【中考数学】题库：线段最值问题总复习

线段最值问题类型一线段的最大、最小值1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是()A.4B.3C.2D.1第1题图B【解析】∵在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AB＝4，根据旋转的性质，得A′B′＝4，如解图，连接CP，∵P是A′B′的中点，∴CP＝2，又∵M是BC的中点，∴CM＝1，由三角形的三边关系，得CM＋CP＞PM，∴当M、C、P三点共线时，PM最大，此时，PM＝MC＋CP＝1＋2＝3.第1题解图2.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D并交EC的延长线于点F.则线段EF的最小值为()A.4eq\r(3)B.2eq\r(3)C.12D.2eq\r(6)第2题图A【解析】∵点E与点D关于AC对称，∴∠E＝∠CDE，又∵DF⊥DE，∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°，∴∠F＝∠CDF,∴CD＝CF＝CE,∴EF＝2CD，当CD最小时，EF最小，这时CD⊥AB,∵AB＝8,∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝4eq\r(3)，用面积法得CD＝eq\f(AC·CB,AB)＝eq\f(4×4\r(3),8)＝2eq\r(3)，∴EF的最小值为EF＝2CD＝4eq\r(3).3.如图，正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中点，线段PE的最小值是()A.eq\r(2)－2B.eq\r(2)＋1C.2eq\r(2)－1D.2eq\r(2)－2第3题图D【解析】如解图，连接AC，BD交于点O,当E、P、O共线时，PE＝OE－OP最小，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝4，∠ACD＝45°，∴AC＝4eq\r(2)，AB⊥BC,∵PE⊥AB,∴PE∥BC,∵P为AB中点，∴O为AC的中点，∴OP＝eq\f(1,2)BC＝2，OC＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(2)，∵∠AED＝45°＝∠ACD,∴A、C、E、D四点共圆，∵∠ADC＝90°，∴AC为直径，O为圆心，∴OE＝OC＝2eq\r(2)，∴PE＝OE－OP＝2eq\r(2)－2,即线段PE的最小值是2eq\r(2)－2.第3题解图如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是________．第4题图eq\f(6,5)【解析】如解图，当点E在BC上运动时，PF的长固定不变，即PF＝CF＝2.∴点P在以点F为圆心，以2为半径的圆上运动．过点F作FH⊥AB交⊙F于点P，垂足为点H，此时PH最短．则△AFH∽△ABC，∴eq\f(FH,BC)＝eq\f(AF,AB).由已知得AF＝4，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10，∴eq\f(FH,8)＝eq\f(4,10)，即FH＝eq\f(16,5).∴P到AB距离的最小值PH＝FH－FP＝eq\f(16,5)－2＝eq\f(6,5).第4题解图类型二线段和的最小值5.如图所示，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为()A.3B.9eq\r(2)C.6D.3eq\r(2)第5题图D【解析】设BE与AC交于点P′，如解图，连接BD、P′D.∵点B与D关于AC对称，∴P′D＝P′B，∴P′D＋P′E＝P′B＋P′E＝BE时最小．∵正方形ABCD的面积为18，∴AB＝3eq\r(2).又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝3eq\r(2).故所求最小值为3eq\r(2).第5题解图如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为()A.5eq\r(5)B.10eq\r(5)C.10eq\r(3)D.15eq\r(3)第6题图B【解析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如解图．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5，∴E′G＝eq\r(E′G′2＋GG′2)＝5eq\r(5)，∴C四边形EFGH＝2E′G＝10eq\r(5).第6题解图如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点M在⊙O上，∠MBA＝20°，N是eq\o(MA,\s\up8(︵))的中点，P是直径AB上的一动点，若AN＝1，则△PMN周长的最小值为() A.3B.4C.5D.6第7题图B【解析】如解图，过N作NN′⊥AB，交AB于G，交⊙O于N′，连接MN′交AB于P′，连接NN′，ON′，ON，MN′，OM，∴NG＝N′G，∴N、N′关于AB对称，∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长最小时的点，∵N是弧MA的中点，∴∠AON′＝∠NOA＝∠MON＝20°，∴∠MON′＝60°，∴△MON′为等边三角形，∴MN′＝OM＝eq\f(1,2)AB＝3，∴△PMN周长的最小值为3＋1＝4.第7题解图8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE＋EF的最小值为() A.eq\f(40,3)B.eq\f(15,4)C.eq\f(24,5)D.6第8题图 C【解析】如解图，过C作CG⊥AD交AB于G，过G作GF′⊥AC于F′，交AD于E′，∵AD平分∠CAB，∴点C与点G关于AD对称，∴E′C＝E′G，∴E′C＋E′F′≥FG即GF′为CE＋EF的最小值．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6