集合论基础习题

第一章1.作出下面命题公式的真值表：；；；；；；2.证明下面的命题公式为重言等价的：与与与3.在形式系统中，前提为与，结论为。构造一个从前提到结论的证明。4.通过真值表的方法，证明下面的命题公式是重言等价的：与与与与5.证明下面的命题公式为重言等价的：与与6.通过真值表的方法，证明如下重言蕴涵式：7.采用重言等价演算的方法，证明如下重言蕴涵式：8.在形式系统中，证明是其一个定理。9.在形式系统中，给出的一个证明。10.证明：对于形式系统的无矛盾扩张，如果命题公式为一个矛盾式，则一定不是的定理。第二章1.判断下面的谓词公式中，哪些变量是自由的，哪些变量是受约束的。；；；；；；2.指出下面谓词公式中的指导变元和量词的辖域：；；；3.考虑如下解释：论域为整数域，谓词为，谓词为，判断下面各个谓词公式的真值是否存在，如果存在，指出其真值。(1)(2)(3)(4)4.考虑如下解释：论域为欧几里得空间中的自由向量，谓词为，谓词为共线，谓词为的长度相同，判断下面各个谓词公式的真值是否存在，如果存在，指出其真值。(1)(2)(3)(4)5.在谓词逻辑形式系统中，给出谓词公式的一个证明。6.在谓词逻辑形式系统中，给出谓词公式的一个证明。第三章1.证明：是唯一的。2.已知，证明：。3.已知，证明：，。4.已知，证明：。5.对于任意的集合，证明：。6.对于集合，证明：，。7.证明：。8.证明：。9.证明：。10.证明：。11.证明：。12.证明：。第四章1.已知集合，集合，给出和。2.已知，，，求，，，，，，，，，，。3.证明：，且，则有。4.对于集合，给出到的所有可能双射。5.证明：集合上的恒等关系为映射。6.对于到的双射，证明：，。7.已知，找出集合上所有可能的等价关系。8.设和都是集合上等价关系，证明：成立，当且仅当是集合上的等价关系。9.如果是集合上偏序关系，证明：也是集合上的偏序关系。10.已知，找出集合上所有可能的偏序关系。11.如果是集合上的全序关系，证明：也是集合上的全序关系。12.设是集合上的全序关系，是集合上的全序关系。在上定义二元关系如下：如果，或者当时，则中的两个元素满足。证明：二元关系为集合上的全序关系。第五章1.证明：当集合为传递集时，也为传递集。2.证明：。3.证明：。4.证明：的任意非空子集必有最小元。5.证明：集合为传递集，当且仅当为传递集。6.证明：对于任意的，有：。7.证明：对于任意的，如果，则有：或者，或者。8.证明：整数集中的加法单位元不等于乘法单位元。9.证明整数的加法消去律。10.证明整数的乘法消去律。11.证明：对于有理数的加法单位元，有，其中，为任意的有理数。12.证明：对于有理数，如果，则或者，或者。13.证明实数的加法消去律。14.证明实数的乘法消去律。15.证明实数的加法单位元不等于实数的乘法单位元。16.对于任意的实数，证明：如果，则；如果，则。第六章1.通过构造到的双射，证明。2.通过构造到的双射，证明。3.证明：。4.通过构造到的单射，证明。5.证明：如果，则对于任意的集合，有。6.证明：(1)，(2)。7.已知，且，证明：。8.证明：如果集合均为有限集，则也为有限集。9.证明：如果集合均为有限集，则也为有限集。10.已知集合，证明：的所有有限子集作为元素构成的集为可列的。11.已知集合为上所有连续函数构成的集合，证明：。12.已知集合为上所有实函数构成的集合，考虑是否有。第七章1.证明：对于任意的，有：或者，或者。2.构造整数集上的一个良序关系。3.构造有理数集上的一个良序关系。4.对于良序集，证明：不存在中的序列，满足。5.设和为两个良序集，对于集合，证明：二元关系为上的良序关系。6.设和为两个良序集，在集合上定义二元关系如下：对于任意的，当时，；当时，如果，则，证明：二元关系为上的良序关系。第八章1.对于序数，证明：当且仅当。2.证明：对于序数，或者，或者。3.证明：对于序数，如果，且，则有。4.证明：任意的序数都可以表示为。5.证明：对于任意的序数，都有。6.证明：对于序数，有当且仅当。7.证明：和都是极限序数。8.证明：如果序数是极限序数，则一定有。9.证明：对于序数，如果，则有。10.对于序数，已知，那么，对于任意的序数，判断是否一定有。第九章1.证明：对于任意的自然数，当且仅当。2.对于序数，已知，证明：。3.证明：对于任意的自然数，。4.对于任意的基数，证明：。5.对于任意的基数，证明：。6.已知集合为上所有实函数构成的集合，证明。7.