套卷2014-2015学年吉林省实验高三上学期第四次模拟考试试题数学（文）

2014--2015学年吉林省实验高三上学期第四次模拟考试数学（文）试题本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷【题文】一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）【题文】1设全集U=R，集合A=，B=则集合=()AB｛｝CD【知识点】集合及其运算A1【答案】B【解析】A={x}={},则=｛｝【思路点拨】先求出集合A再求结果。【题文】2已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是A.4B.2C.8【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案】A【解析】由扇形的面积公式得：S=lR，因为扇形的半径长为2cm，面积为8cm2

所以扇形的弧长l=8．设扇形的圆心角的弧度数为α，由扇形的弧长公式得：l=|α|R，且R=2

所以扇形的圆心角的弧度数是4．【思路点拨】扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为s，由面积公式和弧长公式可得到关于l和r的方程，进而得到答案．【题文】3.已知，其中为虚数单位，则A.B.C.D.【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】A【解析】∵===1-ni，∴，解得．∴m+ni=2+i．【思路点拨】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求得m，n的值，则答案可求．【题文】4.执行如图所示的程序框图，则输出的b值等于A.B.C.D.aa=1,b=1a<7？开始结束是否a=a+2输出bb=b-a第4题图【知识点】算法与程序框图L1【答案】C【解析】执行程序框图，有a=1，b=1满足条件a＜7，有b=0，a=3

满足条件a＜7，有b=-3，a=5满足条件a＜7，有b=-8，a=8

不满足条件a＜7，输出b的值为-8．【思路点拨】执行程序框图，依次写出b，a的值，当a=8时不满足条件a＜7，输出b的值为-8．【题文】5等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a6的值为A.10 B.9C.8 D.7【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案】B【解析】∵等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，∴a3+a6+a9=27，

∴3a6=27，∴a6=9，【思路点拨】依题意，利用等差数列的性质，可知a3+a6+a9=27，再利用等差中项的性质可得答案．【题文】6已知命题；命题:在曲线上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是A．是假命题B．是真命题C．是真命题D．是真命题【知识点】命题及其关系A2【答案】C【解析】根据指数函数的值域知，命题p是真命题；

根据“在切点处的导数值即为切线斜率”，设切点为（x0，cosx0），过该点的切线斜率为k；

y′=-sinx；∴k=-sinx0≠，即：不存在x0∈R，使-sinx0=；∴命题q为假命题；

∴￢q为真命题，；∴p∧（￢q）是真命题。【思路点拨】根据指数函数的值域，函数在切点处的导数等于过该点的切线斜率即可判断出p是真命题，q是假命题，所以C正确．【题文】7.在三角形ABC中，若，则的值是B.C.D.【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5【答案】B【解析】∵tanAtanB=tanA+tanB+1，即tanA+tanB=tanAtanB-1，

∴tan（A+B）==-1，即tan（A+B）=-tanC=-1，

∴tanC=1，即C=，则cosC=cos=．【思路点拨】利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将已知等式变形后代入求出tan（A+B）的值，进而确定出tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定出cosC的值.【题文】8.已知函数，则的值为A．B．C．D．【知识点】函数的奇偶性B4【答案】A【解析】由f(x)-1=1-f(x)为奇函数,则f()-1+f(-)-1=0,所以=2.【思路点拨】先判断函数的奇偶性，再求结果。【题文】9.若是幂函数，且满足，则=A.B.C.2D.4【知识点】幂函数B8【答案】B【解析】设f（x）=xα，由=2，得α=log32，∴f()=()log32=．【思路点拨】由待定系数法求得幂函数解析式，从而求出f()．【题文】10.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面有下列命题：①若，则； ②若则③若是两条异面直线，则④若则.其中正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【知识点】空间中的平行关系垂直关系G4G5【答案】C【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误

②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确

③过直线m作平面γ交平面β与直线c，

∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，

∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确

④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确

故正确命题有三个，【思路点拨】①直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此命题中n可能在平面α内，故①错误；②利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断②正确；③利用线面垂直的判定定理，先证明平面β内有两条相交直线与平面α平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，③正确；④若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断④正确【题文】11已知，实数a、b、c满足＜0，且0＜a＜b＜c，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是A．＜a B．＞b C．＜c D．＞c【知识点】函数与方程B9【答案】D【解析】因为f（x）=（）x-log3x，在定义域上是减函数，

所以0＜a＜b＜c时，f（a）＞f（b）＞f（c）

又因为f（a）f（b）f（c）＜0，

所以一种情况是f（a），f（b），f（c）都为负值，①，

另一种情况是f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0．②

在同一坐标系内画函数y=（）x与y=log3x的图象如下，

对于①要求a，b，c都大于x0，对于②要求a，b都小于x0是，c大于x0．

两种情况综合可得x0＞c不可能成立【思路点拨】有f（a）f（b）f（c）＜0可得①f（a），f（b），f（c）都为负值；②（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0，对这两种情况利用图象分别研究可得结论【题文】12.若，则下列各结论中正确的是A． B．C． D．【知识点】导数的应用B12【答案】D【解析】∵f（x）=，∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=e，

当x≥e时，f′（x）＜0，为减函数，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，

∵b＞a＞3＞e，∴ab＞b＞＞＞a＞e，

∴f（a）＞f（）＞f（）＞f（b）＞f（ab），【思路点拨】对f（x）=进行求导，求出其单调区间，再根据均值不等式判断，ab，a，的大小，从而判断其函数值的大小；第Ⅱ卷（非选择题）【题文】二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。【题文】13.已知为第二象限角，，则=___________；【知识点】二倍角公式C6【答案】-【解析】由得sin=-，因为为第二象限角，所以cos<0=-【思路点拨】先根据已知求出sin再根据范围求出结果。【题文】14已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为________.【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案】0【解析】由题意知=2•+2=2×4×4cos120°+42=0．

【思路点拨】由向量数量积公式进行计算即可．【题文】15.已知实数满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围为.【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】-1≤m≤2【解析】由题意作出其平面区域，

y-mx=2恒过点（0，2），且m是y-mx=2斜率，则由上图可知，若使y-mx≤2恒成立，则-1≤m≤2，【思路点拨】由题意作出其平面区域，y-mx=2恒过点（0，2），且m是y-mx=2斜率，由图可知斜率m的取值范围．【题文】16.已知关于的方程有两个不同的实根，且，则实数=.【知识点】函数与方程B9【答案】6【解析】∵关于x的方程|2x-10|=a有两个不同的实根x1、x2，且x2=2x1，∴2x2-10=a，10-2x1=a，

∴2x2=22x1=10+a，2x1=10-a，∴10+a=（10-a）2，求得a=6，【思路点拨】由题意可得2x2-10=a，10-2x1=a，即2x2=22x1=10+a，2x1=10-a，可得10+a=（10-a）2，由此求得a的值．【题文】三解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。【题文】17（本小题满分12分）在锐角中，内角所对的边分别为.已知（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积的最大值.【知识点】解三角形C8【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由条件得sinB=2（cosB+sinB）（cosB-sinB），

即sinB=cos2B-sin2B，由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB-1=0，解得sinB=或sinB=-1

因为△ABC是锐角三角形，所以B=（Ⅱ）由余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，把b=1，B=代入可以得到：

1=a2+c2-ac≥(2-)ac，所以ac≤2+所以S△ABC=acsinB=ac≤当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是【思路点拨】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角B的值；（Ⅱ）利用余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，把数据代入利用不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值．【题文】18.（本小题满分12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500））．（=1\*ROMANI）求居民收入在[3000,3500）的频率；（=2\*ROMANII）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（=3\*ROMANIII）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000）的这段应抽取多人？【知识点】用样本估计总体I2【答案】（Ⅰ）0.15（Ⅱ）2400（=3\*ROMANIII）25【解析】（Ⅰ）（Ⅱ），，设中位数为x,则，解得：中位数为2400元（=3\*ROMANIII）[Z#X#X#K]【思路点拨】根据频率分布直方图求出频率，然后根据比例关系求出人数。【题文】19（本小题满分12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱中，D是BC的中点，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点A1到平面的距离.CBCBAD【知识点】空间中的平行关系垂直关系G4G5【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）连接交于O，连接OD，在中，O为中点，D为BC中点（Ⅱ）由①可知点到平面的距离等于点C到平面的距为设点C到面的距离为h即解得【思路点拨】利用线线平行证明线面平行，根据等体积法求出高。【题文】20（本小题满分12分）已知圆M过C(1，－1)，D(－1,1)两点，且圆心M在x＋y－2＝0上．(Ⅰ)求圆M的方程；(Ⅱ)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案】（1）（x-1）2+（y-1）2=4（2）2【解析】（1）设圆M的方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0），

根据题意得，解得：a=b=1，r=2，

故所求圆M的方程为：（x-1）2+（y-1）2=4；

（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=（|AM||PA|+|BM||PB|）．

又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，而|PA|2=|PM|2-|AM|2=|PM|2-4，

即S=2．因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min=3，所以四边形PAMB面积的最小值为2=2．【思路点拨】（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；

（2）四边形PAMB的面积为S=2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．【题文】21（本小题满分12分）已知函数．（=1\*ROMANI）若曲线过点P(1,－1)，求曲线在点P处的切线方程；（Ⅱ）若对恒成立,求实数m的取值范围;（=3\*ROMANIII）求函数在区间[1，e]上的最大值.【知识点】导数的应用B12【答案】（1）（2）（3）当m＜时，f（x）max=f（e）=1-me，

当≤m≤1时，f(x)max=f()=-lnm-1当m＞1时，f（x）max=f（1）=-m．【解析】（1）过点， 过点的切线方程为（2）恒成立，即恒成立，又定义域为，恒成立设当x=e时，当时，为单调增函数当时，为单调减函数当时，恒成立（3）①当时，在为单增函数在上，②当时，即时时，，为单增函数时，，为单减函数上③当时，在为单减函数上，④当0＜m＜，即＞e时，f（x）在(0，)为单增函数，

∴x∈[1，e]时，f（x）max=f（e）=1-me；

综上所述，当m＜时，f（x）max=f（e）=1-me，

当≤m≤1时，f(x)max=f()=-lnm-1

当m＞1时，f（x）max=f（1）=-m．【思路点拨】（1）由f（x）过点P（1，-1）可得-1=ln1-m，从而解出m=1，进而求曲线y=f（x）在点P的切线方程；

（2）原式可化为lnx-mx≤0恒成立，结合x＞0可化为m≥恒成立，从而化为求g(x)=的最大值，利用导数求最值；

（3）由f′(x)=-m=讨论，m的取值，以确定函数函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，从而求函数在区间[1，e]上的最大值．【题文】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【题文】22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,已知四边形内接于圆O,且是圆O的直径,以点为切点的圆O的切线与的延长线交于点.（=1\*ROMANI）若，，求的长；（=2\*ROMANII）若，求的大小.【知识点】选修4-1几何证明选讲N1【答案】(Ⅰ)9（Ⅱ）120°【解析】(Ⅰ)因为MD为的切线,由切割线定理知,MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB,所以MA=3，AB=12－3=9.（Ⅱ）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM,连接DB，又MD为圆O的切线,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD，又因为AB是圆O的直径,所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°-∠ABD.又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,于是90°-∠AB