;C(+∞,t)=C0,其中:C0为暴露于氯盐环境时混凝土中氯离子的初始浓度;Cs为混凝土表面氯离子浓度.随着混凝土龄期的增长,其内部密实度因水化反应而不断提高,导致混凝土的氯离子扩散系数不断衰减.Tang等基于文献介绍的扩散数学理论给出了氯离子扩散系数的时变表达式:式中:t′为混凝土龄期;t0为混凝土暴露于氯盐环境时的初始龄期,且t=t′-t0;D0为t0时混凝土的氯离子初始扩散系数;g(t)是关于混凝土暴露时间t的函数;n为混凝土的龄期衰减系数.通常采用2种方法确定n,一种是经验取值计算法,另一种是试验拟合法.经验取值计算法根据经验或规范确定n的取值,如北美Life-365和我国CCES01—2004《混凝土结构耐久性设计与施工指南》建议n的取值按公式n=0.2+0.4(wFA/0.5+wSG/0.7)计算,式中wFA和wSG分别表示粉煤灰掺量(粉煤灰与胶凝材料的质量比)和矿渣掺量(矿渣与胶凝材料的质量比),该式适用于粉煤灰掺量小于50%、矿渣掺量小于70%的情况;试验拟合法通过试验得到不同龄期混凝土的氯离子扩散系数,然后进行回归分析,由式(2)拟合得到混凝土的龄期衰减系数n.对式(2)作变量代换,令dT=g(t)dt,则:Kassir等根据试验得到混凝土表面氯离子浓度随时间变化的指数函数表达式:式中:Cs0为氯盐环境下氯离子扩散平衡时混凝土表面氯离子浓度;α是拟合系数,可以根据试验中测得的混凝土表面氯离子浓度拟合求得,这里取α=0.25a-1.将式(2),(5)代入氯离子扩散控制方程式(1)中,并根据T和t之间的变量代换关系,可得:其初始条件与边界条件分别为:C(x,0)=C0;C(0,T)=Cs0(1-exp(-αT));C(+∞,T)=C0.2扩散单元的控制方程根据变分法可知,式(6)边界条件与泛函的变分极值条件相一致.式中,L为有限元模型中混凝土内氯离子扩散场的长度,通常可取试件长度.根据有限元法,将氯离子扩散场离散为一组单元,并建立典型单元上氯离子浓度分布函数Ce(x,T):式中:[N]e为单元形函数矩阵,{C}e为单元节点氯离子浓度列矩阵.将式(8)代入式(7),并令δΠe(C)=0,得扩散单元的控制方程为:其中:表示{C}e对T的一阶导数;[M]e,[K]e分别为氯离子分布矩阵和氯离子扩散矩阵,其中:式中:[N],x表示单元形函数矩阵[N]对x的一阶导数;le为有限元模型中离散单元长度.将单元控制方程集成总体有限元方程:其中:[M],[K]分别为总体分布矩阵和总体扩散矩阵,分别由单元矩阵[M]e,[K]e集成.3氯离子随机时变扩散的基本控制方程当考虑氯离子扩散系数D(t)的随机性时,式(2)中的氯离子初始扩散系数D0为随机量,函数g(t)为确定性函数.为了能准确反映随机量D0在空间上的随机变异及相关性,通常将D0模型化为随机场.本文采用广义平稳且均匀的高斯随机场,并按照局部平均方法将随机场D0沿氯离子扩散方向离散为m1个随机场单元,在每个单元上随机场D0都可以定义为1个随机变量Xi(i=1,2,…,m1).Xi可以用零均值随机变量αi表示:式中:表示随机变量Xi的均值.根据随机场离散的局部平均方法,容易求得随机变量Xi的均值和协方差cov[αi,αj].由于氯离子扩散系数D(t)具有随机性,所以有限元方程中的总体扩散矩阵[K]、节点氯离子浓度列矩阵{C}都是随机量,可以根据小参数摄动技术建立其二阶摄动展开式:式中:分别表示[K],{C}在均值处之值;[K]i,{C}i分别表示[K],{C}对Xi的一阶偏导数在处之值;类似地,[K]ij,{C}ij分别表示[K],{C}对Xi和Xj的二阶混合偏导数在处之值,且有:式中:D0,i表示D0对随机变量Xi的一阶偏导;D0,ij表示D0对随机变量Xi,Xj的二阶混合偏导;代表氯离子初始扩散系数D0的均值;e代表单元编号.将式(13)、式(14)代入式(11),令αi的同阶项系数相等,可以得到一组递归方程,即为氯离子随机时变扩散分析的摄动随机有限元法控制方程:其中:表示对T的一阶导数,且有:用直接积分法将时间区域[0,T]等分为m2个时长为ΔT的子区间[Tk-1,Tk](k=1,2,…m2),在子区间上建立,{C}i和{C}Ⅱ的线性近似表达式,并代回式(16),进而通过加权余量法可以得到时间子域[Tk-1,Tk]上从开始到结束时的氯离子浓度递归方程的迭代求解表达式:式中:,{C}ik-1,{C}Ⅱk-1和,{C}ik,{C}Ⅱk分别表示,{C}i,{C}Ⅱ在Tk-1,Tk时的氯离子浓度值;矩阵[H],[R]和向量{P}0,{P}1都和差分松弛系数θ有关,且有:θ可以利用局部变量ξ和加权函数ω表示,即为:本文采用后向差分公式计算,取θ=1.根据式(18)和初始条件递推求解,{C}i,{C}Ⅱ在Tk(k=1,2,…,m2)上的值,进而得到氯离子浓度均值E[{C}]和协方差var[{C}]:通常利用MonteCarlo法(MC)与确定性数值方法相结合的方式,检验随机数值方法的适用性、计算精度和计算效率.因而,为了检验本文建立的混凝土中氯离子随机时变扩散分析的摄动随机有限元法(SFEM)的有效性,通过取随机输入参数的变异系数为0,将SFEM退化为氯离子扩散分析的确定性有限元方法(FEM),此时可利用解析理论、试验结果验证FEM的计算精度.在证实FEM正确性的基础上,将MC和FEM相结合,可以建立氯离子随机时变扩散分析的MonteCarlo有限元法(MCFEM),据此可以验证本文建立的SFEM的适用性、计算精度和计算效率.4有限元模型验证算例1:Tang等对水灰比(质量比)为0.3的抗硫酸盐高性能混凝土板进行氯离子扩散试验,他们在混凝土板的初始龄期为0.03a时将其5个面用环氧树脂封闭,留下1个面暴露在海洋环境中.测试和分析结果表明:混凝土暴露表面的氯离子浓度(氯离子与混凝土的质量比,下同)为3.09%;氯离子初始扩散系数D0为2.5×10-12m2/s;混凝土龄期衰减系数n为0.3.笔者采用本文建立的混凝土中氯离子扩散分析的确定性有限元方法(FEM),并考虑氯离子扩散系数的时变性,计算混凝土板中氯离子浓度分布,并与Tang等的试验结果(记为“Test”)相比较,结果如图1所示.图1图例说明“FEM”及“Test”后面的时间表示混凝土持续暴露于氯盐环境中的时间,以下各图类同.由图1可以看出,本文FEM方法的计算结果和Tang等的试验结果基本吻合,这证明本文FEM方法具有较好的计算精度,同时也证明了考虑混凝土扩散系数的时变性是符合实际情况的.算例2:设混凝土立方体试件尺寸为150mm×150mm×150mm.将该试件的5个面用环氧树脂封闭,只留1个面浸泡于富含氯离子的海水中.浸泡时混凝土的初始龄期为28d,混凝土龄期衰减系数n取0.24.混凝土试件中氯离子初始浓度为0,表面氯离子浓度符合式(5)定义的指数型时变模型,且有:氯离子扩散平衡时的表面氯离子浓度为0.8%,α=0.25a-1.混凝土的氯离子扩散系数如式(2)所定义,且是随机时变函数,其中的氯离子初始扩散系数D0具有随机性,可以模型化为高斯随机场.氯离子扩散系数均值为63.072mm2/a,氯离子扩散系数变异系数(δ)为0.1,高斯随机场离散单元长度为10mm.利用本文建立的摄动随机有限元法(SFEM)计算混凝土中氯离子的浓度均值、变异系数及其变化规律,并将计算结果同MonteCarlo有限元法(MCFEM)对比,结果见图2,3.有限元模型中,差分松弛系数(θ)为1.从图2,3可见:SFEM与MCFEM的计算结果相当吻合,这证明了本文建立的SFEM具有较高的计算精度;随着混凝土持续暴露于氯盐环境时间的增长,试件中氯离子浓度均值逐渐提高,氯离子浓度变异系数逐步降低.表1为分别使用MCFEM和SFEM计算暴露于氯盐环境10,30,50a时混凝土中氯离子浓度均值和变异系数所需的时间.由表1可知,SFEM的计算用时远少于MCFEM,这表明本文建立的SFEM具有较高的计算效率.为了更好地分析混凝土材料特性和环境条件对氯离子扩散过程的影响,采用本文方法(SFEM)分别计算了同时考虑氯离子扩散系数随机时变性和表面氯离子浓度时变性(记为CRT-ST)、同时考虑氯离子扩散系数和表面氯离子浓度时变性(记为CT-ST)、同时考虑氯离子扩散系数随机性和表面氯离子浓度时变性(记为CR-ST)、仅考虑氯离子扩散系数随机时变性(记为CRT)、仅考虑氯离子扩散系数随机性(记为CR)的氯离子平均浓度和氯离子浓度变异系数,计算结果分别如图4,5所示.由图4可以看出:当仅考虑氯离子扩散系数随机性(CR曲线)时,混凝土中氯离子浓度均值最大;同时考虑氯离子扩散系数随机性和表面氯离子浓度时变性的CR-ST曲线与CR曲线较为接近,且随着暴露时间的增长更加明显,说明混凝土试件表面氯离子浓度时变性对氯离子扩散过程影响较小,特别是对暴露时间较长的混凝土结构而言更是如此.仅考虑氯离子扩散系数随机时变性(CRT曲线)时,氯离子浓度均值明显小于CR曲线,表明氯离子扩散系数的时变性对氯离子扩散过程有较大影响.同时考虑氯离子扩散系数随机时变性和表面氯离子浓度时变性(CRT-ST曲线)时,氯离子浓度均值最小.同时考虑氯离子扩散系数和表面氯离子浓度时变性(CT-ST曲线)时,氯离子浓度均值几乎与CRT-ST的一致,说明是否考虑氯离子扩散系数的随机性对氯离子浓度均值的影响不大.同时CRT曲线与CRT-ST曲线较为接近,暴露时间较长该现象更加明显,再次证明了表面氯离子浓度时变性对氯离子扩散过程影响较小,在探讨混凝土的氯离子长期扩散问题中可以忽略该因素.另外,从图4还可以看出,CRT-ST曲线明显低于CR-ST曲线,再次证明了氯离子扩散系数的时变性对混凝土中氯离子扩散过程有显著影响,是一个不可忽视的因素.从图5可以看出,同时考虑氯离子扩散系数和表面氯离子浓度时变性,即不考虑氯离子扩散系数的随机性(CT-ST曲线)时,混凝土中氯离子浓度变异系数为0,这与实际情况相符合,再次证明了本文建立的SFEM在不考虑混凝土氯离子扩散系数随机性时的退化方法(FEM)能够给出正确结果.同时,比较CT-ST曲线和CRT-ST曲线,可以看出,氯离子扩散系数的随机性显著增大了混凝土中氯离子浓度变异系数.从图4,5可以看出,氯离子浓度越高,氯离子浓度变异系数越小,这和图2,3表明的规律相同.为了进一步研究随机输入参数变异性对氯离子扩散过程的影响,这里计算了氯离子扩散系数取不同变异系数时混凝土中氯离子浓度均值和变异系数的变化情况,如图6,7所示.由图6,7可以看出,氯离子扩散系数变异系数增大时,氯离子浓度均值几乎不变,但氯离子浓度变异系数则随之而增大.由于氯离子浓度变异系数的增大将降低混凝土结构的可靠度和服役寿命,因此可以看出,氯离子扩散系数的随机性对氯盐环境下混凝土结构的可靠度和服役寿命具有显著影响,一旦忽视,将导致高估混凝土结构的安全性和服役寿命,造成潜在危害.5mcfem和mcfem的验算结果(1)建立了