培优专题10等腰三角形的性质与判定-原卷版

培优专题10等腰三角形的性质与判定◎类型一：巧用三线合一解决问题性质：①两腰相等②两底角相等（简称等边对等角）③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。证明题目中的写法：①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD1．（2022·辽宁·本溪市第十二八年级阶段练习）等腰三角形ABC中，，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，则AD等于（）A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm2．（2022·陕西·西安凤凰城初级七年级阶段练习）如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．93．（2021·辽宁·辽河油田实验八年级阶段练习）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______4．（2022·江苏·沛县汉城文昌八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为：__________5．（2022·浙江省金华市永康八年级阶段练习）已知：如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，，．求证：．◎类型二：等腰三角形的构造“角平分线+平行线”构造等腰三角形①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形“角平分线+垂线”构造等腰三角形如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分线+中线”构造等腰三角形如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示(5)“平行+等腰”构造等腰三角形已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线6．（2019·河北保定师范附属八年级期中）如图，在中，，，是边上的两点，且有，则图中等腰三角形的个数是（

）A．2 B．6 C．5 D．77．（2019·湖北荆门·八年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（2019·黑龙江·哈尔滨市第一一八年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，-4)，在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有_____个9．（2022·安徽宿州·八年级期中）如图，，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝________时，△POQ是等腰三角形．10．（2021·辽宁·盘锦市第一完全八年级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．(1)如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．(2)如图2，当点E为AB上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．(3)在等边三角形ABC中，若点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，请直接写出CD的长．◎类型三：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）总结：11．（2022·湖南娄底·八年级期中）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DEAB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（

）A．10 B．7 C．5 D．412．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则△AMN的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．1613．（2021·湖南株洲·八年级期中）如图所示，在中，，分别是和的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则的周长是_________．14．（2022·广东·珠海市第九三模）如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30°，沿NA的方向后退50米到达点B，测得大树顶端M的仰角是15°，A，B，N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大树高约为_____米．15．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在中，AD平分，过点B作AD的垂线，垂足为点D，，交AB于点E，．(1)求证：是等腰三角形；(2)求证：．◎类型四：等腰三角形中巧用全等三角形解决问题16．（2019·山东·肥城市湖屯镇初级八年级阶段练习）如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中正确的有（）①∠DAE=∠CBE

②CE=DE

③△DEA≌△CBE

④△EAB是等腰三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．（2022·陕西榆林·七年级期末）习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题∶“如图，在中，分别是上的点，与相交于点，添加下列哪个条件能判定是等腰三角形？"请你判断正确的条件应为（

）A． B． C． D．18．（2022·广东·佛山市惠景七年级期中）如图，一张四边形纸片，，，，，且，连接，点在边上，把沿直线对折，使点落在线段上的点处，连接．若点，，在同一条直线上给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______19．（2022·北京·九年级专题练习）如图，在中，点D、E分别、上的点，与交于点O．给出下列三个条件：①；②；③．利用其中两个条件可以证明是等腰三角形，这两个条件可以是____________．2