专题7三角函数的图象与性质（学生版）

专题7三角函数的图象与性质本专题在高考中是必考内容，也是重点和热点内容本专题在高考中是必考内容，也是重点和热点内容，主要考查三角函数图象的变换与三角函数的性质及三角函数最值与值域问题，平面向量与三角函数相结合问题。通过本专题的复习要注意三角函数中各种参数的意义，参数变化对函数图象的影响。要充分利用化归与整合的思想解决已知函数的性质及图像相关问题。要注意平面向量与三角函数常见的各种结合形式。专题四个探究（三角函数图像、性质、最值与范围、平面向量与三角函数）层次分明、重点突出、将三角函数图像与性质在高考中的核心考点呈现，有利于抓住主要考向。——大冶一中高级教师陈俊杰探究1：三角函数的图象【典例剖析】例1.(2020·新高考1卷·多选)如图是函数y=sinωx+φ的部分图象，则A.sin (x+π3)

B.sin (π选题意图:选题意图:高考真题，三角函数的图象与性质是高考考查的重点，三角函数的图象是解决三角问题的重要工具，本题主要考查图象的变换由部分图象求三角函数解析式，要充分运用数形结合思想，结合“五点法”求解，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.思维引导：首先用图象上两点间的距离求出函数的周期，从而得到ω，然后利用五点作图法求得φ，即可得出函数图象的解析式，可根据诱导公式判断C、D练11(2022·湖北省荆州市联考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)f(x1)=f(xA.-34B.-74

C.练12(2021·全国甲卷理科)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象，如图所示，则满足条件(f(x)-f(-7π4))(f(x)-f(4π3))>0【规律方法】对形如f(x)=Asin准确识别和利用题干中函数图像的信息（如周期、振幅、最值、特征点等），列出方程（组）或不等式（组），常规方法有：（1）由振幅或最值，可确定A和（2）由周期的值或取值范围，可确定ω的值或取值范围.（3）由特征点确定φ的取值.2.充分挖掘题干中所给的函数性质（如周期、单调性、最值、奇偶性、对称性等），列出方程（组）或不等式（组）.特别地，正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ两个相邻最低（高）点的距离，即为T;两个相邻对称轴的距离，即为T2两个相邻对称中心的距离，即为T2相邻对称中心与对称轴的距离，即为T4探究2：三角函数的性质【典例剖析】例2.(2022·新高考2卷·多选)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3A.f(x)在(0,5π12)单调递减

B.f(x)在(-π12,11π12)有两个极值点

C.直线x=选题意图选题意图：高考真题，三角函数的图象与性质每年必考，难度中等偏易，考查的热点是函数的单调性、对称性、周期性，及极值与最值.考查直观想象与逻辑推理的核心素养.思维引导：首先由三角函数的对称性求出φ.直接根据正弦函数的单调性判断A选项;根据极值的性质判断B选项;根据正弦函数的对称轴判断C选项;利用导数的几何意义判断D选项.【变式训练】练21(2022·湖北省武汉市联考)函数f(x)=2cos2x-sin2x+1在0,练22(2022·新高考1卷)记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π，且y=f(x)A.1 B.32 C.52 练23(2020·全国新课标Ⅲ理科)关于函数f(x)=sinx+①f(x)的②f(x③f(x)的④f(x其中所有真命题的序号是

．练24(2022·广东省联考·多选)已知函数f(x)=sin(4x+π3A.f(x)的最大值为2

B.f(x)在[-π8,π12]上单调递增

C.f(x)在[0,π]上有4个零点

D.把【规律方法】1.研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）y=Asin(ω（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同名三角函数；（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；（3）用两角和、差公式或辅助角公式asinωx+b2.二次函数型：y=asin2x+bsin若将已给函数化简为更高次的函数，如y=(1+sinx)cos2x=(1+sinx)(1-sin2x探究3：三角函数中的最值与范围问题【典例剖析】例3.(2022·全国甲卷文科)将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则A.16 B.14 C.1选题意图选题意图：高考真题，本题以三角函数图象问题为背景，考查了图象的平移，对称等知识点以及转化，数形结合的数学思想，要求学生能够整体把握问题的本质，深刻理解数学的基本概念和基本思想方法.思维引导：由函数图象平移变换规律得到g(x)，再由正弦函数关于y轴对称得到ω【变式训练】练31(2022·河北省名校联考)设ω>0,若函数f(x)=2cos(ωx-π2)在[-π4,π2A.(0,12] B.(1,3练32(2022·辽宁省沈阳市联考)函数f(x)=2cosx-cos2x的最大值为

．练33(2022·全国乙卷文科)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值，最大值分别为A.-π2，π2 B.-3π2，π2 C.-π练34(2022·湖北省武汉市联考)已知函数fx=2sinx+sin2x，则f【规律方法】三角函数中的范围与最值问题是高考中的一个难点，题型千变万化，解法灵活多样.求解三角函数的最值范围时一定要注意自变量的取值范围，要把这两个最值点弄清楚，求解最值与范围问题一般有以下四种方法：1.有界性：正弦函数与余弦函数具有相同的值域,这两个函数的有界性是求解三角函数最值或参数取值范围的最基本方法.2.辅助角法：当三角函数式比较复杂时,我们可以利用公式进行化简,先化成f(x)=asinωx+bcosωx+c的形式,3.换元法：当题目的已知条件中sinx±cos(sinx±cosx)4.导数法：导数是求解函数最值问题的“神器”.当三角函数的函数名与角无法“统一”时，导数法最有效.探究4：平面向量与三角函数【典例剖析】例4.(2022·湖北省武汉市联考)已知向量m=(sinx,1),n=3cosx,-12.设函数f(x)=(m+n)⋅m．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、选题意图选题意图：武汉市联考题,本题以三角函数为背景，考查了平面向量的坐标运算，正弦定理，三角形的面积公式，利用基本不等式求最值，综合性较强，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.思维引导：（1）首先根据平面向量的坐标运算和三角恒等变换化简得到f(x)，从而求出f(（2）法一：首先由正弦函数的最值求C，根据正弦定理用sinA,sinB表示3a+b，最后利用基本不等式求最值.法二：首先由正弦函数的最值求C，利用等面积法和面积公式得到a,b之间的关系式，设a-【变式训练】练41(2022·江苏省无锡市模拟)已知函数g(x)=3sin(ωx+φ)，g(x)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f(x)的图象，f(x)的部分图象如图所示，若AB⋅BC=|A.π12 B.π6 C.π练42(2022·江苏省百校大联考)已知向量a=(12,sinx)，b=(cosx,32)，函数f(x)=a⋅b．

(1)若f(α)=35，且π2<α<π，求f(α-π6)的值；

(2)将y=f(x)图象【规律方法】1.三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的大小.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.2.三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与性质进行求解.3.三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现