椭圆定义及性质整合

=====WORD完整版----可编辑----专业资料分享=====----完整版学习资料分享----椭圆定义及性质的应用一、椭圆的定义椭圆第一定义第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.★过点作的的外角平分线的垂线，垂足为，则的轨迹方程为.推导过程：延长交于，连接，由已知有为的中垂线，则，为中点，==，所以的轨迹方程为.（椭圆的方程与离心率学案第5题）椭圆第二定义第二定义：动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数，则动点的轨迹叫做椭圆.（为点到右准线的距离），右准线对应右焦点，其中称作焦半径，左、右准线公式..椭圆的焦半径公式为：.推导过程：；同理得.简记为：左加右减在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数.（离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（）A.1B.C.D.2B【解析】解法一：，∵，∴，∵，设，，∴，直线AB方程为.代入消去，∴，∴，则，解得，则，.解法二：设直线为椭圆的右准线，为离心率，过别作垂直于，为垂足，过作垂直于与，设，由第二定义得，，由，得,，，则，则，，则，.故选B.（离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，且有，求椭圆的离心率.【解析】解法一：为左焦点上的焦半径，所以过两点分别作垂直于准线的直线且和准线交于两点，从点作.因为，设，则，，又因为，则,，所以，在中，，所以，解得.解法二：如图，设，则，在中，由余弦定理得，化简得①，，化简得②，①＋②×3化简得，，代入①解得.椭圆第三定义第三定义：在椭圆中，两点关于原点对称，是椭圆上异于两点的任意一点，若存在，则.（反之亦成立）.（★焦点在Y轴上时，椭圆满足）推导过程：设，，则．所以①，②；由①－②得，所以，所以为定值．例1:已知椭圆的长轴长为4，若点是椭圆上任意一点，过原点的直线与椭圆相交与两点，记直线的斜率分别为.若，则椭圆的方程为..【解析】解法一：，，则，因为，则，，则.且，则椭圆方程为.解法二：由第三定义知，且，则则椭圆方程为.例2:已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线的斜率的取值范围是..【解析】设，的斜率分别为，则，又，所以.二、椭圆的性质焦点三角形椭圆焦点三角形的边角关系：，，周长为.设.（1）当点处于短轴的顶点处时，顶角最大；（2），当且仅当时取等号；（3）；（4），当且仅当时取等号.推导过程：（1），当时，有最小值，即最大；（2），则有，，，（当点为短轴顶点时取得最大值，此时），代入化简得.（3）由（2）得.（离心率问题）例1.已知分别是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是__________.【解析】解法一：在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点位于短轴的交点处，由题意得，所以,即,解得.解法二：设，由题意得椭圆上存在一点，使得，即，化简，得，与联立，消去得，由椭圆范围知，即，化简得，解得.变式1：已知分别是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点，使得为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是__________.【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点位于短轴的交点处，为钝角，所以，所以,即,解得.变式2：已知分别是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点，使得（变式3：），则椭圆的离心率的取值范围是__________.【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点位于短轴的交点处，由题意得，所以，则.变式3：.（离心率问题）例2.已知是椭圆的左右焦点，若在直线上存在点，使得线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】，，即解得：.（焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆为焦点，点为椭圆上一点，，求.【解析】解法一：设则有，在中由余弦定理得，则，则，则.解法二：.（焦点三角形面积问题）例4.过椭圆中心的直线与椭圆交于两点，右焦点为，则的最大面积为_________.【解析】由题意得关于原点对称，则有，故当位于短轴的顶点处时，面积最大，为.（焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，（1）在椭圆上满足的点的个数是？（2）的最大值是？（3）为钝角时，点的横坐标的取值范围是？【解析】（1）画图知，所求点的个数即为圆与椭圆的交点个数，由于，故有4个点.（2）解法一：设则有，，当且仅当时取等号.解法二：由性质得，（当点为短轴顶点时取得最大值，此时），代入化简得.（3）如图所示，与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为，此时，设则有，，解得（或），由等面积法得，则，则由勾股定理得，解得，则由对称性可知，点的横坐标的取值范围是.(焦点三角形中与距离最值有关的问题):注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值；（2）两边之差小于第三边.焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求；★若点为椭圆内一定点，点在椭圆上，则有：.（三角形三边关系）★若点为椭圆内一定点，点在椭圆上，则有：.推导过程：连接，由三角形三边关系得，则有（椭圆定义的应用，三角形三边关系）.焦点弦经过椭圆焦点的弦是焦点弦.（1）焦点弦长可用弦长公式求；*（2）设焦点弦所在的直线的倾斜角为，则有.*（3）（为某一焦点）.（4）的周长为.（离心率、焦点弦问题）（同第二定义例1）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（）A.1B.C.D.2B【解析】解答题解法：，∵，∴，∵，设，，∴，直线方程为.代入消去，∴，∴，则，解得，则，.中点弦是椭圆的任意一弦，是中点，则.证明：令，则，，，，由于，，则.例1：过点作一条直线交椭圆于点，若点恰好是弦的中点，求直线的方程.【解析】解答题步骤：解法一（点差法）：由题意得直线有斜率，设其斜率为，，，代入椭圆方程，有，两式作差得，，即，则.则直线的方程为，即.解法二（代入法）：由题意得直线有斜率，设其直线方程为，得，代入得，则，解得，则直线的方程为.这两种方法都体现了设而不求的思想，这是圆锥曲线解题的常用思想.切线及切点弦切线方程：（1）设为圆上一点，则过该点的切线方程为：；（2）设为椭圆上一点，则过该点的切线方程为：.切点弦方程：（1）设是圆外的一点，过点作曲线的两条切线,切点,则切点弦所在直线方程为；（2）设是椭圆外的一点，过点作曲线的两条切线,切点,则切点弦所在直线方程为.例1：以上的点为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为，则，则有，解得，则切线方程为.解法二：点为切点，由公式得，切线方程为，即.例2：以上的点为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为，代入，化简得，则有，解得，则切线方程为.解法二：点为切点，由公式得，切线方程为，即.★过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点.推导过程：设，则的方程为，即必过点.★过椭圆焦点弦的两端点作椭圆的切线，切线交点在准线上.光学性质★椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.★椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭圆在点处的法线平分.（入射光线、反射光线、镜面、法线）已知：如图，椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于，设，求证：.证明：在上，，则过点