圆的有关性质（原卷版）

24.1圆的有关性质一、圆的概念1、圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。注：①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上；②圆心为O、半径为的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。2、圆的两要素：圆心（定点）、半径（定长）。注：①同心圆：圆心重合、半径不同的圆是同心圆；②等圆：半径相等的圆是等圆。二、圆的相关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。2、直径：经过圆心的弦叫做直径。3、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A,B为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。4、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。5、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。三、垂直于弦的直径1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。四、弧、弦、圆心角1、圆心角的概念：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弧、弦、圆心角之间的关系：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。五、圆周角1、圆周角的概念：把顶点在圆周，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角；2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；3、圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。（2）半圆所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。六、圆内接多边形1、圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。题型一圆的相关概念的理解【例1】到O点距离为2的点的集合是．【变式11】下列命题：①长度相等的弧是等弧；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④半圆是弧．其中真命题共有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式12】下列条件中，能确定一个圆的是（

）A．以点O为圆心 B．以2cmC．以点O为圆心，10cm长为半径 D．经过点【变式13】若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式14】在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（

）A．2 B．5 C．1 D．5或1题型二求圆中弦的条数【例2】如图，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【变式21】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(

)A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【变式22】如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有条弦，它们分别是．【变式23】如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有条．【变式24】如图，△ABC是⊙O内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画山一条与BC相等的弦；（2）在图2中，画出一个与△ABC全等的三角形．题型三圆的周长和面积问题【例3】由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（

）A．π B．2π C．3π D．4π【变式31】如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（

）A．2πR2 B．4πR2 C【变式32】小丽用圆规画了一个半径为2cm的圆，小杰用12.56cm的线围成一个圆．下列说法正确的是（A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小【变式33】圆的面积扩大为原来的4倍，则半径（

）A．扩大为4倍 B．扩大为16倍 C．不变 D．扩大为2倍【变式34】如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．题型四利用垂径定理求解【例4】如图，⊙O的半径为5,M是圆外一点，MO=6，∠OMB=30°,MB交⊙O于点A,B，则弦AB的长为（

）A．4 B．6 C．63 D．【变式41】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D【变式42】兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，高度CD为【变式43】如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点，则OP【变式44】在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是题型五垂径定理的推理的理解【例5】如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则折痕AB的长为（

）A．3 B．23 C．6 D．【变式51】如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AM=BM,OM:OC=3:5，则AB的长为（

A．8cm B．91cm C．6cm【变式52】如图，⊙O的弦AB=6，C为AB的中点，且OC=4，则⊙O的半径为（

）A．8 B．6 C．5 D．4【变式53】如图，点A、B、C三点在⊙O上，点D为弦AB的中点，AB=8cm，CD=6cm，则A．43cm B．53cm C．83【变式54】如图，已知在半圆AOB中，AD=DC，∠CAB=30°，AB=8，求AD的长．题型六垂径定理的实际应用【例6】一辆装满货物，宽2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道（截面上部为半圆形，下部为长4m，宽2.5mA．4.1m B．4.0m C．3.9m【变式61】如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2A．5cm B．6cm C．7cm【变式62】唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（A．10m B．8m C．6m【变式63】一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC=6，求水面的宽AB．【变式64】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为（

）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米题型七利用弧、弦、圆心角求解【例7】如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，AB=CD，∠CED=21°，则∠AOB的度数是（A．69° B．48° C．42° D．21°【变式71】如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（A．37° B．74° C．53° D．63°【变式72】如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【变式73】如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，OC交AB于点D．（1）若∠AOB=120°，则∠AOC=°；（2）若AB=8cm，则AD=cm【变式74】如图所示，A,B是半径为3的⊙O上的两点．若∠AOB=120°,C是AB的中点，则四边形AOBC的周长为．题型八利用弧、弦、圆心角求证【例8】如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=A．1 B．2 C．3 D．4【变式81】如图，点A、B、C、D在⊙O中，且AB=AC，AC与【变式82】如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD．求证：DE=BE．【变式83】如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，证明AC=【变式84】如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．证明：E是OB题型九圆心角的理解与圆弧度数【例9】下列图形中的角是圆心角的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式91】下列说法正确的是（）A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B．圆心角α的取值范围是0°<α<180°C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D．圆心角就是在圆心的角【变式92】如图△ABC中，∠C=90°,∠B=20°，以C为圆心，CA为半径A．30° B．40° C．45°【变式93】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，那么DE的度数是．【变式94】如图，

AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，若∠AOC=75°，则题型十圆周角的理解与运用【例10】下列图形中的角是圆周角的是（

）A． B． C． D．【变式101】如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，AB所对圆周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【变式102】已知弦AB把圆周分成1:3两部分，则弦AB所对圆周角的度数为（

）A．45° B．135° C．90°或270° D．45°或135°【变式103】观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？【变式104】如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求BE的度数题型十一利用圆周角定理求解【例11】如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若A．40° B．44° C．50° D．55°【变式111】如图，△ADC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，若∠A=66°，则∠BCD等于（

）A．66° B．34° C．24° D．14°【变式112】如图，等边△ABC内接于⊙O，D是⊙O上的一点，∠CAD=45°，则∠BCD的度数是．【变式113】已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若DE=DC.求证：BD=DE．【变式114】如图，⊙O的半径为1，点A，B，C是⊙O上的三个点，点P在劣弧AB上，∠APB=120°，PC平分∠APB．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）PA+PB=PC．题型十二求圆内接四边形的角度【例12】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点，若∠DCB=140°，则∠ABC的度数为（

）A．60° B．65° C．70° D．