2019年北京市西城区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2019年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分.每小题2分）第1-8题均有四个选项．符合题众的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（）A． B． C． D．2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞b B．a＝b＞0 C．ac＞0 D．|a|＞|c|3．（2分）方程组的解为（）A． B． C． D．4．（2分）如图，点D在BA的延长线上，AE∥BC，若∠DAC＝100°，∠B＝65°，则∠EAC的度数为（）A．65° B．35° C．30° D．40°5．（2分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）A．4×1013千米 B．4×1012千米 C．9.5×1013千米 D．9.5×1012千米6．（2分）如果a2+3a+1＝0，那么代数式（）•的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣27．（2分）三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递件数最多的是丙；③在这一天中派送快递总件数最多的是乙．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．② D．②③8．（2分）中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的是（）A．勒洛三角形是轴对称图形 B．图1中，点A到上任意一点的距离都相等 C．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心O1的距离都相等 D．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等二、填空题（本题共16分.每小题2分）9．（2分）如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段．10．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（2分）分解因式：ax2﹣25a＝．12．（2分）如图，点O，A，B郁都在正方形网格的格点上，将△OAB绕点O顺时针旋转后得到△OA'B'，点A，B的对应点A'，B'也在格点上，则旋转角a（0°＜a＜180°）的度数为°．13．（2分）用一组a、b的值说明命题“对于非零实数a，b，若a＜b，则”是错误的，这组值可以是a＝，b＝．14．（2分）如图，在矩形ABCD中，点F在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若DE＝5，FC＝4，则AB的长为．15．（2分）小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐．小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：等级评价条数餐厅五星四星三星二星一星合计甲53821096129271000乙460187154169301000丙4863888113321000（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、共星、二星和一星．）小芸选择在（填“甲”、“乙”或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大．16．（2分）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，BB，CC，DD，EE，A通过小客车数量（量）260330300360240在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算|﹣5|﹣2sin60°﹣（2019﹣π）018．（5分）解不等式组：19．（5分）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．已知：⊙O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．作法：如图①作⊙O的直径AC；②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；③连接BO并延长交⊙O于点D；所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA＝OC同理OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°（）（填推理的依据）∴四边形ABCD是矩形∵AB＝＝BO，∴四边形ABCD四所求作的矩形．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0．（1）当c＝b﹣2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b，c的值，并求此时方程的根．21．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠A＝75°，AC＝4，求菱形DFCE的面积．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．双曲线y＝与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标（1）求点B的坐标；（2）当点P的横坐标为2时，求k的值；（3）连接PO，记△POB的面积为S．若，结合函数图象，直接写出k的取值范围．23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B．点D在⊙O上，且BC＝BD，连接CD交⊙O于点E．过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交⊙O于点F．（1）求证：∠MED＝∠MDE．（2）连接BE，若ME＝3，MB＝2．求BE的长．24．（6分）如图，是直径AB所对的半圆弧，C是上一定点，D是上一动点，连接DA，DB，DC．已知AB＝5cm，设D，A两点间的距离为xcm，D，B两点间的距离为y1cm，D，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验．分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm012345y1cm54.9430y2cm43.322.471.403（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BC，当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，DA的长度约为cm．25．（6分）某公司的午餐采用自助餐的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有10个部门，且各部门的人数相同，为了解午餐的浪费情况，从这10个部门中随机抽取了A，B两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．A部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）：b．A部门每日餐余量在6≤x＜8这一组的是：6.16.67.07.07.07.8c．B部门每日餐余量最如下：1.42.86.97.81.99.73.14.66.910.86.92.67.56.99.57.88.48.39.48.8d．A，B两个部门这20个工作日每日餐余量的平均数、中位数、众数如下：部门平均数中位数众数A6.4m7.0B6.67.2n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）在A，B这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是（填“A”或“B”），理由是；（3）结合A，B这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余重量．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：FB＝FD；（2）点H在边BC上，且BH＝CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB＝2，请直接写出线段CN长度的最小值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是，最大值是；②在P1（），P2（1，4），P3（﹣3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是（2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是圆O的一对平衡点，求x的取值范围．（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个点都是圆C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．

2019年北京市西城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分.每小题2分）第1-8题均有四个选项．符合题众的选项只有一个．1．（2分）下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（）A． B． C． D．【分析】圆锥侧面是曲面，所以侧面展开后是扇形；【解答】解：圆锥的展开图是扇形，故选：B．【点评】本题考查圆锥的展开图；掌握圆锥侧面展开后的几何图形是扇形是解题的关键．2．（2分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞b B．a＝b＞0 C．ac＞0 D．|a|＞|c|【分析】根据数轴的特点：判断a、b、c正负性，然后比较大小即可．【解答】解：根据数轴的性质可知：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|；所以a＞b，a＝b＞0，ac＞0错误；|a|＞|c|正确；故选：D．【点评】本题考查实数与数轴的关系，关键是根据实数在数轴上的位置判断字母的正负性，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小．3．（2分）方程组的解为（）A． B． C． D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①×2+②得：9x＝9，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝2，则方程组的解为，故选：C．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2分）如图，点D在BA的延长线上，AE∥BC，若∠DAC＝100°，∠B＝65°，则∠EAC的度数为（）A．65° B．35° C．30° D．40°【分析】由图可得∠EAC＝∠DAC﹣∠DAE，先根据平行线的性质得到∠DAE的度数，即可得出∠EAC的度数．【解答】解：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE＝65°，又∵∠DAC＝100°，∴∠EAC＝∠DAC﹣∠DAE＝100°﹣65°＝35°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．5．（2分）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）A．4×1013千米 B．4×1012千米 C．9.5×1013千米 D．9.5×1012千米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：依题意得：4.2光年＝4.2×9.5×1012≈4×1013．故选：A．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（2分）如果a2+3a+1＝0，那么代数式（）•的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+3a+1＝0，即可求得所求式子的值．【解答】解：（）•＝＝＝2a（a+3）＝2（a2+3a），∵a2+3a+1＝0，∴a2+3a＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2，故选：D．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．7．（2分）三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递件数最多的是丙；③在这一天中派送快递总件数最多的是乙．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．② D．②③【分析】从图中根据①②③的信息依次统计，即可求解；【解答】解：从图可知以下信息：上午送时间最短的是甲，①正确；下午送件最多的是乙，②不正确；一天中甲送了65件，乙送了75件，③正确；故选：B．【点评】本题考查坐标与点，统计的知识；能够从图中获取信心，针对性的统计是求解的关键．8．（2分）中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的是（）A．勒洛三角形是轴对称图形 B．图1中，点A到上任意一点的距离都相等 C．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心O1的距离都相等 D．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质判断即可．【解答】解：A、勒洛三角形是轴对称图形，正确；B、图1中，点A到上任意一点的距离都相等，正确；C、图2中，连接O1E，连接DO1并延长交于G，设等边三角形DEF的边长为a，则O1D＝EO1＝a，∵DG＝DE＝a，∴O1G＝a﹣a，∴勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心O1的距离不相等，故错误；D、设等边三角形DEF的边长为a，∴勒洛三角形的周长＝3×＝aπ，圆的周长＝aπ，∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故正确．故选：C．【点评】本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，正确的理解题意是解题的关键．二、填空题（本题共16分.每小题2分）9．（2分）如图，在线段AD，AE，AF中，△ABC的高是线段AF．【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【解答】解：∵AF⊥BC于F，∴AF是△ABC的高线，故答案为：AF．【点评】本题主要考查了三角形的高线，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．10．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．11．（2分）分解因式：ax2﹣25a＝a（x+5）（x﹣5）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（x+5）（x﹣5），故答案为：a（x+5）（x﹣5）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（2分）如图，点O，A，B郁都在正方形网格的格点上，将△OAB绕点O顺时针旋转后得到△OA'B'，点A，B的对应点A'，B'也在格点上，则旋转角a（0°＜a＜180°）的度数为90°．【分析】连接BB'，在△BOB'中，BO＝，BO'＝，BB'＝，利用勾股定理判断三角形形状，∴∠BOB'就是旋转角α；【解答】解：连接BB'，在△BOB'中，BO＝，BO'＝，BB'＝，∵BB'2＝BO2+BO'2，∴∠BOB'＝90°，∴∠α＝90°；故答案为90°；【点评】本题考查三角形的旋转，抓住OB与OB'易求边长的特点，构造△BOB'，通过边长求角是解题的关键．13．（2分）用一组a、b的值说明命题“对于非零实数a，b，若a＜b，则”是错误的，这组值可以是a＝﹣1，b＝1．【分析】通过a取﹣1，b取1可说明命题“若a＜b，则”是错误的．【解答】解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但．故答案为﹣1，1．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．14．（2分）如图，在矩形ABCD中，点F在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若DE＝5，FC＝4，则AB的长为8．【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，∠C＝90°，由折叠的性质可得DE＝EF＝5，由勾股定理可求EC的值，即可求AB的值．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，∠C＝90°∵折叠∴DE＝EF＝5，在Rt△EFC中，EC＝＝3∴CD＝DE+EC＝5+3＝8∴AB＝CD＝8故答案为：8【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．15．（2分）小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐．小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：等级评价条数餐厅五星四星三星二星一星合计甲53821096129271000乙460187154169301000丙4863888113321000（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、共星、二星和一星．）小芸选择在丙（填“甲”、“乙”或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大．【分析】不低于四星，即四星与五星的和居多为符合题意的餐厅．【解答】解：不低于四星，即比较四星和五星的和，丙最多．故答案是：丙．【点评】考查了可能性的大小和统计表．解题的关键是将问题转化为比较四星和五星的和的多少．16．（2分）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，BB，CC，DD，EE，A通过小客车数量（量）260330300360240在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B．【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论，【解答】解：∵330﹣260＝70，330﹣300＝30，360﹣300＝60，360﹣240＝120，260﹣240＝20，∴C＞A，B＞D，E＞C，D＞A，B＞E，由B＞D和D＞A得B＞A，由E＞C和B＞E得B＞C，∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B，故答案为：B．【点评】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算|﹣5|﹣2sin60°﹣（2019﹣π）0【分析】先分别计算绝对值、二次根式、三角函数值、零指数幂，然后算加减法．【解答】解：原式＝5+2﹣2×﹣1＝5＝．【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、二次根式、三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．18．（5分）解不等式组：【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x＞﹣4，所以不等式组的解集为：﹣4＜x＜1．【点评】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．（5分）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．已知：⊙O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．作法：如图①作⊙O的直径AC；②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；③连接BO并延长交⊙O于点D；所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA＝OC同理OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°（直径所对圆周角是直角）（填推理的依据）∴四边形ABCD是矩形∵AB＝AO＝BO，∴四边形ABCD四所求作的矩形．【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得．【解答】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA＝OC同理OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°（直径所对圆周角是直角）∴四边形ABCD是矩形∵AB＝AO＝BO，∴四边形ABCD即为所求作的矩形，故答案为：直径所对圆周角是直角，AO．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的性质．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0．（1）当c＝b﹣2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b，c的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝（b﹣2）2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4c＝0，设b＝2，c＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）∵c＝b﹣2，∴△＝b2﹣4c＝b2﹣4（b﹣2）＝（b﹣2）2+4，∵（b﹣2）2＞0，∴△＝（b﹣2）2+4＞0．∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4c＝0，若b＝2，c＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠A＝75°，AC＝4，求菱形DFCE的面积．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；（2）过E作EG⊥BC于G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴四边形DFCE是菱形；（2）过E作EG⊥BC于G，∵AC＝BC，∠A＝75°，∴∠B＝∠A＝75°，∴∠C＝30°，∴EG＝CE＝AC＝1，∴菱形DFCE的面积＝2×1＝2．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．双曲线y＝与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标（1）求点B的坐标；（2）当点P的横坐标为2时，求k的值；（3）连接PO，记△POB的面积为S．若，结合函数图象，直接写出k的取值范围．【分析】（1）有点A的坐标，可求出直线的解析式，再由解析式求出B点坐标．（2）把点P的横坐标代入直线解析式即可求得点P的纵坐标，然后把点P带入反比例函数解析式即可得k值．（3）根据△POB的面积为S的取值范围求点P的横坐标取值，然后把横坐标代入直线解析式，即可求得点P纵坐标的取值范围，进而求得k的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0）∴﹣2+b＝0∴b＝2∴一次函数解析式为：y＝x+2∴直线l与y轴交于点B为（0，2）∴点B的坐标为（0，2）；（2）∵双曲线y＝与直线l交于P，Q两点∴点P在直线l上∴当点P的横坐标为2时，y＝2+2＝4∴点P的坐标为（2，4）∴k＝2×4＝8∴k的值为8（3）如图：S△BOP＝×2×xp＝xp，∵，∴＜xp＜1，∴＜yp＜3，∴＜k＜3【点评】本题主要涉及一次函数与反比例函数相交的知识点．根据交点既在一次函数上又在反比例函数上，即可解决问题．23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B．点D在⊙O上，且BC＝BD，连接CD交⊙O于点E．过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交⊙O于点F．（1）求证：∠MED＝∠MDE．（2）连接BE，若ME＝3，MB＝2．求BE的长．【分析】（1）由题意得EF∥BC，则∠C＝∠DEM，又∠C＝∠MDE，则结论得证；（2）连BE，，可得∠BEF＝∠D，可证△BEM∽△BDE，则BE2＝BM•BD，可求BE的长．【解答】（1）证明：∵CB与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴∠DEM＝∠C，∵BC＝BD，∴∠C＝∠MDE，∴∠MED＝∠MDE；（2）∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠D＝∠BEF，∵∠EBM＝∠DBE，△BEM∽△BDE，∴，即BE2＝BM•BD，∵BM＝2，ME＝3，BD＝5，∴．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24．（6分）如图，是直径AB所对的半圆弧，C是上一定点，D是上一动点，连接DA，DB，DC．已知AB＝5cm，设D，A两点间的距离为xcm，D，B两点间的距离为y1cm，D，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验．分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm012345y1cm54.9430y2cm43.322.471.403（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BC，当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，DA的长度约为4.6cm．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由勾股定理求出DB＝＝≈4.58（cm），填表即可；（2）描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1，y2的图象即可；（3）由表中y1，y2与x的对应值，AD＝0cm时，DB＝5cm，即点D与点A重合，DC＝AC＝4cm，由勾股定理求出BC＝＝3（cm），当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，分两种情况：①CD＝BC时，即CD＝3cm时，由函数图象得：y2＝3时，x＝5cm，点D与点B重合，△BCD不存在；②CD＝DB时，即y1与y2相交时，由图象得出x≈4.6cm即可．【解答】解：（1）∵是直径AB所对的半圆弧，C是上一定点，∴∠ACB＝90°，∵DA＝2cm，AB＝5cm，∴DB＝＝＝≈4.58（cm），即当D、A两点间的距离为2cm时y1＝4.58cm；如下表所示：（2）描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1，y2的图象，如图所示：（3）由表中y1，y2与x的对应值，AD＝0cm时，DB＝5cm，即点D与点A重合，DC＝AC＝4cm，∵AB＝5cm，∴BC＝＝＝3（cm），当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，分两种情况：①CD＝BC时，即CD＝3cm时，由函数图象得：y2＝3时，x＝5cm，点D与点B重合，△BCD不存在；②CD＝DB时，即y1与y2相交时，x≈4.6cm，即DA的长度约为4.6cm；故答案为：4.6．【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、函数与图象以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是关键．25．（6分）某公司的午餐采用自助餐的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有10个部门，且各部门的人数相同，为了解午餐的浪费情况，从这10个部门中随机抽取了A，B两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．A部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）：b．A部门每日餐余量在6≤x＜8这一组的是：6.16.67.07.07.07.8c．B部门每日餐余量最如下：1.42.86.97.81.99.73.14.66.910.86.92.67.56.99.57.88.48.39.48.8d．A，B两个部门这20个工作日每日餐余量的平均数、中位数、众数如下：部门平均数中位数众数A6.4m7.0B6.67.2n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）在A，B这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是A（填“A”或“B”），理由是A部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B部门每日餐余重量的平均数和中位数；（3）结合A，B这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余重量．【分析】（1）根据频数（率）分布直方图中数据即可得到结论；（2）根据表中数据即可得到结论；（3）根据A、B两个部门这20个工作日每日餐余量的平均数即可得到结论．【解答】解：（1）m＝＝6.8，n＝6.9；（2）在A，B这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是A，理由是A部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B部门每日餐余重量的平均数和中位数；故答案为：A，A部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B部门每日餐余重量的平均数和中位数．（3）10×240×＝15600km，答：估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余重量15600km．【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，正确的理解题意是解题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）①把m＝2代入抛物线解析式，利用x＝﹣，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含n的式子表示出顶点的纵坐标；②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；（2）把n＝3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P（﹣1，2），抛物线的顶点在线段PQ上，三种情况分类讨论，得出相应的m值，从而得结论．【解答】解：（1）①∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．∵x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，∴顶点的纵坐标为：n﹣1．②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，x＝﹣2到x＝1的距离为3，∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，故答案为：x2＜﹣2或x2＞4．（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．∴点Q的坐标为（3，2），∵n＝3，抛物线为y＝x2﹣mx+3．当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；当抛物线的顶点在线段PQ上时，＝2，解得m＝±2．结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或．故答案为：m≤﹣2或m＝2或．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．27．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：FB＝FD；（2）点H在边BC上，且BH＝CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB＝2，请直接写出线段CN长度的最小值．【分析】（1）证明△FAD≌△FAB（SAS）即可解决问题．（2）①首先证明四边形ABCD是正方形，再证明∠BAH＝∠CBF即可解决问题．②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．理由三角形