河南省南阳市桐柏县第一高级中学2021-2022学年高二上学期期中数学理试题（解析版）

高二学年数学（理科）试题时间：120分钟满分：150分第I卷（选择题）一、单选题（共40分，每小题5分）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法化简可得，在复平面中对应的点坐标为，即得解【详解】由题意，在复平面中对应点坐标为，在第一象限故选：A2.椭圆的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求．【详解】由题得方程可化为，所以所以焦点为故选：A.3.，为不重合的直线，，，为互不相同的平面，下列说法错误的是（）A.若，则经过，平面存在且唯一B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，由平面的性质判断，对于B，由面面平行的性质判断，对于C，由线面垂直的判定定理判断，对于D，由面面平行的判定定理判断【详解】对于A，因为，所以由两平行直线确定一个平面，可知经过，的平面存在且唯一，所以A正确，对于B，因为，，，所以，所以B正确，对于C，设，在内作，在内作，因为，，所以，所以∥，所以∥，因为，，所以∥，因为，所以，所以C正确，对于D，当，，，时，与可能平行，可能相交，所以D错误，故选：D4.已知向量，的夹角为60°，，，则（）A.2 B.C. D.12【答案】C【解析】【分析】利用平方法，根据向量模的平方等于向量的平方直接即可求出.【详解】，所以.故选：C.5.空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系指数值空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如表：为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日-20日指数的数据并绘称折线图如图：下列叙述正确的是（）A.10月4日到10月11日，空气质量越来越好B.这天中的空气质量为优的天数占C.这天中指数值中位数小于D.总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】通过分析表格数据，得出AQI指数值越大空气质量越差，再结合折线图中点的分布情况逐项分析即可得出答案.【详解】根据题中表格数据可知：AQI指数值越大空气质量越差所以10月4日到10月11日空气质量越来越差，选项A错误；由折线图知，空气质量为优的天数为5，所以20天中空气质量为优的天数占比为选项B错误；根据折线图，150以下的点有15个，150以上的点只有5个所以这20天中AQI指数值中位数小于150，选项C正确；从折线图可看出，10月中旬的AQI指数值比10月上旬的AQI指数值大，故选项D错误；

故选：C.6.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正方体的性质相应作出完整的截面，然后根据正方体的性质及线面平行的判定即可得解.【详解】对于A，由正方体的性质可得，可得直线平面ABC，能满足；对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MNAD，可得直线MN平面ABC，能满足；对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MNBD，可得直线MN平面ABC，能满足；对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.故选：D.7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C：上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．【详解】设动点，由，得，整理得，又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切.圆的圆心坐标为，半径为2，圆C：的圆心坐标为，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，，得．故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查阿波罗尼斯圆，考查两圆相切的应用，判断圆与圆的位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系：（1）外离；（2）外切；（3）相交；（4）内切；（5）内含，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．8.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N到底面B的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值.【详解】由题意知，水的体积为，如图所示，

设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于由题意知，水的体积为，即，在平面内，过点作交于，则四边形是平行四边形，且又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为,在直角三角形中，.故选：D.【点睛】本题考查了利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.二、多选题（共20分，每小题5分，错选不得分，漏选得2分）9.若椭圆的焦距为2，则实数的值可为（）A.1 B.4 C.6 D.7【答案】BC【解析】【分析】分别考虑焦点在轴、轴上的两种情况，然后根据求解出的值.【详解】若焦点在轴上，则，故；若焦点在轴上，则，故．故选：BC．10.已知直线和圆，则（）A.直线l恒过定点B.存在k使得直线l与直线垂直C.直线l与圆O相交D.若，直线l被圆O截得的弦长为4【答案】BC【解析】【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得，所以直线恒过定点，故A错误；因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：BC.11.如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P为线段B1C1上的动点，则下列结论中正确的是（）A.点A到平面A1BC的距离为 B.平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1PC.三棱锥P﹣A1BC的体积为定值 D.二面角A1-BC-A的大小为【答案】BC【解析】【分析】根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，四边形是正方形，所以，所以，但与不垂直，所以与平面不垂直，所以到平面的距离不是，A选项错误.B选项，根据三棱柱的性质可知，平面平面，所以平面，设平面与平面的交线为，根据线面平行的性质定理可知，B选项正确.C选项，由于平面,平面，所以平面.所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，C选项正确.D选项，设是的中点，由于，所以，所以二面角的平面角为，由于，所以，D选项错误.故选：BC12.如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（）A.曲线与轴围成的图形的面积等于 B.与的公切线的方程为C.所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D.所在的圆截直线所得弦的长为【答案】BCD【解析】【分析】由题已知曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，故此可写出各段圆弧所在的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项.【详解】解：由题意得：A选项：、、所在圆的方程分别为，，.曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，其面积为，故A错误；B选项：设与公切线方程为，则，所以，，所以与的公切线方程为，即，故B正确；C选项：由和两式相减得，即为公共弦所在的直线方程，故C正确；D选项：所在的圆的方程为，圆心，圆心到直线的距离，则所求的弦长为，故D正确.故选：BCD第II卷（非选择题）三、填空题（共20分，每小题5分）13.已知直线过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的倍，则直线的方程是_______.【答案】【解析】【分析】求出直线的倾斜角，即可求得直线的倾斜角，从而可得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程，即可求出直线的方程．【详解】∵直线的斜率为∴直线的倾斜角为∵直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍∴直线的倾斜角为，即直线的斜率为∵直线过点∴直线的方程为，即.故答案为：.14.已知，，则曲线为椭圆的概率是___________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的标准方程的形式，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意知，，，可得共有8种不同情况，其中满足“曲线为椭圆”的有，，，共3种情况，由古典概型的概率公式可得，所求概率.故答案为：.15.2021年10月1日，是中华人民共和国成立72周年，某校为了迎接“十一”国庆，特编排了“迎国庆·唱红歌”活动，活动地点让合唱团依斜坡站立，斜坡的前方是升旗台.如图，若斜坡的坡角为，斜坡上某一位置A与旗杆在同一个垂直于地面的平面内，如果在A处和坡脚处测得旗杆顶端的仰角分别为和，且米，则旗杆的高度为________米.【答案】【解析】【分析】设，在中，,在中，利用正弦定理即可得到关于x的方程，进而求得x的值.【详解】设，在中，；在中，，，，，由正弦定理得，即，所以.故旗杆的高度为米.故答案为：18.16.直线，动直线，动直线．设直线与两坐标轴分别交于两点，动直线l1与l2交于点P，则的面积最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先求出动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，然后求出两点的坐标，进而得到，从而求出圆心到直线的距离，从而得到到直线最大距离，进而求出结果.【详解】由题意，动直线l1与l2交于点，则，∴消去参数a，整理可得：，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆上，而到直线的距离，故到直线最大距离为，由，则，∴此时有最大面积为.故答案为：四、解答题（共70分）17.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角的关系求得，从而可得答案；（2）直接利用余弦定理求得边c，然后利用三角形的面积公式即可得解.【详解】解：（1）因为，在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，因为，，所以，因为，所以.（2）因为，，，由余弦定理得，所以，解得或（舍），所以.18.已知圆，直线．（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式，即得解；（2）利用弦心距、弦长、半径的勾股关系，求出弦心距为，结合点到直线距离公式，即得解【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径为若直线与圆相切，则有，解得（2）设圆心到直线的距离为，则有即，即，由，解得或所以直线的方程为或19.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，平面平面，，，且，，，的中点分别是O，G.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，，可证明四边形为正方形，即，即，由平面平面，可得平面，即，由线线垂直推线面垂直，即得证；（2）建立空间直角坐标系，由平面，所以为平面的一个法向量，再计算平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解【详解】（1）证明：连接，，由于，且故四边形为正方形，所以.因为，的中点分别是O，G，所以，所以，因为，的中点是O，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又，平面，所以，，又因为，所以平面.（2）由（1）知，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，，所以，则点，，，，.所以，，.由（1）知，，，，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量；又设平面的法向量为，由得得取，得.所以.由图得，平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为.20.如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（1）求成绩在80~90这一组的频数；（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；（3）从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率.【答案】（1）4；（2）平均数为，40百分位数为；（3）.【解析】【分析】(1)由给定的频率分布直方图，求出成绩在80~90这一组频率即可得解；(2)利用频率分布直方图求平均数及百分位数的方法计算即得；(3)先求出给定两段的学生总数，再用列举法求概率的方法求解即得.【详解】（1）依题意50~60这一组的频率为，60~70这一组的频率为，70~80这一组的频率为，90~100这一组的频率为，则80~90这一组的频率，其频数为4；（2）这次竞赛成绩的平均数为，40~50这一组的频率为0.1，50~60这一组的频率为0.15，40~60的频率为0.25，60~70这一组的频率为，因此40百分位数在60~70这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，所以40百分位数为；（3）记选出的2人不在同一分数段为事件，40~50之间的人数为人，设为，，，，90~100之间有人，设为1，2，从这6人中选出2人，有，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点，其中事件包括，，，，，，，，共8个基本事件，于是得，所以不在同一分数段的概率.21.如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.（1）证明：平面；（2）直线是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析