自动控制原理-控制系统的数学模型

2023/11/10控制系统的数学模型1引言时域模型频域模型信号流图控制系统的数学模型梅逊公式2023/11/10控制系统的数学模型2三、数学模型的建立方法一、数学模型的定义二、数学模型的几种表示方式§2.1引言2023/11/10控制系统的数学模型3一、数学模型的定义数学模型：系统的物理量或变量之间的数学表达式。静态条件下系统变量间的代数方程。系统变量各阶导数间的微分方程。深入了解元件及系统的静态和动态特性，准确建立它们的数学模型。静态数学模型：动态数学模型：建模：2023/11/10控制系统的数学模型4为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。2023/11/10控制系统的数学模型5

另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。当然，对于同一个系统来说，可以选用不同的数学模型，研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。2023/11/10控制系统的数学模型6二、数学模型的几种表示方式时(间)域模型：频域模型：微分方程差分方程状态空间表达式频率特性传递函数、结构图复数域模型：2023/11/10控制系统的数学模型7三、建立控制系统数学模型的方法分析法：实验法：对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。KCL、KVL、牛顿定律、热力学定律人为施加某种测试信号，记录输入输出数据，并用适当的数学模型去逼近—系统辩识。黑箱输入输出2023/11/10控制系统的数学模型8

但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰箱，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。2023/11/10控制系统的数学模型9§

2.2控制系统的时域数学模型

2.2.1线性元件的微分方程2.2.2控制系统微分方程的建立2.2.3线性微分方程的求解2.2.4非线性元件微分方程的线性化2.2.5线性系统的特性及运动模态2023/11/10控制系统的数学模型10例2-1图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。2.2.1线性元件的微分方程2023/11/10控制系统的数学模型11

解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程如下：①②③④⑤2023/11/10控制系统的数学模型12

由④、⑤得由②导出将i1、i2代入①、③，则得2023/11/10控制系统的数学模型13这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。2023/11/10控制系统的数学模型14例2-2列写图2-2中电枢电压Ua(t)(v)与电机转速ωm(t)(rad/s)之间的微分方程。电枢回路电压平衡方程电磁转矩方程电机轴上的转矩平衡方程

222023/11/10控制系统的数学模型15解：电枢回路电压平衡方程①电枢反电势Ea=Ceωm(t)

②电磁转矩方程③④电动机轴上的转矩平衡方程：222023/11/10控制系统的数学模型16

电动机机电时间常数（s）

⑤⑥忽略电枢电路电感La不计，因而⑤可简化为③、④求出ia(t)，代入①同时②亦代入①得：2023/11/10控制系统的数学模型17若电枢电阻Ra和转动惯量Jm都忽略不计,则⑥可简化为⑦转速与电枢电压成正比，电机可作为测速发电机使用。2023/11/10控制系统的数学模型18建立微分方程的步骤如下：①在对系统进行定性分析的基础上，确定系统的输入量和输出量。②将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传 递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化微分方程。注意：信号传送的单向性，即前一个元件的输出是后一个元件的输入，一级一级地单向传送。前后两个元件中，后级对前级的负载效应。③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。2.2.2控制系统微分方程的建立2023/11/10控制系统的数学模型19<4>将所得微分方程标准化：

n－微分方程的阶次。将与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。单变量线性定常系统能用定常系数的线性微分方程来描述；微分方程所描述的是系统的输入与输出之间的关系，是系统的输入输出特性。

2023/11/10控制系统的数学模型20例2-3:试证明图2-3(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。

32023/11/10控制系统的数学模型21对电气网络

解：对机械网络：③②④

322023/11/10控制系统的数学模型22利用②、③、④求出代入①,将①两边微分得比较上述两个的公式，可得出如下机-电相似系统2023/11/10控制系统的数学模型23力-电压相似

机械系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。可以用电系统仿真研究其它类型的系统。机械阻尼B1阻尼B2弹性系数K1弹性系数K2电气电阻R1电阻R21/C11/C22023/11/10控制系统的数学模型242.2.3线性微分方程的求解

线性定常微分方程的求解方法:

经典法 拉氏变换法 计算机求解2023/11/10控制系统的数学模型25ui(t)LCRuo(t)i(t)例：RLC电路中，已知L=1H,C=1F,R=1Ω,且电容上初始电压uO(0)=0.1v,初始电流i(0)=0.1A，电源电压ui(t)=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压uo(t)的变化规律。解：电路微分方程为2023/11/10控制系统的数学模型262023/11/10控制系统的数学模型27

具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。（分段定常系统）一个变量的非线性函数y=f(x)，在x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开2.2.4非线性元件微分方程的线性化2023/11/10控制系统的数学模型28增量较小时略去其高次幂项，则有

Δy=kΔx；k比例系数，函数在x0点切线的斜率两个变量的非线性函数y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用台劳级数展开为令2023/11/10控制系统的数学模型29解：由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66.求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有例2-4：试把非线性方程z=xy在区域5≤x≤7、10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。2023/11/10控制系统的数学模型30z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49因此，线性化方程式为：因此，误差为50-49=1，表示成百分数

2023/11/10控制系统的数学模型312.2.5线性系统的特性及运动模态若u=u1,微分方程的解为y=y1,

u=u2,微分方程的解为y=y2:则u=αu1+βu2时，微分方程的解为

y=αy1+βy2线性系统满足叠加原理 叠加性和齐次性若微分方程的特征根为λ1

，λ2，．．．，λn,则eλ1t,eλ2t,…,eλnt称为微分方程所描述运动的模态（振型）。有重根λ，则模态有形如teλt,t2eλt…的函数．若有共轭复数根，则模态为eσtsinωt和eσtcosωt。2023/11/10控制系统的数学模型32

数学工具－拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0

②t>0时，f(t)分段连续

则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作2023/11/10控制系统的数学模型332.常用函数的拉氏变换(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为。

(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。数学知识回顾2023/11/10控制系统的数学模型34

（3）例3.求指数函数f(t)=的拉氏变换几个重要的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswtt1/(s+a)2023/11/10控制系统的数学模型353.拉氏变换的基本性质

(1)线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。(2)微分性质若，则有f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。2023/11/10控制系统的数学模型36

证：根据拉氏变换的定义有

原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏变换2023/11/10控制系统的数学模型37(3)积分性质若则式中为积分当t=0时的值。证：设则有由上述微分定理，有2023/11/10控制系统的数学模型38即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以。2023/11/10控制系统的数学模型39（4）终值定理原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。证：由微分定理，有等式两边对s趋向于0取极限2023/11/10控制系统的数学模型40注：若时f(t)极限不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。(5)初值定理：证明方法同上。只是要将取极限。(6)位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟，则其象函数应乘以2023/11/10控制系统的数学模型41b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以即：(7)时间比例尺定理原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：证：2023/11/10控制系统的数学模型42(8)卷积定理两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。即证明：2023/11/10控制系统的数学模型43

2023/11/10控制系统的数学模型44性质总结：线性定理

位移定理

延迟定理终值定理2023/11/10控制系统的数学模型45初值定理微分定理积分定理2023/11/10控制系统的数学模型46二.拉氏反变换

1.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。2023/11/10控制系统的数学模型47

若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例1：例2：求的逆变换。解：2023/11/10控制系统的数学模型48例3.2023/11/10控制系统的数学模型492.拉式反变换——部分分式展开式的求法（1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和2023/11/10控制系统的数学模型502023/11/10控制系统的数学模型512023/11/10控制系统的数学模型52（2）情况2:F(s)有共轭极点例2：求解微分方程2023/11/10控制系统的数学模型53（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点,而其余极点均不相同。那么2023/11/10控制系统的数学模型542023/11/10控制系统的数学模型552023/11/10控制系统的数学模型562023/11/10控制系统的数学模型57如果不记公式,可用以下方法求解也可得解。2023/11/10控制系统的数学模型582.3控制系统的复域数学模型2.3.1传递函数2.3.2传递函数的极点和零点对输出的影响2.3.3典型元部件的传递函数2.3.4典型环节及其传递函数2023/11/10控制系统的数学模型59

在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2.3.1传递函数2023/11/10控制系统的数学模型60

式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai和bj是与系统结构和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则微分方程求拉氏变换，并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：设线性定常系统的n阶线性常微分方程描述为：

2023/11/10控制系统的数学模型61系统传递函数为：传递函数分子多项式，其零点为传递函数的零点。特征多项式，其零点为传递函数的极点。2023/11/10控制系统的数学模型62例5求例2机械系统与电路系统的传递函数解：--》机械系统传递函数--》电系统的传递函数2023/11/10控制系统的数学模型63性质1

传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且具有复变量函数的所有性质。性质2G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。性质3传递函数与微分方程之间有关系。性质4

传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。2023/11/10控制系统的数学模型64例2-6在例2-1中，设当输入为单位阶跃函数,即时,求输出解：

根据例2-1得到的微分方程。2023/11/10控制系统的数学模型652023/11/10控制系统的数学模型662.3.2传递函数的极点和零点对输出的影响为传递函数的零点为传递函数的极点极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。2023/11/10控制系统的数学模型67零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大。零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小。如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。

2023/11/10控制系统的数学模型682.3.3典型元部件的传递函数电位器：将线位移或角位移变换为电压量的装置。

单个电位器用作为信号变换装置。2023/11/10控制系统的数学模型69单位角位移的输出电压（v/rad）E-电位器电源（v）

－电位器最大工作角（rad）2023/11/10控制系统的数学模型70测速发电机－测量角速度并将它转换成电压量的装置

转子角速度（rad/s）输出斜率（v/rad/s）直流测速发电机交流测速发电机2023/11/10控制系统的数学模型71电枢控制直流伺服电动机例2-2中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为负载转矩可视为扰动,分别求到和到的传递函数。

a令b令2023/11/10控制系统的数学模型722023/11/10控制系统的数学模型73两相伺服电机

重量轻、惯性小，加速特性好，是控制系统中广泛应用的一种小功率交流执行电机。

两相伺服电机的特性曲线有负的斜率，且呈非线性。控制系统中伺服电机一般工作在零转速附近，可把低速部分的线性段延伸到高速范围，用低速直线近似代替非线性特性。此外，也可用小偏差线性化方法。2023/11/10控制系统的数学模型74一般，两相伺服电动机机械特性的线性化方程可表示为(2-3-2)

其中可用额定电压时的堵转转矩确定，即

如不考虑负载转矩，则电动机输出转矩用来驱动负载并克服粘性摩擦，故得转矩平衡方程为(2-3-1)

2023/11/10控制系统的数学模型75取拉氏变换

将(2-3-2)代入(2-3-1)后代入(2-3-3)得

(2-3-3)2023/11/10控制系统的数学模型76

与直流电动机得传递函数在形式上完全相同。电枢控制式直流电动机-常应用在输出功率比较大的控制系统中，其效率比两相交流电动机的效率要高得多。

两相伺服电动机-常应用在仪表随动系统中，功率范围在零点几瓦至100瓦。2023/11/10控制系统的数学模型77无源网络

为了改善控制系统的性能，常在系统中引入无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容和电感组成。1：列写网络的微分方程，然后在零初始条件下进行拉氏变换。无源网络传递函数的求解方法：2：利用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。2023/11/10控制系统的数学模型782.3.4典型环节及其传递函数典型环节通常分为以下六种：

1比例环节 式中K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。2惯性环节2023/11/10控制系统的数学模型79

式中T-时间常数

特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能 立即复现，输出无振荡。

实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这 一环节。3微分环节

理想微分一阶微分二阶微分

特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。2023/11/10控制系统的数学模型804积分环节

5振荡环节

式中ξ－阻尼比

-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：有两个独立的储能元件，可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路,电枢控制的直流伺服电机。

特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电机角速度与角度关系，模拟计算机积分器等。2023/11/10控制系统的数学模型816纯时间延时环节特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。－延迟时间2023/11/10控制系统的数学模型822.4控制系统的方块图2.4.1方块图元素2.4.2几个基本概念及术语2.4.3方块图的绘制2.4.4方块图的简化——等效变换2023/11/10控制系统的数学模型83(2)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。（3）比较点（合成点、综合点）SummingPoint

两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。

“+”表示相加，“-”表示相减。“2.4控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。2.4.1方块图元素

（1）方块（BlockDiagram）:表示输入到输出单向传输的函数关系。2023/11/10控制系统的数学模型84注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。(4)分支点（引出点、测量点）BranchPoint

表示信号测量或引出的位置注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。2023/11/10控制系统的数学模型852.4.2几个基本概念及术语(1)前向通路传递函数--假设N(s)=0

打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于C(s)与误差E(s)之比(2)反馈回路传递函数假设N(s)=0

主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。2023/11/10控制系统的数学模型86(3)开环传递函数Open-loopTransferFunction

假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。(4)闭环传递函数Closed-loopTransferFunction 假设N(s)=0，输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。2023/11/10控制系统的数学模型87推导：因为

右边移过来整理得

即

适用于单回路负反馈系统2023/11/10控制系统的数学模型88(5)误差传递函数 假设N(s)=0，误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。代入，消去G(s)即得：将2023/11/10控制系统的数学模型89图2-18输出对扰动的结构图利用公式**，直接可得：(6)输出对扰动的传递函数[R(s)=0]**2023/11/10控制系统的数学模型90（7）误差对扰动的传递函数[R(s)=0]

图2-19误差对扰动的结构图

利用公式**，直接可得：**2023/11/10控制系统的数学模型91

线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。2023/11/10控制系统的数学模型92（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。系统方块图-也是系统数学模型的一种。

2.4.3方块图的绘制2023/11/10控制系统的数学模型93图2-20一阶RC网络

解：由图2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：对其进行拉氏变换得：

例2-8画出下列RC电路的方块图。2023/11/10控制系统的数学模型94将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。_2023/11/10控制系统的数学模型95画出下列R-C网络的方块图

由图清楚地看到，后一级R2-C2网络作为前级R1-C1网络的负载，对前级R1-C1网络的输出电压产生影响，这就是负载效应。例2-92023/11/10控制系统的数学模型96解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；

（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；

（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。

2023/11/10控制系统的数学模型97负载效应2023/11/10控制系统的数学模型98如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如下图所示。

2023/11/10控制系统的数学模型992.4.4方块图的简化——等效变换

为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由相应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。2023/11/10控制系统的数学模型100图2-23环节的串联连接

（1）串联连接

结论：串联环节的等效传递函数 等于所有传递函数的乘积。n为相串联的环节数

2023/11/10控制系统的数学模型101图2-24环节的并联连接

（2）并联连接结论：并联环节的等效传递函数等于 所有并联环节传递函数的代数和。2023/11/10控制系统的数学模型102图2-25环节的反馈连接

（3）反馈连接2023/11/10控制系统的数学模型103（4）比较点和引出点的移动图2-26比较点移动示意图

2023/11/10控制系统的数学模型104

图2-27分支点移动示意图

右2023/11/10控制系统的数学模型105信号相加点和分支点的移动和互换[注意]：相临的信号相加点位置可以互换；见下例2023/11/10控制系统的数学模型106信号相加点和分支点的移动和互换

同一信号的分支点位置可以互换：见下例

相加点和分支点在一般情况下，不能互换。常用的结构图等效变换见表2-1

所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。2023/11/10控制系统的数学模型107结构图等效变换例子||例2-11[例2]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。总的结构图如下：---引出点后移2023/11/10控制系统的数学模型108结构图等效变换例子||例2-11

为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：--①--②比较点前移相邻比较点合并2023/11/10控制系统的数学模型109结构图等效变换例子||例2-11--③-④2023/11/10控制系统的数学模型110[解]：结构图等效变换如下：[例3]系统结构图如下，求传递函数。-+相加点移动-+①2023/11/10控制系统的数学模型111-+②结构图等效变换例子||例2-122023/11/10控制系统的数学模型112例2-10用方块图的等效法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s)

解：图2-28G22023/11/10控制系统的数学模型1132023/11/10控制系统的数学模型114小结结构图的概念和绘制方法；结构图的等效变换（环节的合并和分支点、相加点的移动）；作业：2-2(b)，2-4(b)，2-8，2-9，2-11，2-17(e)2023/11/10控制系统的数学模型1152-5信号流图

信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。2023/11/10控制系统的数学模型116一、信号流图及其等效变换组成：信号流图由节点和支路组成的信号传递网络。见下图：信号流图的概念节点：节点表示变量。以小圆圈表示。支路：连接节点之间的有向线段。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路增益。支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变为另一种信号。2023/11/10控制系统的数学模型117上图中，两者都具有关系:。支路对节点来说是输出支路，对输出节点y来说是输入支路。信号流图的概念2023/11/10控制系统的数学模型118信号流图的术语[语几个术]：

输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如：C

混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：E，P，Q。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。

前向通路：信号从输入节点到输出节点传输时，每个节点只通过一次的通路叫前向通路。

输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：R，N。2023/11/10控制系统的数学模型119

回路(闭通路)：起点和终点为同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为回路。

互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。信号流图的术语

通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。

回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。2023/11/10控制系统的数学模型120信号流图的等效变换

串联支路合并：

并联支路的合并：

回路的消除：2023/11/10控制系统的数学模型121

混合支路的清除：

自回路的消除：信号流图的等效变换2023/11/10控制系统的数学模型122信号流图的性质节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向支路的信号均用该节点的变量表示。支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的信号流图的性质2023/11/10控制系统的数学模型123信号流图的绘制[信号流图的绘制]：⒈根据结构图例2已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。2023/11/10控制系统的数学模型124信号流图的绘制⒉按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系绘制。如前例所对应的代数方程为按方程可绘制信号流图2023/11/10控制系统的数学模型125梅逊公式的推导二、梅逊公式的推导如前例已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程2023/11/10控制系统的数学模型126于是可求得该方程组的系数行列式和

梅逊公式的推导2023/11/10控制系统的数学模型127根据克莱姆法则得

于是传递函数为

分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。梅逊公式的推导2023/11/10控制系统的数学模型128图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有单独回路增益之和为两两互不接触回路增益乘积之和为

而△值恰好为

可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。

梅逊公式的推导2023/11/10控制系统的数学模型129

如果把△中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为△k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅逊公式的推导2023/11/10控制系统的数学模型130故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为

梅逊公式的推导传递函数的分子等于系数行列式△２除以R(s)。而恰好为

前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=12023/11/10控制系统的数学模型131梅逊公式

用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点