数字信号处理课程设计-等波纹数字FIR低通滤波器

带入公式ξ1=（）/()，ξ2=中:得ξ1=0.0575，ξ2=0.03548由凯泽逼近n的公式:n=,Δ=求得ωs-ωp=Δ=0.01,；3．在Matlab中利用REMEZ函数计算程序如下：>>Fs=8000;>>f=[976.8,1056.8];>>m=[1,0];>>rp=1;rs=9;>>dat1=(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1);>>dat2=10^(-rs/20);>>[M,fo,mo,w]=remezord(f,m,rip,Fs);???Undefinedfunctionorvariable'rip'.>>rip=[dat1,dat2];>>[M,fo,mo,w]=remezord(f,m,rip,Fs);>>M=M+1;>>hn=remez(M,fo,mo,w);>>figure(1)>>>>freqz(hn);>>基于Matlab的幅频响应曲线等波纹最佳逼近法设计的数字低通滤波器的幅频响应曲线4.2使用FDA工具箱设计FIR低通滤波器4.2.1简要介绍FDA工具箱：FDATool(FilterDesign&AnalysisTool)是MATLAB信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具，MATLAB6.0以上的版本还专门增加了滤波器设计工具箱(FilterDesignToolbox)。FDATool可以设计几乎所有的常规滤波器，包括FIR和IIR的各种设计方法。它操作简单，方便灵活。FDATool界面总共分两大部分，一部分是DesignFilter，在界面的下半部，用来设置滤波器的设计参数；另一部分则是特性区，在界面的上半部分，用来显示滤波器的各种特性。DesignFilter部分主要分为:FilterType(滤波器类型)选项，包括Lowpass(低通)、Highpass(高通)、Bandpass(带通)、Bandstop(带阻)和特殊的FIR滤波器。DesignMethod(设计方法)选项，包括IIR滤波器的Butterworth(巴特沃思)法、ChebyshevTypeⅠ(切比雪夫Ⅰ型)法、ChebyshevTypeⅡ(切比雪夫Ⅱ型)法、Elliptic(椭圆滤波器)法和FIR滤波器的Equiripple法、Least2Squares(最小乘方)法、Window(窗函数)法。FilterOrder(滤波器阶数)选项,定义滤波器的阶数，包括SpecifyOrder(指定阶数)和MinimumOrder(最小阶数)。在SpecifyOrder中填入所要设计的滤波器的阶数(N阶滤波器，SpecifyOrder=N-1)，如果选择MinimumOrder，则MATLAB根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。FrenquencySpecifications选项，可以详细定义频带的各参数，包括采样频率fs和频带的截止频率。它的具体选项由FilterType选项和DesignMethod选项决定，例如Bandpass(带通)滤波器需要定义Fstop1(下阻带截止频率)、Fpass1(通带下限截止频率)、Fpass2(通带上限截止频率)、Fstop2(上阻带截止频率)，而Lowpass(低通)滤波器只需要定义Fstop1、Fpass1。采用窗函数设计滤波器时，由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定的，所以只需要定义通带截止频率，而不必定义阻带参数。MagnitudeSpecifications选项，可以定义幅值衰减的情况。例如设计带通滤波器时,可以定义Wstop1(频率Fstop1处的幅值衰减)、Wpass(通带范围内的幅值衰减)、Wstop2(频率Fstop2处的幅值衰减)。当采用窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为6db，所以不必定义。WindowSpecifications选项，当选取采用窗函数设计时，该选项可定义，它包含了各种窗函数。4.2.2用FDA工具箱实现要求的滤波功能：调用FDA工具箱程序为：>>FDAtool调用后，据前述FDA工具箱简介设置，设置完后的界面截图如下：滤波器量化分析图调用REMEZ函数进行运算的结果如图1和图2图1Remez函数运算结果图2hn计算值(传递函数中分子各项前系数)由图1和图2可得：M为FIR数字滤波器阶数，hn长度N=M+1求得M=57，N=M+1=58通带振荡波纹幅度ξ1=dat1=0.0575阻带振荡波纹幅度ξ2=dat2=0.0354误差加权函数W=[1,6.1705]传递函数中分子各项前系数hn见附录4．手工计算和利用REMEZ函数计算结果比较通过比较手工计算与运用Matlab中REMEZ函数计算结果可以发现，由手工计算得出的滤波器阶数N、通带振荡波纹幅度ξ1、阻带振荡波纹幅度ξ2与由REMEZ函数计算得出的N、ξ1与ξ2相等，证明计算无误。二滤波器的结构不同对性能指标的影响FIR滤波器的基本结构FIR滤波器的单位抽样响应为有限长度，一般采用非递归形式实现。通常的FIR数字滤波器有横截性和级联型两种。(a)FIR滤波器的横截型结构表示系统输入输出关系的差分方程可写作：

(2-3)直接由差分方程得出的实现结构如图1所示：图1、横截型(直接型﹑卷积型)若h(n)呈现对称特性，即此FIR滤波器具有线性相位，则可以简化加横截型结构，下面分情况讨论：图2、N为奇数时线形相位FIR滤波器实现结构图3、N为偶数时线性相位FIR滤波器实现结构(b)FIR滤波器的级联型结构将H(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式： (2-4)

这时FIR滤波器可用二阶节的级联结构来实现，每个二阶节用横截型结构实现。如下图所示在设计滤波器时，对于同一个传递函数对应着许多种等效结构，然而这些结构能达到的性能效果却有所不同。在无限参数字长的情况下，所有能实现传递函数的结构之间，其表现完全相同。然而，在实际中，由于参数字长有限的限制，各实现结构的表现并不相同。在MATLAB中可以利用FDATool工具箱构建不同类型的数字滤波器。为了使对比效果明显，将上述初步设计的等波纹数字FIR带通滤波器的设计参数的字长（即转移函数中分子各项前的系数）进行保留小数点后10位的缩减。1.利用直接型结构构建数字滤波器FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h（n）长度为N，由之前算出的h（n）可得出（系数小数点后保留10位）系统函数为：H（z）=-n=0.012938435023626-0.114399055404857z-1+0.059367227786797z-2+…-0.114399055404857z-52+0.012938435023626z-53表示系统输入输出关系的差分方程可写作:y(n)=直接型的结构流图如图3所示：y(n)y(n)x(n)z-1z-1…………z-10.0129384350236260.0129384350236260.0129384350236260.0129384350236260.0129384350236260.0129384350236260.0415812488491030.059367227786797-0.114399055404857图3直接型网络构图选择filterstructure选项框中的Direct-FormI选项，点击窗口下方的ImportFilter按钮，构建直接2型结构的等波纹数字FIR带通滤波器，结果如图4所示：图4Direct-FormI型结构的滤波器幅频响应图读图可以得滤波器技术指标（ωsl，ωpl，ωpu，ωsu，单位为Hz；,,单位为dB）如表1所示：性能指标初始设计指标仿真后设计参数△ωsl0.12210.24462890.1223289ωpl0.13210.27246090.1403609910.377391.3773910.525000.47500表1Direct-FormI结构滤波器对性能指标的影响可以得Direct-FormI结构的滤波器技术指标（ωsl，ωpl，单位为；,,单位为dB）如表2所示：性能指标初始设计指标Direct-FormI△ωsl0.12210.12139-0.00071ωpl0.13210.136230.00413910.056231.0562310.2418727-0.75812表2Direct-FormI结构滤波器对性能指标的影响由图4和表1表2可以看出：=1\*GB2⑴滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动幅度不太均匀。=2\*GB2⑵阻带最小衰减比初始设计高1.05623dB，通带最大衰减比初始设计低0.75812dB。=3\*GB2⑶ωpl比初始设计高0.00413而ωsl却比初始设计值低0.00071，截止频率坡度较初始设计更加平缓。由于Direct-FormII和Direct-FormI均属于直接型结构滤波器，因此均具有直接型所共有的上述误差。2．利用级联型结构构建数字滤波器将H（z）进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。+9.3764将直接型结构系统函数转变为级联型结构的系统函数，运用Matlab中的tf2sos进行运算（程序及运算结果见附录），可得级联结构的系统函数为：H（z）=0.0129(1-9.3748z-1+9.3764)(1-0.9998z-1+0.1067z-2)……（1-1.5953z-1+0.7779z-2）（1-1.7151z-1+0.7728z-2）x(n)x(n)β21-9.37480.01290.1067-0.999810.7728-1.715119.3764、、、、、、、、……y(n)图5级联型网络构图选择Edit下拉菜单中点击ConverttoSecond-orderSections选项，将构建好的Direct-FormI结构的等波纹数字FIR带通滤波器转换为级联滤波器，结果如图6所示:图6级联型结构的滤波器幅频响应图读图可以得级联型结构的滤波器技术指标（ωsl，ωpl，单位为；,,单位为dB）如表2所示：性能指标初始设计指标级联型△ωsl0.12210.23071290.1086129ωpl0.13210.27246090.1423609910.066051.0660510.4283456-0.5716544表2级联结构滤波器对性能指标的影响由图6和表2中可以看出：=1\*GB2⑴滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动比直接型结构滤波器幅频曲线更均匀。=2\*GB2⑵阻带最小衰减比初始设计值低1.06605dB，通带最大衰减比初始设计0.5716544dB。=3\*GB2⑶ωsl、ωpl分别比初始设计低了0.1086129、0.1423609和，滤波器的截止频率坡度较初始设计更加平缓。3、两种滤波器结构对性能指标影响的比较与总结比较表1和表2发现：在参数字长保留了小数点后10位的情况下，两种结构的滤波器较初始设计在性能指标方面均有误差。由于直接型滤波器的系数不是直接决定单个零极点，不能很好的进行滤波器性能的控制，且直接型滤波器的极点对参数的变化过于敏感，从而使得系统的频率响应对参数的变化也特别敏感，容易出现不稳定或产生较大误差；而级联型滤波器每个二阶系数单独控制一对零、极点，有利于控制频率响应。因此直接型误差比级联型更大，受有限参数字长影响更大，主要表现在直接型的ωsl、ωpl、和与设计要求的相应性能间的差的绝对值普遍大于级联型。此外，级联型的的幅频响应曲线的通带的波动稳定性要稍好于直接型。所以，参数字长有限的情况下，级联结构型滤波器对参数变化的反应要比直接结构型的更小，性能指标误差更小，滤波效果更好，更能符合设计指标的要求。三参数字长对性能指标的影响在实际的数字滤波器的设计中，由于计算机或DSP芯片等的字长和存储空间有限，所以也只能对设计参数取有限的字长进行设计。然而，如果字长太短，则设计的滤波器误差就会太大，造成滤波效果不佳。下面研究不同参数字长对性能指标的影响。将计算获得的等波纹带通FIR数字滤波器的系数输入FDAtool中的filtercoefficients工具中，并点击ImportFilter按钮，生成数字滤波器。运用Setquantizationparameters按钮，在filterarithmetic下拉菜单下选择FixedPoint选项，进入如图7所示的界面。图7Setquantizationparameters工作界面通过改变coefficientwordlength的值便可以改变参与构建滤波器的参数字长。图中虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，图中实线为改变参数字长后的滤波器幅频响应曲线。1．参数字长取2位对性能指标的影响将coefficientwordlength的值改为2，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图8所示：图8参数字长取2位时的滤波器幅频响应曲线图从图中可以看出：字长为2位时，滤波器的各项性能指标离设计指标偏差很大，滤波器失真明显，几乎达不到滤波效果，远远不能满足设计指标的要求。2.参数字长取8位对性能指标的影响将coefficientwordlength的值改为8，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图10和表4所示：图10参数字长取6位时的滤波器幅频响应曲线图表4参数保留小数点后6位时的性能指标一览表性能指标初始设计指标实际指标△ωsl976.8978.54561.7456ωpl1056.81203.516146.716942.4332133.433211-1.618435-0.618435由图10和表4可以看出，当参数字长取为8位时，幅频曲线失真进一步减小，但仍可以看出。性能指标与设计要求的差值继续减小，也已不明显；通带最大衰减频率和阻带最小衰减频率与设计指间标误差还是有一定的差距，距离设计要求仍可以进一步接近。3.参数字长取12位对性能指标的影响将coefficientwordlength的值改为12，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图12所示：图12参数字长取12位时的滤波器幅频响应曲线图表6参数保留小数点后12位时的性能指标一览表性能指标）初始设计指标实际指标△ωsl976.8971.7773-5.0227ωpl1056.81191.797134.997941.6555132.6555111.2014370.201437由图11和表5可以看出，当参数字长取为12位时，幅频曲线失真进一步减小，但程度已经很小，失真几乎可以忽略。截止频率已与设计要求相差无几，通带最大衰减仍然和设计要求有不小的差距，还不可以忽略。4.参数字长取14位对性能指标的影响将coefficientwordlength的值改为14，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图12所示：图12参数字长取14位时的滤波器幅频响应曲线图表6参数保留小数点后14位时的性能指标一览表性能指标）初始设计指标实际指标△ωsl976.8933.1055-43.6945ωpl1056.81089.84433.044910.234631.2346310.4239894-0.5760106由图12和表6可以看出，当参数字长取为14位及以上时，幅频曲线失真几乎为零，设计的曲线与要求的曲线几乎完全重合，截止频率与实际要求几乎完全相同，通带最大衰减频率和阻带最小衰减频率与设计指间相差也很小，设计的滤波器的各项性能指标达到了设计要求。6．结论总结发现：参数字长越长，设计出的滤波器就越符合设计指标要求，误差越小，稳定性越好，滤波性能越好。当参数字长达到14及位及以上时，设计的滤波器便可达到设计性能指标。参考文献[1]高息全丁美玉.《数字信号处理》[M].西安：西安电子科技大学出版社，2008.8[2]陈怀琛.《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现》[M].北京：电子工业出版社，2004.12[3]张德丰.《详解MATLAB数字信号处理》[M].北京：电子工业出版社，2010.6[4]飞思科技产品研发中心.《MATLAB7辅助信号处理技术与应用》[M].北京：电子工业出版社，2005.3附录1.传递函数中分子各项前系数hn值传递函数中分子各项前系数hn=[0.012938435023626-0.1143990554048570.0593672277867970.0415812488491030.008841603754351-0.014057380912040-0.022815373404645-0.018157775744515-0.0045330357270710.0108186539181350.0199353489444220.0177358521328140.004801891411290-0.012129807978883-0.023278059803632-0.021130709466477-0.0052108137427730.0167541788044970.0318552566433860.0288338154661570.005447338957195-0.028173949617822-0.052901218396566-0.048933328203234-0.0056405026611970.0710009216869230.1590839329019640.2291147971505610.2556582863896810.2291147971505610.1590839329019640.071000921686923-0.005640502661197-0.048933328203234-0.052901218396566-0.0281739496178220.0054473389571950.0288338154661570.0318552566433860.016754178804497-0.005210813742773-0.021130709466477-0.023278059803632-0.0121298079788830.0048018914112900.0177358521328140.0199353489444220.010818653918135-0.004533035727071-0.018157775744515-0.022815373404645-0.0140573809120400.0088416037543510.0415812488491030.059367227786797-0.1143990554048570.012938435023626]2.求解级联型系统函数程序及结果将直接型结构系统函数转变为级联型结构的系统函数，运用Matlab中的tf2sos函数的程序如下：B=[0.012938435023626-0.1143990554048570.0593672277867970.0415812488491030.008841603754351-0.014057380912040-0.022815373404645-0.018157775744515-0.0045330357270710.0108186539181350.0199353489444220.0177358521328140.004801891411290-0.012129807978883-0.023278059803632-0.021130709466477-0.0052108137427730.0167541788044970.0318552566433860.0288338154661570.005447338957195-0.028173949617822-0.052901218396566-0.048933328203234-0.0056405026611970.0710009216869230.1590839329019640.2291147971505610.2556582863896810.2291147971505610.1590839329019640.071000921686923-0.005640502661197-0.048933328203234-0.052901218396566-0.0281739496178220.0054473389571950.0288338154661570.0318552566433860.016754178804497-0.005210813742773-0.021130709466477-0.023278059803632-0.0121298079788830.0048018914112900.0177358521328140.0199353489444220.010818653918135-0.004533035727071-0.018157775744515-0.022815373404645-0.0140573809120400.0088416037543510.0415812488491030.059367227786797-0.1143990554048570.012938435023626]A=1;[S,G]=tf2sos(B,A)运算结果为：S=Columns1through51.0000-9.37489.37641.000001.0000-0.99980.10671.000001.0000-2.21931.29391.000001.0000-2.05081.28551.000001.0000-1.78091.25521.000001.0000-0.48251.00001.000001.0000-0.24901.00001.000001.00000.22281.00001.000001.00000.89471.00001.000001.00001.28471.00001.000001.00000.67931.00001.000001.00001.99661.0