2022-2023学年高二上学期期中模拟卷（选择性必修第一册）（拔高卷）

期中押题预测卷（拔高卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：选择性必修第一册5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A【解析】因为，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.2．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线，已知的顶点、，其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设点，则的重心为，由题意可得，可得，①线段的中点为，，所以，线段的中垂线方程为，即，联立，解得，故的外心为，因为，即，②联立①②可得或.当时，点与点重合.因此，点的坐标为.故选：A.3．已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为、，则顶点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设点关于直线的对称点为，线段的中点为，则点在直线上，所以，，即，①因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，②联立①②可得，，即点，，所以，直线的方程为，由题意可知，点为直线、的交点，联立，解得，因此，点的坐标为.4．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是线段A1D1靠近点D1的三等分点，点F，G分别为C1D1，B1C1的中点.下列说法中正确的是（

）A．A，C，E，F四点共面B．AD1与B1D所成夹角为60°C．BG平面ACD1D．三棱锥D—ACD1与三棱锥B—ACD1体积相等【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系；设正方体的棱长为3，则,,取的中点为,则又，因此,故四点共面，又平面,假如直线平面，则这与平面与平面的交线是矛盾，故四点不共面，错误；故,所以，进而AD1与垂直，故B错误；因为平面,平面,所以平面，若平面，则平面平面，显然矛盾，故C错误；由于,故底面和高均相等，因此体积相等，正确.故选：D5．下列结论正确的是（

）①过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为；②圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1；③已知，为坐标原点，点是圆：外一点，且直线的方程是，则直线与圆相交；④已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【解析】对①，当截距为零时，易得直线l为，①错；对②，圆的圆心为，半径，则圆心到l的距离为，故圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，②对；对③，点P在圆外，则有，圆心到直线m的距离为，故直线与圆相交，③对；对④，直线，过定点，则，直线和以，为端点的线段相交，则或，④错；故选：B6．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点（不妨设为椭圆右焦点）的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是（

）A．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁B．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小C．卫星向径的取值范围是D．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间【答案】D【解析】卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，椭圆轨道越扁，故A正确；因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故B正确；由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，故C正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，故D不正确，故选：D．7．已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于A，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以双曲线的渐近线方程为由得，由得，∴，解得，∴，，则的三边长分别为，，．设的内切圆半径为，由，解得.故选：C．8．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设上的切点分别为H､I､J，则.由，得，∴，即.设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.同理可得的内心在直线上，设直线的领斜角为，则，，当时，；当时，由题知，，因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，综上所述，.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，则（

）A． B．C．底面 D．直线底面所成的角为【答案】ACD【解析】设，则，，因为底面是边长为1的正方形，侧棱，且，所以，，，，，，，，所以；所以，A对，；所以，B错，，所以，，又，平面，故底面；C对，因为底面，所以直线在平面上的投影为为直线，所以直线与平面的夹角为，在中，，，，所以是等腰直角三角形，其中，所以，所以直线与平面的夹角为，又，所以直线底面所成的角为，D对，故选：ACD.10．在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（

）A．的周长为B．（不重合时）平分C．面积的最大值为6D．当时，直线与轨迹相切【答案】ABD【解析】设，因为，且点满足，可得，整理得，即曲线的方程为．对于A中，曲线为半径为的圆，所以周长为，所以A正确；对于B中，因为，所以，所以，延长到，使，连结，如图所示，因为，所以，所以，所以，，因为，所以，所以，即平分，所以B正确．对于C中，由的面积为，要使得的面积最大，只需最大，由由点的轨迹为，可得，所以面积的最大值为，所以C错误；对于D中，当时，或，不妨取，则直线，即，因为圆心到直线的距离为，所以，即直线与圆相切，所以D正确．故选：ABD．11．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（

）A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为【答案】BC【解析】，如图，分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心.因为，所以，设椭圆的长轴长为，焦距为，则.因为，由正弦定理得，解得，所以，所以.故选：BC12．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（

）A．存在点，使得平面B．存在点，使得直线与直线所成的角为C．存在点，使得三棱锥的体积为D．不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与所成的角【答案】ACD【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示），则、、、、、、、，设，即点，其中.对于A：假设存在点，使得平面，因为，，，则，解得，故当点为线段的中点时，平面，即选项A正确；对于B：假设存在点，使得直线与直线所成的角为，，，因为，即，所以不存在点，使得直线与直线所成的角为，即选项B错误；对于C：假设存在点，使得三棱锥的体积为，，且点到平面的距离为，则，解得，所以当点为线段的靠近的四等分点时，三棱锥的体积为，即选项C正确；对于D：，，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，则，，，，因为，，则，因为、，且余弦函数在上单调递减，则，即不存在点，使得，即选项D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点__________.【答案】【解析】设，则有①，又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，则点均在以为直径的圆上，设的中点为，则圆的方程为，化简得；直线即为两圆的公共弦，所以，对于和，两式相减可得直线的方程为，由①可得，，整理得，故直线过定点故答案为：14．如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，，，则_______.【答案】【解析】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，，使，所以，所以，所以所以.故答案为：15．在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，为等边三角形，，则四棱锥的外接球球心到平面的距离是___________.【答案】【解析】取的中点，连接∵为等边三角形，则平面平面，平面平面∴平面取的中点，由于四边形为等腰梯形，且，则可以得到，即为等腰梯形的外接圆的圆心过作的平行线，则外接球球心必在上，设，在梯形中，，则∵，即，解出，建系如图，则设平面的法向量，则令，则，则∵，则到平面的距离故答案为：.16．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，，．若的垂心为的焦点，且点在双曲线上，则双曲线的方程为________．【答案】【解析】双曲线的渐近线为，由，解得或，所以，由，解得或，所以．∵为的垂心，，即，解得，∵点双曲线上，即，∴，即双曲线方程为；故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知直线：.(1)证明无论为何值，直线与直线总相交；(2)若为坐标原点，直线与，轴的正半轴分别交于两点，求面积的最小值.【解析】（1）对于，化简得，取，得到，对于点，直线与直线都是必过点，所以，无论为何值，直线与直线总相交（2）设，由（1）得，，整理得，因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立），面积的最小值为18．（12分）如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.(1)求与平面AEF所成角的正弦值；(2)过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线，在图中作出这条公共直线，简略写清作图过程，并求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.【解析】（1）正三棱柱中，取AC中点O，连接OB，OF，而F为的中点，则，

四边形是平行四边形，即，又平面，则有平面，即OA，OB，OF两两垂直，以O为原点，射线OA，OB，OF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面AEF的一个法向量为，则，令，得，设与平面AEF所成角为，则，所以与平面AEF所成角的正弦值为.（2）如图，延长交延长线于点M，经过点F，M画直线FM，则直线FM即为所作，因点直线，而平面，则点平面，同理点平面，而点平面，点平面，因此直线FM是平面AEF与平面的公共直线，令，因是中点，则且，即是的一条中位线，因此是中点，又是中点，则是的重心，，在中，，由余弦定理得：，所以这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度为.19．（12分）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．(1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；(2)求线段中点的轨迹方程；(3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值．【解析】（1），，，故以为圆心，为半径的圆的方程为，显然线段为圆和圆的公共弦，则直线的方程为，即，经判断直线过定点，即所以直线过定点（2）因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点，设的中点为点，直线过的定点为点，易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，又，，故该圆圆点，半径，且不经过.点的轨迹方程为（3）设切线方程为，即，故到直线的距离，即，设，的斜率分别为，，则，，把代入，得，则，故当时，取得最小值为．20．（12分）如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），．（1）求证：平面；（2）设与平面所成角为，求的取值范围．【解析】（1）作，交于点，设，则，∵，∴，即，∵且，连接，所以四