高等数学(数二)

高等数学一对一讲义年数学二考试大纲考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构：高等教学约78％线性代数约22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西(Cauchy）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容：原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求：1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、多元函数微积分学考试内容：多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求：1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．高等数学大体框架1．一元函数微积分学（1）一元函数的概念、极限和连续（基础）；（2）一元函数微分学：导数和微分、导数的应用；（3）一元函数积分学：不定积分、定积分、定积分的应用。2．多元函数微积分学（1）多元函数的概念、极限和连续；（2）多元函数微分学：偏导数、全微分、应用、极值；（3）多元函数积分学：二重积分及其应用．3．常微分方程一阶（可分离变量、齐次方程、一阶线性）；高阶（二阶常系数线性）．第一章函数、极限、连续第一节函数1．基本概念邻域与去心邻域：设SKIPIF1<0是任一正数，称开区间SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邻域，记作SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邻域去掉中心SKIPIF1<0后，成为SKIPIF1<0的去心SKIPIF1<0领域，记作SKIPIF1<0．函数：设数集SKIPIF1<0，若每个SKIPIF1<0，按对应法则SKIPIF1<0，总有唯一确定的值SKIPIF1<0与之对应，这个值称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的函数值，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．三种特殊的函数：（1）符号函数SKIPIF1<0，特别地SKIPIF1<0．（2）狄利克雷（Dirichlet）函数SKIPIF1<0．（3）取整函数SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．2．函数的几种特性（1）有界性设SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有上界；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有下界；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有界；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0无界．（2）单调性设SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调增加；若有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调减少．（3）奇偶性设函数SKIPIF1<0的定义域SKIPIF1<0关于原点对称．SKIPIF1<0，若有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为偶函数；若有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为奇函数．奇偶函数的基本运算性质：奇函数的代数和是奇函数，偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的乘积是奇函数；偶数个奇（或偶）函数之积是偶函数，奇数个奇函数之积是奇函数．（4）周期性设SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为周期函数，SKIPIF1<0为周期．3．常见函数（1）反函数设SKIPIF1<0为单调函数，由SKIPIF1<0解出SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的反函数，记作SKIPIF1<0．（2）复合函数设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有定义，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为复合函数．（3）基本初等函数（5类）幂函数：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常数）；指数函数：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）；对数函数：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）；三角函数：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；反三角函数：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（4）初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而构成的式子称为初等函数．（5）幂指函数SKIPIF1<0，在后期求导和求极限的过程中，一般将函数转化为：SKIPIF1<0．第二节极限考研数学中求极限的题目不少于10分，至少有一道大题．1．极限的定义（1）数列极限SKIPIF1<0定义：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．例1（2014年数三）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0充分大时有（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0（2）函数极限①自变量趋于有限值SKIPIF1<0定义：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．左极限SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．右极限SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．②自变量趋于无穷大SKIPIF1<0定义：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．2．极限的性质（1）数列极限的基本性质①（唯一性）极限若存在必唯一．②（有界性）若SKIPIF1<0存在，则SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，反之不对．若数列SKIPIF1<0无界，则SKIPIF1<0一定发散．③（保号性）SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．SKIPIF1<0：若数列SKIPIF1<0从某项起有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．④（收敛列与子列极限的关系）若SKIPIF1<0，则它的任一子列极限存在且为SKIPIF1<0．使用较多的是：若数列SKIPIF1<0有两个子列收敛于不同的极限，则数列SKIPIF1<0是发散的．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．例2设SKIPIF1<0，研究SKIPIF1<0是否存在．（2）函数极限的基本性质①（唯一性）极限若存在必唯一．②（局部有界性）若SKIPIF1<0存在，则SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．③（局部保号性）SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．SKIPIF1<0：若在SKIPIF1<0的某去心领域内SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0，则则SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0．④（函数极限与数列极限的关系）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．（会使用，不要求记忆定理）（3）极限运算法则（四则运算法则）如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（数列的极限四则运算法则类似）（复合函数的极限运算法则）设函数SKIPIF1<0是由函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0复合而成，SKIPIF1<0定义在SKIPIF1<0内，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（4）极限存在准则①（夹逼准则）SKIPIF1<0：设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0：设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.例3求SKIPIF1<0.例4求SKIPIF1<0.②（单调有界定理）单调有界数列必有极限.单调递增有上界，数列极限存在；单调递减有下界，数列极限存在.例5数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…的极限存在.3．两个重要极限和一些重要结论（1）两个重要极限:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0型）.例6求SKIPIF1<0.例7求SKIPIF1<0.（2）重要结论①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.例8求SKIPIF1<0.⑤渐近线的求法垂直渐近线：若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的垂直渐近线.斜近线：若SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0的斜渐近线SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例9求曲线SKIPIF1<0的渐近线.3．无穷小与无穷大（1）基本定义若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为无穷小；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为无穷大.二者的联系：在自变量的同一变化过程中，若SKIPIF1<0为无穷大，则SKIPIF1<0为无穷小；若SKIPIF1<0为无穷小，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为无穷大.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是比SKIPIF1<0高阶无穷小（低阶无穷小）；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是同阶无穷小（SKIPIF1<0，则为等价无穷小）；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0是的SKIPIF1<0阶无穷小.（2）无穷小的性质①无穷小的基本性质有限个无穷小的和、差、积还是无穷小；有界函数与无穷小之积是无穷小；常数与无穷小之积是无穷小.②等价无穷小的性质（自反性）SKIPIF1<0.（对称性）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.（传递性）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.（替换性）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0存在，则SKIPIF1<0.（重要性质）SKIPIF1<0.③常用等价无穷小当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例10求SKIPIF1<0.第三节连续1．基本概念（1）函数的连续性函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处连续SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0左连续；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0右连续.例11设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0处连续，求SKIPIF1<0.（2）基本性质①四则运算性质：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0连续，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）都在SKIPIF1<0连续.②反函数连续：若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数SKIPIF1<0在对应的区间SKIPIF1<0上单调增加（或单调减少）且连续.③复合函数连续：若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0连续，且SKIPIF1<0，而函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处连续，则复合函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处连续.④初等函数连续性：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.（3）函数的间断点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0间断点的三种情形：SKIPIF1<0：在SKIPIF1<0没有定义；SKIPIF1<0；虽在SKIPIF1<0有定义，但SKIPIF1<0不存在；SKIPIF1<0：虽在SKIPIF1<0有定义，且SKIPIF1<0存在，但SKIPIF1<0.①第一类间断点：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都存在可去间断点：SKIPIF1<0；跳跃间断点：SKIPIF1<0.②第二类间断点：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0至少有一个不存在例12讨论SKIPIF1<0的间断点，并判断类型.2．闭区间上连续函数的性质一般用于证明题.（有界性与最大最小值定理）闭区间上连续函数有界且一定能取得最大值和最小值.（零点定理）设函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.例12设函数SKIPIF1<0