数形结合解题的几个误区

数形结合解题的

数与形是初等数学的两大研究对象，数形结合是高中阶段一种很重要的数学思想方法，形是数的翅膀，数是形的灵魂，正可谓“数缺形时少直观，形少数时难入微”。恰当地应用数形结合可以使问题得以高质高效的解决，但同时数形结合也是解题的一把双刃剑，学生往往在数与形转换过程中，稍有不慎，就会步入数形结合解题的误区。几个误区例1求函数的值域。解法1

题目的结构像斜率公式，故取A(tx,t2x2),B(1,-3)，则A在抛物线y=x2上，问题转化为求抛物线上动点A与定点B的连线的斜率的变化范围（如图1）。

设过B(1,-3)的直线方程为y=k(x-1)-3，代入抛物线方程，得x2-kx+k+3=0，其判别式非负，△=k2-4k-12≥0，解得k≥6或k≤-2，所以函数的值域为（-∞,-2]U[6,+∞)。一、滥用数形结合Ay·A·OB·x图1

本题对数与形之间的分析是准确的，但理解其实质步骤后可知，解题的关键是对二次方程x2-kx+k+3=0讨论判别式，而这可由原式直接得到。剖析

解法2

原式可化为t2x2-ytx+y+3=0，有△=y2t2-4t2(y+3)≥0，且t2≥0，化简得y2-4y-12≥0，解得y≥6或y≤-2。评注

用数形结合思想指导解题，应该达到简洁明快的目的，如果达不到这种效果，甚至造成解法更为繁琐，那就无异于画蛇添足，失去数形结合的意义，所以解题时切忌不问是否需要，强行‘结合’。二、作图不准确例2求方程sinx=x根的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、5错解

在同一直角坐标系中作出函数y=sinx，与y=x的图象如图2，由图选C。yx0图2

此题错在作图不准确，因为在(0,1)内，sinx＜x，且在[1,+∞)内，sinx＜x所以在(0,+∞)内，函数y=sinx图象在y=x的图象下方，无交点，有奇函数的性质知在(-∞,0)内也无交点，故选A。剖析

√例3函数y=|x2-1|+1的图象与函数y=2x的图象交点的个数为

A、1 B、2 C、3 D、4错解

在同一直角坐标系中作出函数y=|x2-1|+1与函数y=2x的图象如图3，选B。

此题错在作图不准确，因为当x＞2时，x2＞2x不一定成立。剖析

y图30xE642

由于x大到一定程度时，指数型增大的速度比幂函数增大的速度快（可以从导函数推出），所以在(2,+∞)区域上还有一个交点，如图4，故选C。例3函数y=|x2-1|+1的图象与函数y=2x的图象交点的个数为

A、1 B、2 C、3 D、4√0xE(2,4)y205图41510A(4,16)··评注

有时在草稿纸上画一张草图，就能帮助我们正确的理解题意和分析问题，迅速找到解题思路。但是我们必须充分意识到，如果对数据缺乏科学的分析，仅凭随意的几何作图，常会导出错误的答案。因此我们画图时一定要特别注意交点的位置及图象上方下方的相对位置等情况。三、数形转换不等价例4已知cos2α+cos2β+2sinα+2sinβ=0，求t=sinα+sinβ的取值范围

。错解

由所求的目标表达式可知先把已知等式变形为同名三角式（正弦）（sinα-1）2+（sinβ-1）2=4，令u=sinα，v=sinβ，则点(u,v)对应的轨迹是以(1,1)为圆心，2为半径的圆，如图5，函数t=u+v与之有交点，在v轴上的截距t∈[2-2，2+2]。·0uu=v52+22-2v图5

此题在设u=sinα，v=sinβ时，忽视了u,v的取值范围，即-1≤u≤1，-1≤v≤1，而此导致作图出现错误，正确的图形应为一段圆弧，如图6的实线部分，函数t=u+v的图象与之有交点，直线v=-u+t在v轴上的截距t∈[2-2，0]。剖析

·0uu=v52-2(1,1)图6v例5已知椭圆（a＞b＞0），从中心作两条互相垂直的弦AC，BD，顺次连结A,B,C,D得一四边形，记其面积为S，求S的最小值。错解

先画出图形，如图7，由对称性可知，四边形为菱形，由椭圆的参数方程可设点A的坐标为A(acosθ,bsinθ),其中0≤θ≤。ABCDoxy图7由OA⊥OB得点B坐标为化简为B(-asinθ,bcosθ),则S=4S△AOB=2OA·OB

当sin2θ=0时取等号S有最小值2ab.ABCDoxy图7

这个解法把参数方程中的θ误认为OA的倾斜角，得出的B坐标是错的，结论当然也错了，正确的解法如下：设OA=r1,OB=r2点A,B的坐标分别为A(r1cosθ,r1sinθ),B(r2cos(θ+),r2sin(θ+)),即B(-r2sinθ,r2cosθ),分别代入椭圆方程并联立化简得

即，当且仅当r1=r2时取等号，即点A在直线y=x上时S有最小值。由上面的分析可知，数形结合解题时要注意数形转换的等价性、简洁性