随机变量的直观意义连续型变量

随机变量的直观意义(连续型变量)对于离散型随机变量，我们可以建立随机变量取值和其概率的一一对应，即概率函数。而对于非离散型随机变量，如“某地气温”、“某类考生的体重”、“某地区麦穗的长度”、“顾客在邮局窗口等待服务的时间”等，这些随机变量可能取的值充满一个区间，该怎样描述它们呢？

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间，对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它取每个值概率的方式，去给出其概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式。引例

某地区麦穗的长度X是一个随机变量。抽取了部分麦穗，测得它们的长度，数据整理后的信息如下：即当Δx无限减小，分组无限增多时，频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线，此即为随机变量X的概率密度曲线，以该曲线为图形的函数称为X的概率密度函数。

连续型随机变量及其概率密度的定义

对于随机变量X，若存在一个非负可积函数f(x)，x∈(-∞，+∞)，使得对任意的实数a，b(a<b),有就称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。在直角坐标系下，密度函数的图形称为随机变量X的密度曲线。由定积分的几何意义可知:X在区间(a,b]上取值的概率P{a<X≤b}正是在该区间上以密度曲线为曲边的曲边梯形的面积。由密度函数定义和定积分的几何意义可知：（1）连续型随机变量X取任何一固定值c的概率为零，即P{X=c}=0（2）连续型随机变量X在任一区间上取值的概率与是否包含区间的端点无关，即常见连续型随机变量的密度函数

1.均匀分布(Uniformdistribution)若随机变量X的密度函数为

就称X在区间[a,b]上服从均匀分布，记作X~U(a，b)均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。

再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认为候车时间服从区间(0，a)上的均匀分布。

性质：均匀分布具有等可能性

服从U(a,b)上的均匀分布的随机变量X落入(a,b)中的任意子区间上的概率只与其区间长度有关，与区间所处的位置无关。直观理解就是，X落入(a,b)中的任意等长度子区间上是等可能的。

例

某报时台以1min为单位报时，即等于或超过30s进位1min，不足30s则略去不计，若以X表明报时台报时的化整（化整为1min）的误差：(1)写出X的概率密度函数；（2）求P{X>10},P{|X|≤10}。解：(1)依题意，X的可能取值必落在区间(-30，30]内，而且在该区间内任意一点有相同的概率密度，或者说，X落在区间(-30，30]之内的任意等长度的部分区间的可能性是相同的。所以X在区间(-30，30]上服从均匀分布。概率密度函数为可以看出，随机误差X落在区间长度为20s的时间段内的概率都是1/3，其概率与区间所处的位置无关，只与区间长度有关。案例

北京公交1路每5分钟一趟按时通过天安门东站，一乘客在随机选择的时间到达车站。以X记他的等车时间(以分计)，则X是一个随机变量，计算其等车时间不多于2分钟的概率。2.指数分布(Exponentialdistribution)指数分布的概率密度曲线如图:因为指数分布只可能取非负实数，所以它被用作各种“寿命”分布的近似分布，例如电子元器件的寿命，随机服务系统中的服务时间等都可假定服从指数分布．指数分布在可靠性理论与排队论中有着广泛的应用。例

设某日光灯管的使用寿命X服从参数为λ=1/2000的指数分布。(1)任取一根这种灯管，求能正常使用1000小时以上的概率；(2)有一根这种灯管，求正常使用了2000小时后，还能使用1000小时以上的概率。从本例可看出，一根灯管能正常使用1000小时以上的概率为0.607，在使用2000小时后还能使用1000小时以上的概率仍为0.607。这是指数分布的一个有趣的“无记忆性”。性质：指数分布具有无记忆性指数分布的无记忆性，简单来理解，就是使用寿命的长短，与它工作过多少小时是无关的。即案例

电子元件的使用寿命——某种电子元件的寿命X(以小时计)服从指数分布，其概率密度