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20232024学年苏科版九年级下册章节知识讲练专题6.6图形的相似(章节复习+考点讲练)知识点01:比例线段及黄金分割1.比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如a:b=c:d,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.要点诠释:(1)若a:b=c:d,则ad=bc;(d也叫第四比例项)(2)若a:b=b:c,则b2=ac(b称为a、c的比例中项).2.黄金分割的定义:如图,将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB,若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比,即(此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项),则P点就是线段AB的黄金分割点(黄金点),这种分割就叫黄金分割.3.黄金矩形与黄金三角形:黄金矩形:若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618,这种矩形称为黄金矩形.黄金三角形:顶角为36°的等腰三角形,它的底角为72°,恰好是顶角的2倍,人们称这种三角形为黄金三角形.黄金三角形性质:底角平分线将其腰黄金分割.知识点02:相似图形1.相似图形:在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).要点诠释:

(1)相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形;

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两个图形全等.各角分别相等,各边成比例的两个多边形,它们的形状相同,称为相似多边形.要点诠释:(1)相似多边形的定义既是判定方法,又是它的性质.(2)相似多边形对应边的比称为相似比.知识点03:相似三角形相似三角形的判定:判定方法(一):平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似.判定方法(二):两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释:

要判定两个三角形是否相似,只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可,对于直角三角形而言,若有一个锐角对应相等,那么这两个三角形相似.判定方法(三):两边成比例夹角相等的两个三角形相似.要点诠释:

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似,应用时必须注意这个角必须是两边的夹角,否则,判断的结果可能是错误的.判定方法(四):三边成比例的两个三角形相似.

2.相似三角形的性质:(1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等;(2)相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长的比等于相似比;(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.3.相似多边形的性质:(1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.(2)相似多边形的周长比等于相似比.(3)相似多边形的面积比等于相似比的平方.知识点04:图形的位似及投影1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O,且每组对应点与点O点的距离之比都等于一个定值k,例如,如下图,OA′=k·OA(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形,点O叫做位似中心.要点诠释:位似图形与相似图形的区别:位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必能构成位似图形.

2.位似图形的性质:(1)位似图形的对应点相交于同一点,此点就是位似中心;

(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比;

(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.作位似图形的步骤

第一步:在原图上找若干个关键点,并任取一点作为位似中心;

第二步:作位似中心与各关键点连线;

第三步:在连线上取关键点的对应点,使之满足放缩比例;

第四步:顺次连接各对应点.要点诠释:位似中心可以取在多边形外、多边形内,或多边形的一边上、或顶点,下面是位似中心不同的画法.在平行光的照射下,物体所产生的影称为平行投影.(1)等高的物体垂直地面放置时,如图1所示,在太阳光下,它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时,如图2所示,它们在太阳光下的影子一样长,且影长等于物体本身的长度.

(3)在同一时刻,不同物体的物高与影长成正比例.

即:

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度,比如旗杆的高度等.

注意:利用影长计算物高时,要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影.(1)等高的物体垂直地面放置时,如图1所示,在灯光下,离点光源近的物体它的影子短,离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时,如图2所示.一般情况下,离点光源越近,影子越长;离点光源越远,影子越短,但不会比物体本身的长度还短.考点一:黄金分割【典例精讲】(2023•沅江市校级模拟)如图,在△ABC中,点D在边AB上,且BD=DC=AC,已知∠ACE=108°,BC=2.(1)求∠B的度数;(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;②求AD的长.【思路点拨】(1)设∠B=x,利用等腰三角形的性质得到∠DCB=∠B=x,则∠ADC=2x,再表示出∠A=∠ADC=2x,利用三角形外角性质得到x+2x=108°,解方程求出x即可;(2)①利用黄金三角形的定义可判断△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形.②根据黄金三角形的定义得到=,则AC=﹣1,所以CD=CA=BD=CD=﹣1,然后计算AB﹣BD即可.【规范解答】解:(1)设∠B=x,∵BD=DC,∴∠DCB=∠B=x,∴∠ADC=∠B+∠DCB=2x,∵AC=DC,∴∠A=∠ADC=2x,∵∠ACE=∠B+∠A,∴x+2x=108°,解得x=36°,即∠B的度数为36°;(2)①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形.理由如下:∵DB=DC,∠B=36°,∴△DBC为黄金三角形;∵∠BCA=180°﹣∠ACE=72°,而∠A=2×36°=72°,∴∠A=∠ACB,而∠B=36°,∴△ABC为黄金三角形;∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB=72°﹣36°=36°,而CA=CD,∴△CAD为黄金三角形;②∵△BAC为黄金三角形,∴=,而BC=2,∴AC=﹣1,∴CD=CA=﹣1,∴BD=CD=﹣1,∴AD=AB﹣BD=2﹣(﹣1)=3﹣.【考点剖析】本题考查了黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC=ABAB,并且线段AB的黄金分割点有两个.也考查了等腰三角形的性质.【变式训练11】(2023•临安区二模)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=108°,点P在BC边上,若AP是∠BAC的三等分线,则BP的长度为()A.或5 B. C.﹣1或2 D.或2【变式训练12】(2023•兴宁市二模)古希腊以来,人们以满足黄金分割比的事物为美.长发及腰,佳人倾城一笑亦一种美.现有一名13岁的少女,从今年算起,未来x(0≤x≤4)年其身高近似满足函数y=2x+160(单位:厘米).若某一年该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比,已知该少女的头发长度为64厘米,则下列说法正确的是()注:黄金分割比为A.对于函数y=2x+160而言,y为自变量,x为因变量,160为常量 B.该少女此时身高约为160厘米(四舍五入取整) C.该少女年龄为17岁(四舍五入取整) D.若某一年该少女身高为170厘米,则该少女年龄为18岁【变式训练13】(2022•广西模拟)所谓黄金分割,指的是把长为L的线段分为两部分,使其中较长部分对于全部之比,等于较短部分对于该部分之比,其比值是.(1)如图①,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ACB的平分线CD交腰AB于点D.请你根据所学知识证明:点D为腰时AB的黄金分割点;(2)如图②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB上的高,AD>BD,,若点D是AB的黄金分割点,求BC的长.【变式训练14】(2021•杭州模拟)如图所示,以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求AM,DM的长;(2)点M是AD的黄金分割点吗?为什么?考点二:平行线分线段成比例【典例精讲】(2023•江源区一模)已知MN∥EF∥BC,点A,D为直线MN上的两动点,AD=a,BC=b,AE:BE=m:n.(1)当点A,D重合,即a=0时(如图(1)所示),试求EF;(用含m,n,b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题:当A,D不重合,即a≠0时.①如图(2)所示的这种情况,试求EF;(用含a,b,m,n的代数式表示)②如图(3)所示的这种情况,试猜想EF与a,b之间有何种数量关系?并证明你的猜想.​【思路点拨】(1)由EF∥BC,即可证得△AEF∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可证得,根据比例变形,即可求得EF的值;(2)①连接BD,与EF交于点H,由(1)知,HF=,EH=,又由EF=EH+HF,即可求得EF的值;②连接DE,并延长DE交BC于G,根据平行线分线段成比例定理,即可求得BG的长,又由EF=与GC=BC﹣BG,即可求得EF的值.【规范解答】解:(1)∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴,∵,∴,又BC=b,∴,∴EF=;(2)①解:如图2,连接BD,与EF交于点H,由(1)知,HF=,EH=,∵EF=EH+HF,∴EF=;(1分)②猜想:EF=,证明:如图3中,连接DE,并延长DE交BC于G,由已知得:BG=,EF=,∵GC=BC﹣BG,∴EF=(BC﹣BG)=.【考点剖析】此题考查了相似三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理等知识.此题难度适中,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用,注意比例变形.【变式训练21】(2023秋•金水区校级月考)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段BC=4cm,则线段AC的长是6cm.【变式训练22】(2023•北京)如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为.【变式训练23】(2023•徐汇区模拟)如图,AD是△ABC的中线,P为AD上任意一点,连接BP并延长,交AC于F,连接CP并延长,交AB于E,连接EF.求证:EF∥BC.【变式训练24】(2023•裕华区校级模拟)阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理:如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E……任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分;(2)如图③,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm.求BD的长.考点三:相似三角形的判定与性质【典例精讲】(2023秋•雁塔区校级月考)如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,DE⊥AB,垂足为E,DE与AC交于点F,则DC:CF值为()A. B. C. D.【思路点拨】Rt△ABO中,sin∠ABO==,而∠ABO=∠AFE=∠DFC,即可求解.【规范解答】解:设AC与BD相交于O,∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,AD=AB,∴AC⊥OD,AO=AC=4,DO=BO=BD=3,由勾股定理得到:AD=AB==5,在Rt△ABO中,sin∠ABO==,∵∠EAF+∠AFE=90°,∠FAE+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠AFE=∠DFC,∴sin∠DFC=DC:CF=,故选:D.【考点剖析】本题考查了菱形的性质,确定∠ABO=∠AFE=∠DFC是本题解题的关键.【变式训练31】(2023•南岗区校级一模)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,BE与CD相交于F,则下列结论一定正确的是() B. C. D.【变式训练32】(2023秋•金安区校级月考)如图1,锐角△ABC中,D、E分别是AB、BC的中点,F是AC上的点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图2,①求证:△DEG∽△ECF;②从线段CE上取一点H,连接FH使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.【变式训练33】(2023•容县一模)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AC、AB上,AB=2AD,AC=2AE.(1)求证:△ADE∽△ABC;(2)如果△ADE的面积为2,求四边形BCDE的面积.【变式训练34】(2023•东明县三模)如图,等边三角形△ACB的边长为3,点P为BC上的一点,点D为AC上的一点,连接AP、PD,∠APD=60°.(1)求证:△ABP∽△PCD;(2)若PC=2,求CD的长.考点四:相似三角形的应用【典例精讲】(2023•平遥县模拟)“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法步骤:第一步:水平举起右臂,大拇指紧直向上,大臂与身体垂直;第二步:闭上左眼,调整位置,使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上;第三步:闭上右眼,睁开左眼,此时看到被测物体出现在大拇指左侧,与大拇指指向的位置有一段横向距离,参照被测物体的大小,估算横向距离的长度;第四步:将横向距离乘以10(人的手臂长度与眼距的比值一般为10),得到的值约为被测物体离观测,点的距离值.如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图,该汽车的长度大约为4米,则汽车到观测点的距离约为()A.40米 B.60米 C.80米 D.100米【思路点拨】参照题目中所给的“跳眼法”的方法估测出距离即可.【规范解答】解:由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的10倍.观察图形,横向距离大约是汽车长度的2倍,为8米,所以汽车到观测点的距离约为80米,故选C.【考点剖析】本题主要考查了测量距离,正确理解“跳眼法”测物距是解答本题的关键.【变式训练41】(2023•鼓楼区校级模拟)小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高为6cm,小孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别为8cm、6cm,则实像CD的高度为4.5cm.【变式训练42】(2023•武汉模拟)将一张矩形纸片ABMN(AB<BM),先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD;其中∠A=90°,AB=24,BC=20,CD=15,AD=7,则AN=【变式训练44】(2023•西安校级模拟)为了加快城市发展,保障市民出行方便,某市在流经该市的河流上架起一座桥,连通南北,铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图,该桥两侧河岸平行,他们在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选出点B和点C,分别在AB、AC的延长线上取点D、E,使得DE∥BC.经测量,BC=120米,DE=210米,且点E到河岸BC的距离为60米.已知AF⊥BC于点F,请你根据提供的数据,帮助他们计算桥AF的长度.考点五:作图相似变换【典例精讲】(2023•天宁区校级一模)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=8,以点A为顶点作三角形(阴影部分),使这个三角形与△ABC相似,且相似比为1:2,根据下列选项图中标注的条件,不符合要求的作图是()A. B. C. D.【思路点拨】根据相似三角形的判定逐一进行判断即可.【规范解答】解:A.∵∠AMN=∠C,∠A=∠A,∴△AMN∽△ACB,且MN:BC=1:2;B.由勾股定理得,MN=4,∵,∠M=∠C,∴△AMN∽△ACB,C.△AMC∽△BMA,相似比是=,D.相似比不是1:2,故D符合题意.故选:D.【考点剖析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.【变式训练51】(2023•白山模拟)已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位,请在方格纸上按要求画格点三角形:(1)在图1中画△A1B1C1,使得△A1B1C1∽△ABC,且相似比为2:1.(2)在图2中画△MNP,使得△MNP∽△DEF,且面积比为2:1.【变式训练52】(2023春•横山区校级期中)如图,在△ABC中,点D是线段BC上一点.请利用尺柜作图法在边AB上求作点E,使得△EBD∽△ABC.【变式训练53】.(2023春•朝阳区月考)图①、图②、图③都是6×6的网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1.△ABC顶点均在格点上.在图①、图②、图③给定的网格中,仅用无刻度的直尺,按下列要求完成画图,并保留作图痕迹.(1)在图①中画△ABC的高CD.(2)在图②中画△ABC的中位线EF,使点E、F分别在边AB、AC上.(3)在图③中画△AGH,使△ABM∽△AGH,△ABM与△AGH的相似比为,且AH⊥BC于点M.【变式训练54】(2023•靖江市二模)在△ABC中,∠BAC为钝角,D、E是BC边上不重合的两点.(1)如图,用不含刻度的直尺和圆规在BC边上找两点D、E,其中D在E的左侧,使得△ABD∽△CAE;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,探索∠BAC与∠DAE之间的数量关系并说明理由.【变式训练55】(2023•海沧区模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(6,0),B是y轴上一点.(1)在线段AB上求作点M,使得△AMO∽△AOB(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)的条件下,AB=4AM,OC是△AOB的中线,过点M的直线交OC于点D,交x轴于点F,当MO=MF时,求点D的坐标.​考点六:位似变换【典例精讲】(2023•庐阳区一模)△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),C(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,可以得到△A'B'O,则点A′的坐标是()A.(1,2) B.(1,2)或(﹣1,﹣2) C.(2,1)或(﹣2,﹣1) D.(﹣2,﹣1)【思路点拨】根据位似变换的性质计算,得到答案.【规范解答】解:以原点O为位似中心,把△ABO缩小为原来的,得到△A'B'O,点A的坐标为(2,4),则点A'的坐标为(2×,4×)或[2×(﹣),4×(﹣)],即(1,2)或(﹣1,﹣2),故选:B.【考点剖析】本题考查的是位似变换的性质,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.【变式训练61】(2023•浠水县一模)如图,AB和A'B'与x轴垂直,A点的坐标是(2,4),△AOB和△A'OB'是位似三角形,且位似比是1:3,点C是OA′的中心,反比例函数y=)的图象经过点C,与A'B'交于点D.(1)求点D坐标;(2)连接BD、CD,求四点边形ABDC的面积.【变式训练62】(2022•九江一模)如图,AB和A'B'与x轴垂直,A点坐标是(1,2),△AOB和△A'OB'是位似三角形,且位似比是1:3,点C是OA'的中点,反比例函数的图象经过点C,与A'B'交于点D.(1)求点D坐标;(2)连接BD、CD,求四边形ABDC的面积.【变式训练63】(2021秋•东莞市校级期末)如图,已知O是坐标原点,AB两点的坐标分别为(3,﹣1),(2,1).(1)以点O为位似中心,在y轴的左侧将△OAB放大2倍;(2)分别写出A,B两点的对应点A',B'的坐标.【变式训练64】.(2020•如皋市一模)如图,△ABC中,P′是边AB上一点,四边形P'Q'M'N'是正方形,点Q',M'在边BC上,点N′在△ABC内.连接BN′,并延长交AC于点N,过点N作NM⊥BC于点M,NP⊥MN交AB于点P,PQ⊥BC于点Q.(1)求证:四边形PQMN为正方形;(2)若∠A=90°,ACm,△ABCm2.求PN的长.考点七:作图位似变换【典例精讲】(2023春•临朐县期末)如图所示,在平面直角坐标系中,有两点A(4,2),B(3,0),以原点为位似中心,A′B′与AB的相似比为,得到线段A′B′.正确的画法是()A. B. C. D.【变式训练71】(2023•桃城区校级模拟)如图,在△ABP中,B、P两个顶点在x轴上,点A在x轴的上方,以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP,其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3.​(1)△ABP与△CDP的位似比为;(2)若点A的纵坐标为a,则点C的纵坐标为.​【变式训练72】(2023•莲湖区模拟)已知:如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣2,﹣2)、B(﹣3,﹣4)、C(﹣1,﹣4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度.(1)以点C为位似中心,在网格中画出△A1B1C,使△A1B1C与△ABC的位似比为2:1,并直接写出点A1的坐标;(2)△A1B1C的面积为.【变式训练73】(2023•南陵县二模)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,﹣3),B(﹣1,﹣3),C(﹣1,﹣1).(1)画出△ABC,并画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1(2)以O为位似中心,在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍,得到△A2B2C2.考点八:射影定理【典例精讲】(2023•萧山区模拟)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BD=1,CD=4,则AD的长为2.【思路点拨】根据射影定理得到AD2=CD•BD,代入计算即可得到答案.【规范解答】解:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,BD=1,CD=4,∴AD2=CD•BD=4,∴AD=2,故答案为:2.【考点剖析】本题考查的是射影定理的应用,直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.【变式训练81】(2023•兰山区校级模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,BC=5,BD=3,求AB的长.​【变式训练82】(2022•自贡模拟)已知如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边上的高,求证:CD2=AD•BD.【变式训练83】(2019秋•东莞市期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=2,CD=4.求BD的长.【变式训练84】(2020•雁塔区校级模拟)如图,已知AB是半圆O直径,点C为半圆上一动点,连接AC,过点C作CD⊥AB于点D,将△ACD沿AC翻折,得到△ACE,AE交半⊙O于点F.(1)求证:直线CE与⊙O相切;(2)若∠OCA=∠ECF,AD=8,EC=6,求CF的长.考点九:相似形综合题【典例精讲】(2023•蜀山区校级模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,E、F分别是AC、BC边上的点,且,下列说法中①△ADC∽△CDB;②CE•DF=DE•BF;③当n=2时,EF=CD;④∠EDF=90°,其中结论正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【思路点拨】由余角的性质可得∠ACD=∠B,可证△ADC∽△CDB,故①正确;通过证明△CDE∽△BDF,可得,即CE•DF=DE•BF,故

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