2022-2023学年福建省漳州三中高二（上）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年福建省漳州三中高二（上）期中数学试卷1.直线x+3y−2=0的倾斜角α是A.π6 B.π3 C.2π32.在等差数列{an}中，若a21+A.6 B.9 C.12 D.543.设a∈R，则“直线ax+y−1=0与直线x+ay+5=0平行”是“a=−1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知圆C1：x2+y2−6x+4y+12=0与圆C2：x2+yA.14 B.34 C.14或45 D.34或145.用数学归纳法证明

1+12+13+A.1+12<2 B.1+12+6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则aA.103 B.107 C.109 D.1057.已知数列{an}满足a1+12a2+13a3+…+1naA.[14,+∞) B.(14,+∞)8.已知圆C1：(x−1)2+(y+1)2=1，圆C2：(x−4)2+(y−5)2=9.点M、NA.25+4 B.9

C.79.已知直线l：(1−2m)x−(m−1)y+7m−4=0，圆C：x2+y2A.直线l恒过定点(−3,−1) B.直线l与圆C恒相交

C.圆C被x轴截得的弦长为221 D.圆C被直线l10.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前nA.若d<0，则数列{Sn}有最大项

B.若数列{Sn}有最大项，则d<0

C.若对任意n∈N∗，均有Sn>0，则数列11.圆O1：x2+y2−2x=0和圆O2：x2A.公共弦AB所在直线方程为x−y=0

B.线段AB中垂线方程为x+y−1=0

C.公共弦AB的长为22

D.P为圆O1上一动点，则P到直线12.首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，则下列4A.若S10=0，则a5>0，a6<0

B.若S4=S12，则使Sn>0的最大的n为15

C.若S1513.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：214.已知一直线的倾斜角为α，且45∘≤α≤150∘15.设A为圆(x−1)2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=116.已知{an}是等差数列，{an+bn}是公比为c的等比数列，a1=1，b1=0，a3=5，则数列{a17.菱形ABCD中，A(−4,7)，C(6,−5)，BC边所在直线过点P(8,−1).求：(1)AD边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程.18.在①a1，a2+1，a3是公差为−3的等差数列；②满足a5=a6+2a7，且a6=14这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.已知各项均为正数的数列{an}是等比数列，并且____.

19.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a4−a1=7，S3=7.

(1)求数列{an}的通项公式；20.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)三点.

(1)求圆C的方程；

(2)若经过点(32,92)的直线l与圆C相交于M，N两点，且∠MCN=21.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1−2Sn=1，n∈N∗.

(Ⅰ)证明：{Sn+1}为等比数列，求出{an}的通项公式；22.已知圆O：x2+y2=4，点P为直线l：x=4上的动点．

(Ⅰ)若从P到圆O的切线长为23，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；

(Ⅱ)若点A(−2,0)，B(2,0)，直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由x+3y−2=0，得y=−33x+233，

设直线的倾斜角为θ，则tanθ=−2.【答案】B

【解析】解：因为在等差数列{an}中，a25+a29=a21+a333.【答案】B

【解析】解：当直线ax+y−1=0与直线x+ay+5=0平行时，

a2=1，得a=1或a=−1，

∴“直线ax+y−1=0与直线x+ay+5=0平行”是“a=−1”的必要不充分条件．

故选：B.

根据充分条件和必要条件的定义结合两直线的位置关系分析判断．4.【答案】D

【解析】解：圆C1：x2+y2−6x+4y+12=0，即(x−3)2+(y+2)2=1，圆心(3,−2)，半径为1，

圆C2：x2+y2−14x−2y+a=0，即(x−7)2+(y−1)2=50−a，圆心(7,1)，半径为50−a，

∵5.【答案】B

【解析】解：用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12n−1<n(n∈N+,n>1)6.【答案】B

【解析】解：由题意可将问题转化为an−2既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，

即an−2=21(n−1),n∈N∗，则an=21n−19，

∴a6=21×6−19=107.

故选：B.

由题意可将问题转化为a7.【答案】D

【解析】解：数列{an}满足a1+12a2+13a3+…+1nan=n2+n，①

当n≥2时，a1+12a2+13a3+…+1n−1an−1=(n−1)2+(n−1)，②

①-②得：1nan8.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程，圆与圆位置关系中的最值问题，属于较难题.

先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN|−|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|+3，|PM|的最小值为|PE|−1，故|PN|−|PM|最大值是

(|PF|+3)−(|PE|−1)=|PF|−|PE|+4，再利用对称性，求出所求式子的最大值.【解答】

解：圆C1：(x−1)2+(y+1)2=1的圆心E(1,−1)，半径为1，

圆C2：(x−4)2+(y−5)2=9的圆心F(4,5)，半径为3，

要使|PN|−|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，

|PN|最大值为|PF|+3，PM的最小值为|PE|−1，

故|PN|−|PM|最大值是(|PF|+3)−(|PE|−1)=|PF|−|PE|+4，

F(4,5)关于x9.【答案】BC

【解析】解：由题意直线l：(1−2m)x−(m−1)y+7m−4=0，可化为(−2x−y+7)m+x+y−4=0，

令−2x−y+7=0，x+y−4=0，解得x=3，y=1，即直线l过定点(3,1)，故A不正确；

圆的方程可化为(x−1)2+(y−2)2=25，点(3,1)在圆C的内部，所以直线l与圆C恒相交，故B正确；

在圆C：x2+y2−2x−4y−20=0中，令y=0，得x2−2x−2−=0=0，Δ>0，x1+x2=2，x1x2=−20，

所以|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=221，故C正确；

由于直线l过定点(3,1)，又圆心为(1,2)，由斜率公式得过定点和圆心的直线斜率k=1−23−1=−110.【答案】ABC

【解析】解：由等差数列的求和公式可得Sn=na1+n(n−1)2d=d2n2+(a1−d2)n，

选项A，若d<0，由二次函数的性质可得数列{Sn}有最大项，故正确；

选项B，若数列{Sn}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d<0，故正确；

选项C，若对任意n∈N∗，均有Sn>0，对应抛物线开口向上，11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．

两圆的方程作差即可求出公共弦所在的直线方程，即可判断选项A；由两圆圆心坐标，求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B；求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB【解答】

解：圆O1：x2+y2−2x=0，圆心O1(1,0)，半径r1=1，

圆O2：x2+y2+2x−4y=0，圆心O2(−1,2)，半径r2=5，

∵圆O1和圆O2的交点为A，B，∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x−y=0，故A正确；

∵O1O2所在直线斜率为−1，

∴线段AB的中垂线的方程为y−0=−(x−1)，即x+y−1=0，故B正确；

圆心12.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，依次分析4个式子：

对于A，若S10=0，则S10=(a1+a10)×102=0，则a1+a10=0，即a5+a6=0，

∵首项为正数，

∴a5>0，a6<0，故A正确；

对于B，若S4=S12，则S12−S4=0，即a5+a6+……+a11+a12=4(a8+a9)=0，由于a1>0，则a8>0，a13.【答案】3：4

【解析】分析：本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质，是基础题．

解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，

∴(S10−S5)：S5=−1：2，

由等比数列的性质得(S15−S10)14.【答案】{k|k≥1或k≤−【解析】解：因为直线的倾斜角45∘≤α≤150∘，

则该直线的斜率的取值范围为k≥1或k≤−33.

15.【答案】(x−1)【解析】解：圆(x−1)2+y2=1的圆心坐标为C(1,0)，半径为1.

设点P(x,y)，

故：|PC|2=|PA|216.【答案】100−90,c=1

【解析】【分析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力．

设{an}【解答】

解：设{an}是公差为d的等差数列，

由a1=1，a3=5，可得1+2d=5，解得d=2，

则an=1+2(n−1)=2n−1，

数列{an}的前10项和为10+12×10×9×2=100；

由{an+bn}是公比为c的等比数列，a1=1，b1=0，

可得a1+b1=1，

则an+b17.【答案】解：(1)kBC=−5+16−8=2，

∵AD//BC，∴kAD=2.

∴AD边所在直线的方程为：y−7=2(x+4)，化为2x−y+15=0.

(2)kAC=−5−76+4=−65.

∵对角线相互垂直，∴BD⊥AC，【解析】(1)利用相互平行的直线斜率相等、点斜式即可得出．

(2)利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出．

本题考查了相互平行的直线斜率相等、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】(1)解：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，

若选择条件①，则因为a1，a2+1，a3是公差为−3的等差数列，所以a2+1=a1−3a3=(a2+1)−3，

即a1q−a1=−4a1q2−a1q=−2，解得a1=8q=12，

因为各项均为正数的数列{an}是等比数列，

所以an=a1qn−1=8×(12)n−1=24−n；

若选择条件②，则由a5=a6+2【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，若选择条件①，根据条件可得a2+1=a1−3a3=(a2+1)−3，即可解出a1，q的值，代入公式，即可求得{an}的通项公式；若选择条件②，由a5=a6+2a7可解得q的值，再根据19.【答案】解：(1)由题知a4−a1=7，S3=7，设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1，

则有{a1q3−a1=7,①a1(1−q3)1−q=7,②，

由①÷②得q−1=1【解析】(1)根据等比数列的通项公式和前n项和公式求出公比和首项，进而求解；

(2)结合(1)的结论，应用分组求和的方法即可求解．

本题考查等比数列通项的求法，考查利用等差数列与等比数列的前n项和公式求和，属中档题．20.【答案】解：(1)设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，经过O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)三点，

所以F=0D+E+F=−24D+2E+F=−20，解得D=−8E=6F=0，

所以圆C方程为x2+y2−8x+6y=0；

(2)圆C方程化为(x−4)2+(y+3)2=25，所以圆C的圆心为(4,−3)，半径为5，

因为∠MCN=120∘，设MN中点为E，则CE⊥MN且∠ECN=60∘，从而CE=52，

即C(4,−3)到直线l的距离为52，且经过点(32,92)，

当直线l与x轴垂直时，直线l为x=32【解析】(1)设圆的一般方程，由点在圆上列方程组求参数，即可得圆的方程；

(2)由圆的方程写出圆心、半径，由题设易得圆心到直线l距离为52，讨论直线l与x轴的位置关系，应用点斜式、点线距离公式求参数，进而确定直线方程．

21.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵Sn+1−2Sn=1，∴Sn+1+1=2(Sn+1)n∈N∗

∴{Sn+1}为等比数列，

∵S1+1=2，公比为2，

∴Sn+1=2n，Sn=2n−1，∴Sn−1=2n−1−1，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1，