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文档简介
西南名校联盟2023-2024学年数学高二上期末综合测试试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设双曲线C:的左、右焦点分别为,点P在双曲线C上,若线段的中点在y轴上,且为等腰三角形,则双曲线C的离心率为()A. B.2C. D.2.在空间直角坐标系中,方程所表示的图形是()A圆 B.椭圆C.双曲线 D.球3.设函数,则()A.1 B.5C. D.04.在正三棱锥S−ABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且,若侧棱,则正三棱锥S−ABC外接球的表面积是()A. B.C. D.5.已知,为椭圆上关于短轴对称的两点,、分别为椭圆的上、下顶点,设,、分别为直线,的斜率,则的最小值为()A. B.C. D.6.若在直线上,则直线的一个方向向量为()A. B.C. D.7.设数列、都是等差数列,若,则等于()A. B.C. D.8.直线分别与轴,轴交于A,B两点,点在圆上,则面积的取值范围是()A. B.C D.9.等差数列x,,,…的第四项为()A.5 B.6C.7 D.810.设双曲线C:的左、右焦点分别为,点P在双曲线C上,若线段的中点在y轴上,且为等腰三角形,则双曲线C的离心率为()A B.2C. D.11.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是古老的传统民间艺术之一.如图是一个窗花的图案,以正六边形各顶点为圆心、边长为半径作圆,阴影部分为其公共部分.现从该正六边形中任取一点,则此点取自于阴影部分的概率为()A. B.C. D.12.已知某班有学生48人,为了解该班学生视力情况,现将所有学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号,15号,39号学生在样本中,则样本中另外一个学生的编号是()A.26 B.27C.28 D.29二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.当曲线与直线有两个不同的交点时,实数k的取值范围是____________14.已知双曲线:,斜率为的直线与E的左右两支分别交于A,B两点,点P的坐标为,直线AP交E于另一点C,直线BP交E于另一点D.若直线CD的斜率为,则E的离心率为___________15.双曲线离心率__________.16.已知点F是抛物线的焦点,点,点P为抛物线上的任意一点,则的最小值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中,.(1)当时,求曲线在点处切线方程;(2)求函数的单调区间.18.(12分)在直三棱柱中,,,,,分别是,上的点,且(1)求证:∥平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值19.(12分)函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)已知函数(1)求的图象在点处的切线方程;(2)求在上的最大值与最小值21.(12分)已知函数.(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)若在上存在极值点,证明:.22.(10分)已知函数.(1)求的导数;(2)求函数的图象在点处的切线方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据是等腰直角三角形,再表示出的长,利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M,因为O为的中点,所以,而,则,为等腰三角形,故,由,得,又为等腰直角三角形,故,即,解得,即,故选:A.2、D【解析】方程表示空间中的点到坐标原点的距离为2,从而可知图形的形状【详解】由,得,表示空间中的点到坐标原点的距离为2,所以方程所表示的图形是以原点为球心,2为半径的球,故选:D3、B【解析】由题意结合导数的运算可得,再由导数的概念即可得解.【详解】由题意,所以,所以原式等于.故选:B.4、A【解析】由题意推出平面,即平面,,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线就是球的直径,求出直径即可求出球的体积【详解】∵,分别为棱,的中点,∴,∵三棱锥为正棱锥,作平面,所以是底面正三角的中心,连接并延长交与点,∵底面是正三角形,,平面∴,,∵,平面,平面,∴平面,∵平面,∴,∴,又∵,而,且,平面,∴平面,∴平面,∴,因为S−ABC是正三棱锥。所以,以,,为从同一定点出发的正方体三条棱,将此三棱锥补成以正方体,则它们有相同的外接球,正方体的体对角线就是球的直径,,所以.故选:A.5、A【解析】设出点,的坐标,并表示出两个斜率、,把代数式转化成与点的坐标相关的代数式,再与椭圆有公共点解决即可.【详解】椭圆中:,设则,则,,令,则它对应直线由整理得由判别式解得即,则的最小值为故选:A6、D【解析】由题意可得首先求出直线上的一个向量,即可得到它的一个方向向量,再利用平面向量共线(平行)的坐标表示即可得出答案【详解】∵在直线上,∴直线的一个方向向量,又∵,∴是直线的一个方向向量故选:D7、A【解析】设等差数列的公差为,根据数列是等差数列可求得,由此可得出,进而可求得所求代数式的值.【详解】设等差数列的公差为,即,由于数列也为等差数列,则,可得,即,可得,即,解得,所以,数列为常数列,对任意的,,因此,.故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列基本量的求解,通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键,另外,在求解有关等差数列基本问题时,可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.8、A【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高,高就是圆上点到直线的距离.【详解】与x,y轴的交点,分别为,,点在圆,即上,所以,圆心到直线的距离为,所以面积的最小值为,最大值为.故选:A9、A【解析】根据等差数列的定义求出x,求出公差,即可求出第四项.【详解】由题可知,等差数列公差d=(x+2)-x=2,故3x+6=x+2+2,故x=-1,故第四项为-1+(4-1)×2=5.故选:A.10、A【解析】根据是等腰直角三角形,再表示出的长,利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M,因为O为的中点,所以,而,则,为等腰三角形,故,由,得,又为等腰直角三角形,故,即,解得,即,故选:A.11、D【解析】求得阴影部分的面积,结合几何概型概率计算公式,计算出所求的概率.【详解】设正六边形的边长为,则其面积为.阴影部分面积为,故所求概率为.故选:D12、B【解析】由系统抽样可知抽取一个容量为4的样本时,将48人按顺序平均分为4组,由已知编号可得所求的学生来自第三组,设其编号为,则,进而求解即可【详解】由系统抽样可知,抽取一个容量为4的样本时,将48人分为4组,第一组编号为1号至12号;第二组编号为13号至24号;第三组编号为25号至36号;第四组编号为37号至48号,故所求的学生来自第三组,设其编号为,则,所以,故选:B【点睛】本题考查系统抽样的编号,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】求出直线恒过的定点,结合曲线的图象,数形结合,找出临界状态,即可求得的取值范围.【详解】因为,故可得,其表示圆心为,半径为的圆的上半部分;因为,即,其表示过点,且斜率为的直线.在同一坐标系下作图如下:不妨设点,直线斜率为,且过点与圆相切的直线斜率为数形结合可知:要使得曲线与直线有两个不同的交点,只需即可.容易知:;不妨设过点与相切的直线方程为,则由直线与圆相切可得:,解得,故.故答案为:.14、【解析】分别设线段的中点,线段的中点,再利用点差法可表示出,由平行关系易知三点共线,从而利用斜率相等的关系构造方程,代入整理可得到关系,利用双曲线得到关于的齐次方程,进而求得离心率.【详解】设,,线段的中点,两式相减得:…①设,,线段的中点同理可得:…②,易知三点共线,将①②代入得:,所以,即,由题意可得,故.∴,即故答案为:15、【解析】由已知得到a,b,再利用及即可得到答案.【详解】由已知,可得,所以,所以.故答案为:16、3【解析】根据抛物线的定义可求最小值.【详解】如图,过作抛物线准线的垂线,垂足为,连接,则,当且仅当共线时等号成立,故的最小值为3,故答案为:3.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)答案见解析.【解析】(1)当时,,求出函数的导函数,再求出,,再利用点斜式求出切线方程;(2)首先求出函数的导函数,再对参数分类讨论,求出函数的单调区间;【详解】解:(1)当时,,所以,所以,,所以切线方程为:,即:(2)函数定义域为,,因为,①当时,在上恒成立,所以函数的单调递增区间为,无单调递减区间;②当时,由得,由得,所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为【点睛】本题考查导数的几何意义,利用导数研究含参函数的单调区间,属于基础题.18、(1)证明见解析(2)【解析】(1)建立空间直角坐标系,由空间向量证明与平面的法向量垂直(2)由空间向量求解【小问1详解】以C为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,,,,设,因为,所以,故,得,同理求得,所以,因为是平面的一个法向量,且,所以,又平面,所以平面;【小问2详解】由(1)可得:,,设平面的一个法向量为,则,即令,则,所以,又平面的一个法向量为,设表示平面与平面所成锐二面角,则19、(1)答案见解析;(2).【解析】(1)求出函数的定义域为,求得,分、、三种情况讨论,分析导数的符号变化,由此可得出函数的单调递增区间和递减区间;(2)构造函数,由题意可知恒成立,对实数分和两种情况讨论,利用导数分析函数在区间上的单调性,验证是否成立,由此可得出实数的取值范围.【详解】(1)函数的定义域为,.(i)当时,,函数在上单调递增;(ii)当时,令得.若,则;若,则.①当时,,函数在上单调递增;②当时,,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;综上,可得,当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减;(2)设,,则.当时,单调递增,则.所以,函数在上单调递增,且.当时,,于是,函数在上单调递增,恒成立,符合题意;当时,由于,,,所以,存在,使得.当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.故,不符合题意,综上所述,实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间,同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题,考查分类讨论思想的应用,属于难题.20、(1);(2)最大值与最小值分别为与【解析】(1)根据导数的几何意义求出切线的斜率即可求出结果;(2)利用导数研究函数的单调性,进而结合函数的单调性即可求出最值.【详解】(1)因为,所以所以所以的图象在点处的切线方程为,即(2)由(1)知令,则;令,则所以在上单调递减,在上单调递增.所以又,所以所以在上的最大值与最小值分别为与21、(1)(2)证明见解析【解析】(1)由题得,在,上为单调递增的函数,在,上恒成立,分类讨论,再次利用导数研究函数的最值即可;(2)由(1)可知,在存在极值点,则且,求得,再两次求导即可得结论.【小问1详解】由题得,在,上为单调递增的函数,在,上恒成立,设,当时,由,得,在,上为增函数,则,在,上恒成立,满足
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