专题7.2平面向量数量积及应用(学生版)

专题7.2平面向量数量积及应用1.平面向量数量积的有关概念=1\*GB2⑴向量的夹角定义范围共线与垂直图示已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ0≤θ≤π0,πa//b⇔θ=0a向量夹角：共起点=2\*GB2⑵平面向量的数量积定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ，我们把数量abcosθ叫做a与b的数量积,记作a⋅b特殊情况0运算律a⋅b=b⋅a（交换律）数量积的有关结论aa+b【重要结论】=1\*GB2⑴平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且a⋅b≤a=2\*GB2⑵数量积不满足结合律，即a∙bc=b∙ca不一定成立，这是因为a∙bc是一个与c共线的向量，而b∙ca=3\*GB2⑶非零向量夹角为锐角（或钝角），即当且仅当a∙b>0且a≠λbλ>0（或a=3\*GB2⑶投影向量如图，设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,考虑如下变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1、B1,得到A1B1,称上述变换为向量a若向量a,b的夹角为θ,则向量a在向量b性质及坐标表示已知非零向量a=x1,y几何表示坐标表示数量积aa夹角coscos模aa垂直aa共线aa不等关系a,ax1.【人教A版必修二习题6.2第21题P24】已知∆ABC中，3AO=AB+AC，(AB+AC)⋅A.23AO B.32AO C.

2.【人教A版必修二习题6.2第24题P24】如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=7，则AO⋅BC=

考点一考点一平面向量数量积的运算【方法储备】1.平面向量数量积的运算方法=1\*GB2⑴定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a⋅b=abcosθ=2\*GB2⑵基向量法：选取基底向量e1,e2，已知基底向量的模长和夹角；则a=λ1e1=3\*GB2⑶坐标法：建立适当的坐标系，求出a与b的坐标，即a=x1,y12.已知数量积求参数已知向量的数量积，用上述方法展开，得出关于参数的方程，进而求出参数.3.用向量解决平面几何问题的思路=1\*GB2⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；=2\*GB2⑵通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；=3\*GB2⑶把运算结果“翻译”成几何关系．【典例精讲】例1.(2023·湖南省长沙市期末)设平面向量a=(1,3)，|b|=2，且|a-A.1 B.14 C.14 D.例2.(2023·浙江省金华市期中)平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，AB⋅AD=42，点P在边CD上，则PA⋅A.[-1,8] B.[-1,4+2] C.[-2,4+4例3.(2023·浙江省温州市月考)如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=60°，E，F分别为BC，CD上的点，CE=2EB，CF=2FD，若线段EF上存在一点M，使得AM=12AB+xAD(x∈R)例4.(2023·江苏省南通市模拟)在△ABC中，已知A=60∘，BC=2，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为(

)A.1 B.2 C.3【拓展提升】练11(2022·江苏省无锡市月考)在平面直角坐标系xOy中，已知P( 3 , 4 )，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y

轴上，则PA⋅PB的取值范围是(

)A.2 , 6 B.3 , 5 C.4 , 6练12(2023·四川省成都市月考)如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧BC，点P在圆弧上运动，则AB⋅AP的取值范围为(

)

A.[2,33] B.[4,3练13(2023·安徽省名校联考)已知椭圆：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O为坐标原点，A、B、C是椭圆上三个点，满足OAA.23 B.53 C.考点二考点二平面向量的夹角、模长、垂直、共线问题【方法储备】1.平面向量模问题=1\*GB2⑴求向量模：=1\*GB3①若向量a是以坐标形式出现的，即a=x,y，则a=x=2\*GB3②若a=λe1+μe2，则=2\*GB2⑵求向量模的最值(范围)的方法=1\*GB3①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．=2\*GB3②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．2.平面向量夹角问题=1\*GB2⑴求平面向量的夹角=1\*GB3①定义法：当a，b是非坐标形式时，需求出a⋅b及a,b=2\*GB3②公式法：已知非零向量a=x1,y1=2\*GB2⑵已知向量夹角为锐角或钝角，求参数=1\*GB3①向量a，b的夹角为锐角⟺a∙b>0=2\*GB3②向量a，b的夹角为钝角⟺a∙b<0注意：=1\*GB2⑴两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．=2\*GB2⑵在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．3.向量的垂直、共线问题(1)已知非零向量a与b已知a=x1,y1,b(2)利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参或最值问题最常用的解题技巧.【典例精讲】

例5.(2022·重庆市市辖区月考)（多选）若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a|=|bA.23 B.2 C.6例6.(2022·湖北省孝感市月考)△ABC中，|AB+AC|=2|AB-AC|，则A.35 B.325例7.(2023·河北省衡水市模拟)已知非零向量a，b满足a+b⊥a-b，实数λ满足2λa-b⊥a【拓展提升】练21(2023·广东省联考)已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa+b|≥32恒成立，则向量a，A.[π4,3π4]练22(2022·河北省名校联考)在△ABC中，边AC=1，AB=2角A=2π3，过A作AP⊥BC于P，且AP=λAB+μAC，则λμ=

练23(2023·江苏省镇江市月考)（多选）在△ABC中，BD=λBC，AE=μAC，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，B=π3，AB=4A.当λ=13时，AD=23AB+13AC B.当λ=45考点三考点三平面向量中的最值、范围问题【方法储备】求最值、范围问题的思路：=1\*GB2⑴结合平面向量的几何意义，将问题转化为平面几何中的最值、范围问题，利用平面图形的特征直接进行求解；=2\*GB2⑵利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.【典例精讲】例8.(2023·浙江省名校联考)已知点P是边长为1的正十二边形A1A2⋯A12A.-3-12 B.-例9.(2022·山东省日照市月考)已知|a|=|b|=2，且a，b的夹角为60°，若向量|c-A.[-4,4] B.[-23,2【拓展提升】练31(2023·河北省张家口市模拟)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的外接圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM⋅PN的取值范围是(

)A.[-1,0] B.[0,2] C.练32(2023·安徽省合肥市期末)（多选）已知向量a=(sinα,cosα)，b=(1,2)，则下列命题正确的是(

)A.若a∥b，则tanα=12

B.若a⊥b，则tanα=12

C.1.(2023·广东省广州市联考)过点A(2,5)的直线l与函数f(x)=5x-11x-2的图象交于M，N两点，若O为坐标原点，B(5,1)，则cos<OM+A.-1458145 B.-2.(2023·广东省中山市期末)设A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且|OA|=2.若存在m，n∈R，使得mAB+OA与nAB+OB垂直，且|(mAB3.(2023·安徽省合肥市月考)已知|a|=|b|=|c|=1，a⋅b=12，<a，c>+<bA.0 B.32 C.1【答案解析】1.【人教A版必修二习题6.2第21题P24】解：如图所示，3AO=AB+AC，设E为BC的中点，

所以O为△ABC的重心，AO=2OE，

因为(AB+AC)⋅BC=0，所以BC⊥AD，

2.【人教A版必修二习题6.2第24题P24】解：AO·BC=AO·(AC-AB)

=AO·AC-AO·AB，

因为OA=OB，所以AO例1.解：由题意得a=10，|则a·b=2

，例2.解：由题意得，∵AB=4，AD=2，AB⋅AD=42，

∴|AB|⋅|AD|cosA=42，

∴cosA=∴A(0,0)，B(4,0)，D(2,2)∴PA=(-x,-∴PA⋅PB=-x4-x+2=x∴PA⋅例3.解：根据题意，设EM=λEF，

则AM=AB+BE+EM=AB+13AD+λEF=AB+13AD+例4.解：△ABC中，A=60∘，BC=2，

则由余弦定理可得a2=4=b2+c2-2bccos60°，

即b2+c2=4+bc≥2bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，

由D为BC的中点，可得AD=练11.解：设Aa,0,B0,b，

因为P(3,4)，

所以PA=a-3,-4,PB=-3,b-4，

所以PA⋅PB=-3a-3-4b-4=25-3a+4b，

因为线段AB的长度为2，

所以a2+b2=4，

设a=2练12.解：如图

由题可知，当点P在点C处时，AB⋅AP最小，

此时AB⋅AP=AB∙AE=|AB|·|AC|·cosπ3=2×2×12=2，

过圆心O作OP∥AB交圆弧于点P，连接AP，此时AB⋅AP最大，

过O练13.解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∵OA+OB+OC=0，

∴C(-(x1+x2),-(y1+y2))，

又∵A、B、C在椭圆上，

∴x12a2+y12b2=32|OA|⋅|OB|⋅∴e2=1-(ba)

例5.解：∵平面上三个向量a，b，c，两两夹角相等，且|a|=|b|=|c|=2，

当两两夹角为120°时，

|a+b+c|2=(a例6.解：两边同时平方得|AB+AC|2=4|AB-AC|2，展开整理得

10AB⋅AC=3|AB|2+3|AC|2，

即10|AB例7.解：a+b⊥λa-b=63b⇔λ2a2-2λa⋅b+b2=23b2=3\*GB3③，

由=2\*GB3②=3\*GB3③练21.解：设向量a，b的夹角为θ，θ∈[0,π]，

因为|xa+b|≥32，

所以(xa+b)2≥34，

则x2a2练22.解：画出图形，如图所示；

∵AP⊥BC，∴AP⋅BC=0，又AP=λAB+μAC，BC=AC-AB，

∴(λAB+μAC)⋅(AC-AB)=-λAB2+(λ-μ)AB⋅AC+μAC2

=-4λ+(λ-μ)⋅2×1×cos2π3+μ=0，

化简得λ=故答案为：1049练23.解：对于A选项，当λ=13时，AD=AB+BD=AB+13BC

=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC，故A正确；

当λ=45时，|BD|=45|BC|=4=|AB|，B=π3，

∴△ABD是边长为4的等边三角形，

∴AB⋅BD=|AB|⋅|BD|cos120°=-8，故B错误；

当μ=12时，BE=例8.解：由数量积的几何意义，A1P⋅A1A2=|A1A2|乘以A1故A1P⋅例9.解：解法1：取OA=a,OB=b,OC=c，则点C在以A为圆心，半径为1的圆面上(包括边界)，设向量b,c的夹角为θ，由图

可知，θ取值范围为[π6,π2]；

b⋅c=|b||c|cosθ=2|c|cosθ，由于|c|cosθ为向量c在向量b上的投影，且0≤|c|cosθ≤2．

故b⋅c的取值范围是[0,4]．

解法2练31.解：作图如下，因为当弦MN最大时，弦MN过正方形ABCD的外接圆圆心O，

因为正方形ABCD的边长为2，所以圆O半径为2，

则PM=PO+OM，PN=PO+ON=PO-OM，

所以PM·PN=(PO+练32.解：∵a=(sinα,cosα),b=(1,2)，

∴若a∥b，则2sinα-cosα=0，∴tanα=12，即命题A正确；

若a⊥b，则a⋅b=sinα+2cosα=0，∴tanα=-2，即命题B错误；

若f(α)=a⋅b=sinα+2cosα=5sin(α+β)，(其中tanβ=2)取得最大值，

则取α+β=π2，∴α=π2-β1.解：依题意，f(x)=5x-10-1x-2=5-1x-2故(OM而|OM+ON故cos<OM+2.解：由题意，AB=OB-OA，

令a=