高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第20讲 函数的应用（一）（教师版）

第06讲函数的应用（一）课程标准学习目标①理解与掌握具体函数的应用的意义，掌握常见函数的模型，并能解决与常见函数相关的问题。②能根据实际意义，建立函数模型，并能解决实际问题.。通过本节课的学习，能解决常见函数的具体问题的处理，能根据实际意义，建立函数模型解决相关的问题知识点一：常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型(，为常数，)二次函数模型(，，为常数，)分段函数模型幂函数模型(，，为常数，)知识点二：对钩函数（耐克函数）1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数；①定义域：；②是奇函数，图象关于原点对称；③在，上单调递减；在，上单调递增；④当时，；当时，；2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：（）其图象如图：①定义域：；②（）是奇函数，图象关于原点对称；③在，上单调递减；在，上单调递增；④当时，；当时，；题型01一次函数模型的应用【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程(km)与时间(min)的关系，下列结论正确的是（

）A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当时，与的关系式为【答案】BD【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.故选：BD【典例2】（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校联考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元/超过但不超过的部分6元/超过的部分9元/若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,则当时,元,不符合题意;当时,,令,解得,符合题意；当时,,不符合题意.综上所述:此户居民本月用水量为15.故选：C.【典例3】（2023·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是和，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点的横坐标为__．【答案】6【详解】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6．故答案为：6．【变式1】（2023·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用(千元)､乙厂的总费用(千元)与印制证书数量(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（

）A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为【答案】ABCD【详解】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；设甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，代入点，可得，解得，所以甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；设当时，设与之间的函数关系式为代入点，可得，解得，所以当时，与之间的函数关系式为，故D正确.故选：ABCD.【变式2】（2023·高一课时练习）若等腰三角形的周长为20，底边长是关于腰长的函数，则它的解析式为__________________.【答案】【详解】由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴，即，解得x>5，∴5<x<10，故所求函数的解析式为.故答案为：题型02二次函数模型的应用【典例1】（2023·全国·高三专题练习）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为件时，售价为元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.【答案】2007.94【详解】由题意易得日利润，故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，故答案为：200，7.94.【典例2】（2023秋·广东·高三统考学业考试）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．（1）试用销售单价表示利润；（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？【答案】（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．【详解】（1）.（2），∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．图（1）

图（2）（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式．（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？【答案】(1)，;(2)当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，由题意可设，，其中，是不为零的常数．所以根据图象可得，，，，所以，．（2）①由（1）得，，所以总利润为万元．②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，则，．令，则，且，则，．当时，，此时，．当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．【变式1】（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投(单位：万元)满足，．设甲大棚的投入为(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为(单位：万元)．（1）求的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入最大？【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．（2）由题知，f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依题意得解得20≤x≤180，故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．【变式2】（2023秋·山东济宁·高一校考期末）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.（1）求的值；（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440.【详解】（1）因为.且时，.所以解得..（2）由（1）可知，该商品每日的销售量.

所以商场每日销售该商品所获得的利润：

因为为二次函数，且开口向上，对称轴为.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.

所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.题型03分段函数模型的应用【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)；(2)4千克，480元﹒【详解】（1）依题意，又，∴．（2）当时，，开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，在上的最大值为．当时，，当且仅当时，即时等号成立．∵，∴当时，．∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．【典例2】（2023春·山东聊城·高二山东聊城一中校联考阶段练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.【详解】（1）当时，，当时,，所以.（2）当时，,∴当时，，当时,,当且仅当，即时，，因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.【典例3】（2023春·四川绵阳·高一校考开学考试）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元.(1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式；(2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？【答案】(1)(2)当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元.【详解】（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元，利润为，解得，则.（2）当，，，对称轴为，则函数在，上单调递增，故当时，，当，时，当且仅当，即时取等号，因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元.【变式1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【答案】(1)(2)70万盒【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，，当产量大于50万盒时，，故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为（2）当时，；当时，，当时，取到最大值，为1200．

因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．【变式2】（2023·高一课时练习）某电子公司生产某种智能手环，其固定成本为2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于日产量（单位：个）满足函数：.(1)将利润（单位：元）表示成日产量的函数；(2)当日产量为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？（利润＋总成本＝总收入）【答案】(1)(2)当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元【详解】（1）根据题意，当时，，当时，，所以.（2）当时，，所以当时，；当时，易知是减函数，所以；综上：当时，，所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元.【变式3】（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1);(2)100（百辆），2300万元.【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，所以利润,故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为.（2）当时，，故当时，；当时，,当且仅当，即时取得等号；综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．题型04利用对钩函数求最值或值域【典例1】（2023春·江苏镇江·高二统考期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.【答案】最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元.【详解】设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为，油耗为，则总费用，，由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增，因为，所以当时，取到最小值，最小值为.最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元.【典例2】（2023·福建福州·高一校联考期中）定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界．(1)写出一个定义在R上且，的函数解析式；(2)若函数在(0，1)上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围；(3)某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性，①请直接写出函数在与的单调性；②若函数定义域为，是函数的下界，请利用①的结论，求的最大值.【答案】(1)（答案不唯一，如）(2)(3)①为减函数，为增函数；②

【详解】（1），的值域为，的一个上界为，的一个下界为.答案不唯一，如，的值域为，的一个上界为，的一个下界为.（2）依题得对任意，恒成立，，，令在为单调递减，，，实数的取值范围为.（3）①由对勾函数的性质知，在为减函数，为增函数②，由①知，在为减函数，在为增函数，当即时，由①知为减函数，，m是的一个下界，，

当即，由①知为增函数，，m是的一个下界，

当即，，当且仅当时等号成立，m是的一个下界，.

综上所述：,【典例3】（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设，是的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合到集合的“保序同构函数”.(1)写出集合到集合且的一个保序同构函数（不需要证明）；(2)求证：不存在从整数集的到有理数集的保序同构函数；(3)已知存在正实数和使得函数是集合到集合的保序同构函数，求实数的取值范围和的最大值（用表示）.【答案】(1)(2)见解析(3)，的最大值为【详解】（1）（2）假设存在一个从集合到集合的“保序同构函数”，由“保序同构函数”的定义可知，集合和集合中的元素必须是一一对应的，不妨设整数0和1在中的像分别为和，根据保序性，因为，所以，又也是有理数，但是没有确定的原像，因为0和1之间没有另外的整数了，故假设不成立，故不存在从集合到集合的“保序同构函数”；（3），若是集合到集合的保序同构函数，则在单调递增，且当时，即，函数单调递增，且，则单调递减，这与均为单调递增函数，则单调递增相矛盾，故不成立，舍去，当时，由对勾函数性质可知：当时，单调递增，当时，单调递减，且当时，取最小值，因此在单调递增，所以是到集合的保序同构函数，则，此时当时，，不满足是到集合的保序同构函数，综上，，的最大值为【变式1】（2023·高一课时练习）现在网络购物方便快捷，得益于快递行业的快速发展，根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中．(1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；(2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【答案】(1)4(2)7分钟时，280（元）【详解】（1）当时，，不满足题意，舍去，当时，，即．解得（舍）或．且，．所以发车时间间隔为4分钟．（2）由题意可得当时，（元）当时，（元）所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）．【变式2】（2022秋·广东深圳·高一深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用为常数万元，计划生产并销售某种文化产品万件生产量与销售量相等已知生产该产品需投入成本费用万元不含促销费用，产品的促销价格定为元/件.(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（注：利润销售额投入成本促销费用）(2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大？最大利润为多少？【答案】(1)，(2)当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元；当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元.【详解】（1）由题意得，；（2）由（1）得，，，，当且仅当，即时等号成立，由对勾函数的性质可知：当时，在上单调递增，∴当时，；当时，，当且仅当时等号成立，综上所述，当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元；当时，当促销费用投入万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为万元.题型05利用对钩函数解决恒成立（能成立）问题【典例1】（2023·高一单元测试）已知函数．(1)写出函数的定义域及奇偶性；(2)请判断函数在上的单调性，并用定义证明在上的单调性；(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)定义域为，奇函数(2)单调递减，证明见解析(3)(1)函数的定义域为，因为，所以为奇函数；(2)在内单调递减．下面证明：任取且，，因为，所以，所以因为，即．因此，函数在上是单调减函数；(3)由得恒成立．由知，函数在为减函数

当取得最小值因此，实数a的取值范围是．【典例2】（2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）对于函数,存在实数,使,成立,则称为关于参数的不动点.(1)当,时,求关于参数1的不动点;(2)当,时,函数在上存在两个关于参数的相异的不动点,试求参数的取值范围;【答案】(1)和3(2)(3)【详解】（1）当时,令,可得即解得或当时,关于参数1的不动点为和3（2）由已知得在,上有两个不同解,即在,上有两个不同解,令,所以,解得:．【典例3】（2023·广西玉林·高一统考期中）已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1)由，∴，∴.(2)由，即：，又因为：，∴，令，则：，又在为减函数，在为增函数.∴，∴，即：.【变式1】（2023·浙江·高一浙江省龙游中学校联考期中）设函数.(1)若的解集与不等式的解集相同，求函数的解析式；(2)令，当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)若不等式在区间上无解，试求､均为整数的所有的实数对.【答案】(1)(2)(3)，(1)解：的解集是的两个根为2和3，则解得，故(2)解：令，则当时，恒成立，即恒成立，由故，因为对勾函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递减，，所以.(3)解：若不等式在区间上无解，则必须满足即得，函数图象的对称轴在区间上还需满足，即于是，又，当时，不存在；当时，同理得或4；当时，c不存在综上可知：满足条件的实数对有，.【变式2】（2023·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考期中）1.已知．(1)如果方程在有两个根，求实数的取值范围；(2)如果，成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(1)的对称轴为要想方程在有两个根，需要满足解得：(2)，成立，即在上有解，只需大于的最小值，其中为对勾函数，在上单调递增，在上单调递减，又，，所以最小值为故，解得：，实数的取值范围为【变式3】（2023·江苏连云港·高一校考期中）已知函数(1)当时，求函数的值域；(2)解关于的不等式(3)若对于任意的，均成立，求的取值范围．【答案】(1)；(2)具体见解析；(3).【详解】（1），所以函数的值域为.（2）由题意，，若a=0，则不等式的解集为；若a>0，则不等式的解集为；若a<0，则不等式的解集为.（3）问题等价于对x∈[2，+∞)恒成立，即对x∈[2，+∞)恒成立.设，图象如图：所以，的最小值为.于是，.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（

）A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元【答案】D【详解】由题意可得，故当时，取得最大值，，当且仅当时，等号成立，因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.故选：D.2．（2023秋·四川资阳·高一四川省安岳实验中学校考期末）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（

）A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位【答案】D【详解】解：设每生产单位试剂的成本为，因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，则，当且仅当，即时取等号，满足，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．3．（2023秋·河南周口·高一统考期末）某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为A．15 B．25 C．40 D．130【答案】B【详解】由题意，函数，令，若，则，不合题意；若，则，满足题意；若，则，不合题意．故该公司拟录用25人．故选B4．（2023·全国·高三专题练习）某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【详解】无折扣的售价为：200125%=250（元），打折后售价为：2500.9=225(元)，获利;225-200=25(元)，所以若按9折出售，每件还可获利25元．故选C.5．（2023·高一课时练习）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为()．A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14【答案】A【详解】由三角形相似得,得,由0<x≤20得,8≤y<24,∴,∴当y=12时,S有最大值,此时x=15.选A6．（2022秋·浙江·高一舟山中学校联考期中）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示：可享受折扣优惠的金额折扣率不超过400元部分超过400元部分若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（

）A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元【答案】C【详解】当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时，享受折扣优惠的金额做多为元，故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元，则，解得（元），则此顾客实际所付金额为元，故选：C.7．（2022秋·江苏连云港·高一校考期中）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（

）A．30件 B．60件 C．80件 D．100件【答案】B【详解】根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（为正整数）由基本不等式，得当且仅当，即时，取得最小值，时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B8．（2022秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，､已知函数，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】显然，.当时，，令，当x>0时，，，当且仅当，x=1时，等号成立；当x<0时，，，且.当且仅当，x=-1时，等号成立.综上所述，的值域为所以，根据高斯函数的定义，函数的值域是故选：C.二、多选题9．（2022·高一单元测试）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（

）A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本【答案】BC【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价，当时，，则为固定成本；由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误；故选：BC．10．（2022秋·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（

）A．方程有三个根 B．的单调减区间为和C．的最大值为 D．的最小值为【答案】AC【详解】由的含义可得图象如下图所示，由图象可知：对于A，与有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确；对于B，的单调递减区间为和，B错误；对于C，，C正确；对于D，无最小值，D错误.故选：AC.三、填空题11．（2023春·河北承德·高一承德市双滦区实验中学校考开学考试）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是___.【答案】200【详解】解：由题意，时，，时，；时，，天时，总利润最大为10000元故答案为：200．12．（2023·高一课时练习）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)【详解】由题意函数是上的增函数，设，，由，解得，所以，所以故答案为：注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．四、解答题13．（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元(1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；(2)年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)(2)38万部时，最大利润为7170万元.【详解】（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元），故利润，而，故，整理得，；（2）时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；时，，其中，在上单调递减，在上单调递增，因为，故时，取得最小值故在时，y取得最大值而，故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元.14．（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)3年(2)方案①较为合算【详解】（1）由题意可得，即，解得，，该车运输3年开始盈利.；（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，，当且仅当时，取等号，方案①最后的利润为：（万；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，，时，利润最大，方案②的利润为（万，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，方案①较为合算.B能力提升1．（2023秋·广东广州·高一广东番禺中学校考期末）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时，他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，n（且）年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第n（且）年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维修保养费－投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元．(1)求实数k的值．并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；(2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润＝纯利润÷年数）最大？并求出最大值．【答案】(1)8，第4年；(2)到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元.【详解】（1）依题意可得，，∵已知，∴，∴（且）．令，解得．∵，∴该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元．（2）年平均利润为，令（且），则函数在上单调递减，在上单调递增，又∵，，∴．∴到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元．2．（2023·高一课时练习）如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.【答案】（1），（2），不超过.【详解】解：（1）．记乙到时甲所在地为，则千米．