高数下第十一章曲线积分与曲面积分课件

第十一章曲线积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分2.存在条件：3.推广高数下第十一章曲线积分与曲面积分4.性质高数下第十一章曲线积分与曲面积分5、对弧长曲线积分的计算定理高数下第十一章曲线积分与曲面积分注意:高数下第十一章曲线积分与曲面积分例1解高数下第十一章曲线积分与曲面积分例2解例3解高数下第十一章曲线积分与曲面积分例3解由对称性,知高数下第十一章曲线积分与曲面积分练习题高数下第十一章曲线积分与曲面积分练习题答案高数下第十一章曲线积分与曲面积分二、对坐标的曲线积分的概念定义:

函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分类似地定义高数下第十一章曲线积分与曲面积分2.存在条件：3.组合形式高数下第十一章曲线积分与曲面积分4.推广高数下第十一章曲线积分与曲面积分5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.高数下第十一章曲线积分与曲面积分6、对坐标的曲线积分的计算定理高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分例1解高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分例2解高数下第十一章曲线积分与曲面积分问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.高数下第十一章曲线积分与曲面积分例3解高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.高数下第十一章曲线积分与曲面积分(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）高数下第十一章曲线积分与曲面积分思考题高数下第十一章曲线积分与曲面积分思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分练习题答案高数下第十一章曲线积分与曲面积分1、区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD三、格林公式高数下第十一章曲线积分与曲面积分2.格林公式定理1高数下第十一章曲线积分与曲面积分边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分xyoLAB

高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分解高数下第十一章曲线积分与曲面积分xyoLyxo高数下第十一章曲线积分与曲面积分xyo(注意格林公式的条件)高数下第十一章曲线积分与曲面积分

若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题高数下第十一章曲线积分与曲面积分思考题解答由两部分组成外边界：内边界：高数下第十一章曲线积分与曲面积分Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.定义：如果在区域G内有高数下第十一章曲线积分与曲面积分2.曲线积分与路径无关的条件定理2高数下第十一章曲线积分与曲面积分两条件缺一不可有关定理的说明：高数下第十一章曲线积分与曲面积分定理3高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分解高数下第十一章曲线积分与曲面积分解高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分四、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分练习题答案高数下第十一章曲线积分与曲面积分五、对面积的曲面积分1.定义高数下第十一章曲线积分与曲面积分2.对面积的曲面积分的性质高数下第十一章曲线积分与曲面积分3、计算法则高数下第十一章曲线积分与曲面积分则高数下第十一章曲线积分与曲面积分例1解高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分解依对称性知：高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分练习题高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分练习题答案高数下第十一章曲线积分与曲面积分六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧高数下第十一章曲线积分与曲面积分曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:高数下第十一章曲线积分与曲面积分2、概念及性质高数下第十一章曲线积分与曲面积分类似可定义高数下第十一章曲线积分与曲面积分存在条件:组合形式:高数下第十一章曲线积分与曲面积分性质:高数下第十一章曲线积分与曲面积分3、计算法高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.高数下第十一章曲线积分与曲面积分解高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分练习题高数下第十一章曲线积分与曲面积分练习题答案高数下第十一章曲线积分与曲面积分七、高斯公式高数下第十一章曲线积分与曲面积分Gauss公式的实质

表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知高数下第十一章曲线积分与曲面积分解高数下第十一章曲线积分与曲面积分(利用柱面坐标得)高数下第十一章曲线积分与曲面积分使用Guass公式时应注意:高数下第十一章曲线积分与曲面积分高数下第十一章曲线积分与曲面积分解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封