初中圆的基础复习例题解析

...wd......wd......wd...理解圆的有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征探索圆的性质，理解并会运用垂径定理及其推论探索并了解点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线会计算弧长弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积A层次要求〔根本要求〕理解圆及其有关概念知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论会计算扇形面积会计算弧长会求圆锥的侧面积和全面积了解点与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念了解圆与圆的位置关系B层次要求〔略高要求〕会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能用垂径定理解决有关问题能利用扇形面积解决有关问题能利用弧长解决有关问题能解决与圆锥有关的简单实际问题能判定直线和圆的位置关系；能根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能利用圆与圆的位置关系解决简单问题C层次要求〔较高要求〕能运用圆的性质解决有关问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题能解决与切线有关的问题1、圆的有关概念〔1〕圆：在一个平面内，线段绕固定的一个端点旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。〔2〕弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦〔3〕直径：经过圆心的弦是直径.〔4〕弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。〔5〕圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。〔6〕圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。2、圆有关的性质〔1〕圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。〔2〕垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。〔3〕弧、弦、圆心角之间的关系：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等②同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等〔4〕圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角。的圆周角所对的弦是直径3、与圆有关的位置关系〔1〕点和圆的位置关系设圆的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内。〔2〕直线和圆的位置关系①直线和圆的三种位置关系：〔1〕〔2〕〔3〕如图〔1〕，直线和圆有两个公共点，我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线，直线和圆相交；如图〔2〕，直线和圆有一个公共点，我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点，直线和圆相切；如图〔3〕，直线和圆没有公共点，我们说这条直线和圆相离，直线和圆相离。②切线的判定和性质：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。③切线长的概念及切线长定理：切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；切线长定理：从圆外可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。〔3〕圆和圆的位置关系设两圆的半径分别为，〔〕,圆心距〔两圆圆心的距离〕为,则①两圆外离；②两圆内含；③两圆相交；④两圆内切；⑤两圆外切。4、圆与多边形〔1〕三角形的外接圆与内切圆①不在同一直线上的三个点确定一个圆。②三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。③三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点。〔2〕圆与多边形①经过多边形各个顶点的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形；②和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形；③圆的内接四边形的对角互补，一个内角的外角等于它的内对角。〔3〕圆和正多边形正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。5、与圆有关的计算〔1〕弧长的计算在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为〔2〕扇形①由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形②扇形的周长：扇形的面积：，其中为半径，为扇形的弧长，为扇形圆心角的度数值。〔3〕圆锥①连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。②圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的母线扇形半径；圆锥底面圆周长扇形弧长。③圆锥的侧面积：，其中为圆锥母线长，为底面半径。④圆锥的全面积：。〔一〕对圆心角、圆周角的考察【例1】〔08海淀一模〕：如图，圆心角，则圆周角的度数为〔〕讲解：此题考察同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系，让学生自己总结相关的性质，熟练掌握根基知识。解析：D【例2】〔09四川遂宁〕如图，⊙的两条弦，相交于点,，，那么的值为〔〕讲解：想要求就应先求出的度数，根据条件，如果知道则利用三角形内角和即可求出的度数，利用同弧所对的圆周角相等得知，因此，。解析：D【例3】〔09天津〕如图，内接于，假设，则的大小为〔〕CABOCABO讲解：连接，所以为等腰三角形，那么，可知,在利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得：。提示学生在有两条半径时会构成以圆心为顶点的等腰三角形。解析：D【例4】〔09四川成都〕如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．讲解：根据条件可求出,弧所对的圆周角，此题还考察了直径所对的圆周角为直角，最后在利用在直角三角形中，所对的边为斜边的一半求出，最后用勾股定理求出BD。〔在三角形中利用锐角三角函数值求BD长也可以，但是有一些同学不习惯应用三角函数求边长〕解析：〔二〕对圆的对称性的考察【例5】〔08丰台一模〕如图，半径为5的圆中，如果弦的长为8,那么圆心到的距离，即的长等于．讲解：考察对垂径定理的运用，利用半径和弦长求弦心距，连接，在三角形中利用勾股定理求出的长。解析：3【例6】〔08石景山一模〕如图，⊙O的半径为2，弦AB=，E为弧AB的中点，OE交AB于点F，则OF的长为〔〕．讲解：考察对垂径定理及其推论的运用，点E为弧AB的中点，则半径OE垂直平分弦AB，，在中求出OF=1。解析：1【例7】〔09北京〕如图，为圆的直径，弦，为弧上一点，假设，则．讲解：考察对垂径定理的掌握以及等弧所对的圆周角相等，因为直径，所以点为弧的中点。解析：【例8】〔朝阳一模〕等腰三角形内接于半径为的中，如果底边的长为，那么底角的正切值是________．讲解：利用垂径定理可以求出弦的弦心距，再结合图像在直角三角形中求锐角三角函数值。由于题目没有图形，此题易错的一点是漏掉一个答案，所以要提醒学生，针对这样没有给出图形的几何问题要自己画图，并且考虑周到。解析：或〔三〕对点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系的考察【例9】〔08宣武一模〕⊙的半径cm，圆心到直线的距离cm，在直线上有一点且cm，则点〔〕在⊙内在⊙上在⊙外可能在⊙内也可能在⊙外讲解：考察点和圆的位置关系的运用，判断点的位置就要知道点到圆心的距离，根据题意，自己画出图像可求出点到圆心的距离为6，因此点在圆上。解析：【例10】〔08朝阳二模〕：如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，BC为⊙O的直径，假设∠P=60°，PA=3，则⊙O的直径BC的长为()讲解：考察切线长定理，连接,则，，又因为，所以在中可以求出半径,则直径解析：【例11】〔09湖北荆门〕如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=______．讲解：考察对三角形内切圆的运用和切线长定理，连接三个过切点的半径，再根据切线长定理列等式，求出直角三角形内切圆的半径，最后可整理出直角三角形内切圆的半径的公式：，其中为两条直角边长，为斜边长。解析：【例12】〔09四川泸州〕⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距0201=7cm，则两圆的位置关系为〔〕外离外切相交内切讲解：考察圆和圆的位置关系，让学生总结圆与圆的五种位置关系。解析：【例13】〔08石景山二模〕如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E，DE⊥BE.⑴试说明AC是△BED外接圆的切线；⑵假设CE=1，BC=2，求△ABC内切圆的面积.讲解：此题考察了证明切线的方法和圆与相似相结合的问题。问题〔1〕考察如何证明一条直线为圆的切线，这道题没有给出圆心位置，因此根据DE⊥BE可取直径BD的中点O，即为圆心，再连接OE，去证明OE⊥AC；问题〔2〕求直角三角形内切圆面积就要从内切圆半径入手，直角三角形内切圆半径可以推导出公式：，其中为两条直角边长，为斜边长。因此对于这道题开讲求三边长度是关键一点，根据题意∠B的平分线交AC于E，结合相似解题，利用相似和的两个边长求出未知的边的长度。解析：〔1〕取BD的中点O，联结OE.∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB.又∠0BE=∠CBE，∴∠CBE=∠OEB.∴BC∥OE.∴∠OEA=∠C=90°.∴AC⊥OE.∴AC是△BED外接圆的切线.〔2〕Rt△BCE中，BE==.∵∠OBE=∠OEB，∠C=∠BED=90°，∴△BCE∽△BED.∴.∴DE=，∴BD=.∴OE=OB=OD=∵BC∥OE,∴.∴AE=,AO=.∴△ABC的内切圆半径为r=〔BC+AC-AB〕=.∴△ABC的内切圆面积为.【例14】〔08昌平一模〕如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧的中点，,垂足为点P.〔1〕求证：PD是⊙O的切线；〔2〕假设AC=6,cosA=，求PD的长。讲解：此题考察了证明切线的问题以及与锐角三角函数相结合的综合运用。问题〔1〕证明切线，首先连接过切点的半径，题中点D是弧的中点，则需要利用等弧所对的圆心角相等来继续证明，接下来还会利用到三角形外角的性质，最终证明出结论；问题〔2〕连接构造直角三角形，根据的的长运用给出的三角函数值可求出，之后将根据有三个角为直角的四边形为矩形证明四边形为矩形，所以等于，并且垂直平分此时，最终求出的长。解析：〔1〕证明：如图：连接OD，AD∵D为弧BC的中点∴弧CD=弧BD∴∵∴∴PA∥DO∵DP⊥AP∴∠P=90°.∴∠ODP=∠P=90°即OD⊥PD.∵点D在⊙O上∴PD是⊙O的切线〔2〕连结CB交OD于点E.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=∠ECP=90°.∵∠ODP=∠P=90°，∴四边形PCED为矩形.∴PD=CE，∠CED=90°.∴OD⊥CB.∴EB=CE.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴cosA=.∵AC=6,cosA=，∴AB=10.∴BC=8.∴CE=PD=BC=4.〔四〕对与圆有关的计算的考察【例15】〔09浙江嘉兴〕如图，⊙P内含于⊙，⊙的弦切⊙P于点，且．假设阴影局部的面积为，则弦的长为〔〕讲解：考察了直线与圆相切、圆与圆内含以及垂径定理，因为可知点到的距离就是圆的半径长，阴影部分的面积为大圆面积减去小圆面积，结合题意利用垂径定理能够求出弦一半的长度，进而求出的长。解析：【例16】〔08朝阳一模〕如图，中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，假设，则弧的长为________．讲解：考察求弧长的计算，连接，根据条件可知为等边三角形，由此得弧所对的圆心角为，带入弧长公式可求出弧的长为。解析：【例17】〔09山东济南〕在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如以下图，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是〔〕讲解：考察计算圆锥的侧面积，根据条件先求出圆锥的母线长，即展开扇形图的半径长，利用扇形面积公式代入求值。解析：【例18】〔丰台一模〕如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆周的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥〔接缝处不重叠〕，那么这个圆锥的底面圆半径为〔〕讲解：考察圆锥的展开图为扇形以及弧长公式，由条件能够知道剩下的扇形的圆心角为，带入公式求出扇形的弧长为，即为圆锥的底面周长，所以可得圆锥的底面半径为。解析：OBDAC1.〔09四川南充〕如图，AB是的直径，点C、D在上，，，则〔〕OBDACA．70° B．60° C．50° D．40°解析：D2.〔08通州一模〕如图,AB是⊙的直径,CD是弦,且CD⊥AB,假设BC=8,AC=6,则sin∠ABD的值为〔〕解析：D3.〔08密云一模〕以下说法正确的有〔〕〔1〕如图〔a〕，可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径；〔2〕如图〔b〕，可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形；〔3〕如图〔c〕，两次使用丁字尺〔所在直线垂直平分线段〕可以找到圆形工件的圆心；〔4〕如图〔d〕，测倾器零刻度线和铅垂线的夹角，就是从点看点时仰角的度数．〔〔a〕〔b〕〔c〕〔d〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：D4.〔09黑龙江哈尔滨〕如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为_____．解析：85.〔08石景山二模〕如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是_____cm.解析：6.〔08门头沟二模〕如图，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影局部的面积等于_______．解析：7.〔08昌平一模〕如图，分别切圆于点A、B，圆的半径为2，，则阴影局部的面积为．解析：8.〔08丰台一模〕：如图，以的边为直径的圆交边于点，且过点的切线平分边．⑴求证：是圆的切线；⑵当满足什么条件时，以点、、、为顶点的四边形是正方形请说明理由．解析：〔1〕证明：联结、，切于，为直径，∴，又平分，∴，∴．又，；∴，即．∴与相切．〔2〕满足的条件是等腰直角三角形．理由：∵，，,∴．∴,∴四边形是菱形．∵,∴四边形是正方形．CBCBAO1.〔09湖南长沙〕如图，是的直径，是上一点，，则的度数为．解析：22°°°O2.〔09福建龙岩°°O解析：15°3.〔08大兴二模〕如图，⊙O的直径为26cm，弦长为24cm，且OP⊥AB于P点，则的值为．解析：4.〔08湖南邵阳〕如图0，分是圆的直径和弦，于点，连结、，，，则．解析：ABCDO5.〔09湖南邵阳〕如图AB是⊙O的直径，AC是⊙ABCDOAD=BCAD=ACAC＞ABAD＞DC解析：6.〔08密云一模〕，如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，A点坐标为〔2，1〕，分别以A、B为圆心的圆与x轴相切，则图中两个阴影局部面积的和为．解析：7.〔09湖北襄樊〕如图，在中，分别以、为直径画半圆，则图中阴影局部的面积为．〔结果保存〕解析：8.〔08朝阳一模〕：如图，在中，弦垂直直径，垂足为，，，点在的延长线上，且.⑴求证：是的切线；⑵将平移，平移后所得的三角形记为．求当点与点重合时，与重合局部的面积．解析：〔1〕证：连接OD．∵弦CD⊥直径AB，AB=4，CD=，∴MD==．∴OD==2．在Rt△OMD中，∵sin∠DOM=，∴∠DOM=60°．在Rt△DME中，∵，∴∠E=30°．∴∠ODE=90°．又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．〔2〕解：∵∠ODE=90°，OD=2，∠E=30°，∴DE=．在Rt△ODM中，OM=1．又，∴AM=3．在Rt△ACM中，由勾股定理得，AC=，∴AC=DE=D′E′．∵点E′与点C重合，∴平移后的D′E′与AC重合．设交⊙O于点F，连接OF、OC、AF．由平移的性质得△ODE≌△，∴∠O′CA=∠E=30°,∠AOF=2∠ACO′=60°．由平移的性质可知FC∥AO．在Rt△FCD中，可求得FC=2，∠CFO=∠FOA=60°．∴△FOC为等边三角形．∴FC=OA=2．∴．∴．三十句经典励志箴言1．择善人而交，择善书而读，择善言而听，择善行而从。2．一个人的快乐，不是因为他拥有