schur分解归纳法证明

SCHUR分解归纳法证明SCHUR引理怎么证明？SCHUR定理：任意N×N实矩阵A，存在酉矩阵U与上三角阵R，使得A=U×R×U(T)(U(T)表示将矩阵U共轭转置)，R中的元素，可能为复数。(而且还可以进一步要求R的对角元素为矩阵A的特征值，还可以按顺序排列。)矩阵的QR分解定理：任意N×N实矩阵A，存在正交阵Q与上三角阵R，使得A=Q×R(证明用到数值分析中的Householder变换，好像还有矩阵收缩技巧)。SCHUR定理的证明：给定N×N实矩阵A，可以求出A的n个特征值，不妨设为c1，c2，CN(顺序没有要求)。我们假设存在上述的U与R，只要将它们求出来了，即可说明其存在性了，同时也说明了其构造或求解的过程。同时为了过程简略，设特征值互不相同。特殊情况在最后再加以说明。设A，U，R的元素分别为AIJ，UIJ，RIJ，矩阵分块，列向量分别为AI，UI，RI。i，j=1，n。A=U×R×U(T)等价于A×U=U×R。下面的过程，只是为了解出U，R。令R的对角元为c1，c2，CN左下角的全为0，只有右上角的(n^2-n)/2个待求变量。U中有n^2个变量。下面就求出这些变量，注意要利用另一个条件，就是矩阵U的性质(酉矩阵)将矩阵作如下分块：A×(u1，u2，UN)=U×(r1，r2，CN)。先看乘积后的第一列：A×u1=U×r1。由于R为上三角阵，且对角元为A的特征值，所以列向量r1只有第一个元素为c1，其余的全为0。所以上式就可以化为：A×u1=c1×u1。u1为A的特征值c1所对应的特征向量，当然存在，可以求出来了。再利用酉矩阵的性质(不同的列向量都正交，且为单位向量，所以要将u1单位化）。这样，得到U的第1列u1。继续考察A×u2=U×r2A×u2=r12×u1+r22×u2=r12×u1+c2×u2。即：A×u2=r12×u1+c2×u2。式中含有u2及r12共n+1个变数，需要n+1个独立的方程才可解出。然而，上式含有n个方程，u1与u2垂直，u2单位长度，共n+2个条件。但在上式中，c2为A的特征值，所以n个方程并不是相互独立的。列出n+2个方程，刚好可以解出u2与r12。一般情况，考察A×UK=U×RK；A×UK=U×RK=r1k×u1+r2k×u2++r(k-1)k×u(k-1)+RKK×UKA×UK=r1k×u1+r2k×u2++r(k-1)k×u(k-1)+ck×UK与前面讨论类似，共有UK中的n个变数和RK中的(k-1)个变数(r1k，r2k，r(k-1)k)，RKK=ck为已知的特征值。所以共有(n+k-1)个变量。上面的式子中含有n个方程，利用u1，u2，u(k-1)与UK垂直，可得(k-1)个方程，再加上UK为单位向量，共(n+k)个方程，正好可以解出所有的(n+k-1个)变量。如此继续，直到第n步的A×UN=U×RN。这样便可以解出所有的RIJ与UK，矩阵U与R便可以确定了。证毕。注：1.若出现重特征值，比如ck为m重特征值，则按上面方法求出的UK会有m个线性无关的解。将正交性，单位长度的条件都用上，仍可以解出来。这些向量的求法与高等代数中求若当标准形，求特征值特征向量极为相似。2.若A为对称矩阵，则R必为对角矩阵，而且正是A的若当标准