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文档简介
专题12相似三角形的判定与性质一.选择题(共4小题)1.(2021秋•徐州期末)如图,在△ABC中,若EF∥BC,AEBE=23,EF=A.6 B.8 C.10 D.12【分析】先利用比例的性质得到AEAB=25,再证明△AEF∽△ABC,然后利用相似比得到【解答】解:∵AEBE∴AEAB∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴EFBC∴BC=52EF=52故选:C.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用;同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算.2.(2021秋•鼓楼区校级期末)如图,在△ABC中,∠BAC=45°,BD、CE分别是AC、AB边上的高,连接DE,若DE=2,则BC的长为()A.5 B.322 C.52 D【分析】根据等腰直角三角形的性质得到ADAB=22,AEAC=2【解答】解:在Rt△ADB中,∠BAC=45°,则ADAB同理:AEAC∴ADAB∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC,∴DEBC∵DE=2,∴BC=22,故选:D.【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质,证明△ADE∽△ABC是解题的关键.3.(2021秋•如皋市期末)如图,网格中的每个小正方形边长为1,点A,B都在小正方形的顶点上,线段AB与网格线MN交于点C,则AC的长为()A.32 B.43 C.54 【分析】先利用勾股定理求出AB的长,再利用A字模型相似三角形证明△ANC∽△ADB,然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答.【解答】解:如图:由题意得:AB=ADCN∥BD,∴∠ANC=∠ADB,∠ACN=∠ABD,∴△ANC∽△ADB,∴ANAD∴14∴AC=5故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,相似三角形的判定与性质,熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键.4.(2021秋•鼓楼区校级期末)如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,ADAB=13,DE∥BC,若△ADE的面积为A.12 B.18 C.24 D.54【分析】利用DE∥BC判定△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,列出关系式即可求得结论.【解答】解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴S△ADE∵ADAB∴S△ADE∴S△ABC=9S△ADE=54.故选:D.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,利用相似三角形的判定方法得出△ADE∽△ABC是解题的关键.二.填空题(共4小题)5.(2021秋•兴化市期末)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点.则△DEO与△BCD的面积的比等于1:4.【分析】由平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,可得O是BD中点,已知条件中有E是CD的中点,则OE是△BCD的中位线,所以OE∥BC,OE=12BC,则△DEO∽△BCD,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可以求出△DEO与△【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,且对角线AC、BD交于点O,∴O是BD的中点,∵E是CD的中点,∴OE∥BC,OE=12∴OEBC∵△DEO∽△BCD,∴S△DEO∴△DEO与△BCD的面积的比等于1:4,故答案为:1:4.【点评】此题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识,根据三角形中位线定理证明OE∥BC是解题的关键.6.(2021秋•建邺区期末)如图,在边长为1的正方形网格中,A、B、C、D为格点,连接AB、CD相交于点E,则AE的长为625【分析】根据题意可得AB=32,AC∥BD,所以△AEC∽△BED,进而可以解决问题.【解答】解:根据题意可知:AB=32,AC∥BD,AC=2,BD=3,∴△AEC∽△BED,∴AEBE∴AE3解得AE=6故答案为:62【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.7.(2021秋•崇川区期末)在我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其大意为:如图,Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为5步和12步,则它的内接正方形CDEF的边长为6017【分析】利用A字模型相似三角形证明△ADE∽△ACB,然后利用相似三角形的性质解答即可.【解答】解:∵四边形CDEF是正方形,∴DE∥CF,DE=DC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB,∴ADAC∴5-DC∴5-DE∴DE=60∴正方形CDEF的边长为:6017故答案为:6017【点评】本题考查了数学常识,正方形的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握A字模型相似三角形是解题是关键.8.(2022春•工业园区校级期末)如图,平行四边形ABCD中,点E为BC边上的一点,AE和BD相交于点P,已知△ABF的面积等于12,△BEF的面积等于8,则四边CDFE形的面积是22.【分析】利用三角形面积公式得到AF:FE=3:2,再根据平行四边形的性质得到AD∥BE,S△ABD=S△CBD,则可判断△AFD∽△EFB,利用相似的性质可计算出S△AFD=18,所以S△ABD=S△CBD=30,然后用△BCD的面积减去△BEF的面积得到四边形CDFE的面积.【解答】解:∵△ABF的面积等于12,△BEF的面积等于8,即S△ABF:S△BEF=12:8=3:2,∴AF:FE=3:2,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BE,S△ABD=S△CBD,∴△AFD∽△EFB,∴S△AFD∴S△AFD=94×8∴S△ABD=S△CBD=12+18=30,∴四边形CDFE的面积=30﹣8=22.故答案为:22.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形,灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系;也考查了平行四边形的性质.三.解答题(共4小题)9.(2022春•工业园区校级期末)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是△ABC的角平分线.(1)找出图中的相似三角形,并证明;(2)求出BCAB【分析】(1)由AB=AC,∠BAC=36°,得∠ABC=∠C=12(180°﹣36°)=72°,由BD是△ABC的角平分线求得∠DBC=36°,则∠DBC=∠BAC,而∠C是△BDC和△ABC的公共角,即可证明△BDC∽△(2)先证明AD=BD,BD=BC,则AD=BC,设AD=BC=x,AC=AB=a,由△BDC∽△ABC得DCBC=BCAC,所以BC2=AC•(AC﹣AD),可列方程x2=a(a﹣x),解方程求得符合题意的x的值为5【解答】(1)△BDC∽△ABC.证明:AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠C=12(180°﹣36°)=∵BD是△ABC的角平分线,∴∠DBC=∠DBA=12∠ABC=12∴∠DBC=∠BAC,∵∠C=∠C,∴△BDC∽△ABC.(2)解:∵∠DBA=∠BAC,∴AD=BD,∵∠BDC=∠DBA+∠A=36°+36°=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BC,设AD=BC=x,AC=AB=a,∵△BDC∽△ABC,∴DCBC∴BC2=AC•(AC﹣AD),∴x2=a(a﹣x),解得x1=5-12a,x∴BC=5-∴BCAB【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、一元二次方程的解法等知识,证明图中的两个等腰三角形相似是解题的关键.10.(2021秋•赣榆区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上一点O为圆心,OB为半径作⊙O,交AC于点E,交AB于点D,且∠BEC=∠BDE.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)连接OC交BE于点F,若CEAE=2【分析】(1)连接OE,通过证明∠CBE=∠OEB得OE∥BC,从而得OE⊥AC,再结合OE是半径即可得出结论;(2)由OE∥BC,得△AOE∽△ABC,进而得出OEBC=57,再由OE∥BC,得△【解答】(1)证明:连接OE,∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∵∠ACB=90°,∴∠CBE+∠BEC=90°,∵BD是直径,∴∠BED=90°,∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠CBE=∠DBE,∴∠CBE=∠OEB,∴OE∥BC,∴∠OEA=∠ACB=90°,∴OE⊥AC,又∵OE是半径,∴AC是⊙O的切线;(2)解:∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC,∴OEBC∵CEAE∴AEAC∴OEBC∵OE∥BC,∴△OEF∽△CBF,∴OFCF【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.11.(2022春•太仓市期末)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E,BE交AD于点F,AB=AD.(1)求证:△BFD∽△CAB;(2)求证:AF=DF;(3)EFFB的值等于13【分析】(1)由垂直平分线的性质得出BE=CE,进而得出∠C=∠EBD,由等腰三角形的性质得出∠FDB=∠ABD,即可证明△BFD∽△CAB;(2)由DE垂直平分BC,得出BDBC=12,由相似三角形的性质得出FDAB=BDBC=12,进而得出FD=12AB(3)过点C作CH∥AD,交BE的延长线于点H,由DE垂直平分BC,得出BDBC=12,证明△BDF∽△BCH,得出DFHC=BFBH=BDBC=12,由AF=FD,即可得出AFHC=1【解答】(1)证明:∵DE垂直平分BC,∴BE=CE,∴∠C=∠EBD,∵AB=AD,∴∠FDB=∠ABD,∴△BFD∽△CAB;(2)证明:∵DE垂直平分BC,∴BDBC∵△BFD∽△CAB,∴FDAB∴FD=12∵AB=AD,∴FD=12∴AF=FD;(3)解:如图,过点C作CH∥AD,交BE的延长线于点H,∵DE垂直平分BC,∴BDBC∵CH∥AD,∴∠BDF=∠BCH,∠BFD=∠BHC,∴△BDF∽△BCH,∴DFHC∵AF=FD,∴AFHC∵AD∥HC,∴∠FAE=∠HCE,∠AFE=∠CHE,∴△AFE∽△CHE,∴FEEH∴FEFH∵BFBH∴FH=FB,∴EFFB故答案为:13【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.12.(2021秋•阜宁县期末)已知:如图,AB为⊙O的直径,AB⊥AC,BC交⊙O于D,E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F.(1)求证:DE为⊙O的切线;(2)求证:AB•DF=AC•BF.【分析】(1)连AD,OD,根据直径所对的圆周角为直角知∠ADB=∠ADC=90°,再根据E是AC的中点,得EA=ED,根据OD=OA,利用等边对等角,可知∠ODE=90°,从而证明结论;(2)首先证明△ABD∽△CBA,得ABAC=BDAD,再证明△FDB∽△【解答】证明:(1)连AD,OD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵E是AC的中点,∴EA=ED,∴∠EDA=∠EAD,∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,∴∠EDO=∠EAO,∵AB⊥AC∴∠EAO=90°,∴∠EDO=90°,∴DE为⊙O的切线;(2)∵∠BAC=∠ADC=90°,∴∠C=∠BAD,∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA,∴ABAC∵∠FDB+∠BDO=∠BDO+∠ADO=90°,∴∠FDB=∠ADO=∠OAD,∵∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD,∴BDAD∴ABAC∴AB•DF=AC•BF.【点评】本题主要考查了圆周角定理,切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,证明△FDB∽△FAD是解题的关键.一.选择题(共4小题)1.(2022•泰州二模)如图,平行四边形ABCD中,E是BC上的一点,且AB=BE,AE、DC的延长线相交于点F,S△ABE:S四边形AECD=3:7,若AD=5cm,则CF的长为()A.1cm B.1.2cm C.3cm D.2cm【分析】连接AC,根据S△ABE:S▱ABCD=3:10,得S△ABE:S△ABC=3:5,则BE:BC=3:5,求出CE的长,再说明CE=CF,进而得出答案.【解答】解:连接AC,∵S△ABE:S四边形AECD=3:7,∴S△ABE:S▱ABCD=3:10,∴S△ABE:S△ABC=3:5,∴BE:BC=3:5,∵AD=5cm,∴AD=BC=5cm,∴BE=3cm,∴CF=2cm,∵AB=BE,∴∠BAE=∠BEA,∵AB∥CD,∴∠BAE=∠F,∵∠BEA=∠CEF,∴∠CEF=∠F,∴CF=CE=2cm,故选:D.【点评】本题主要考查了平行四边形的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定与性质等知识,求出BE的长是解题的关键.2.(2022秋•惠山区期中)如图,已知▱ABCD中,点E是DC边的中点,连结BD、BE、AE,AE交BD于点F,则下列结论正确的是()A.BD=2DF B.AF=2BF C.S△ABF=2S△DEF D.S△ADF=S△BEF【分析】根据平行四边形的性质得DE∥AB,则△DEF∽△BAF,可判断AC错误,根据条件无法说明B成立,由△ADE与△BED同底等高,则S△ADE=S△BED,可知D正确.【解答】解:∵点E是DC边的中点,∴DE=1∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB,∴DE=1∵DE∥AB,∴△DEF∽△BAF,∴DEAB∴DFBD即BD=3DF,故A错误;根据条件无法说明B成立,∵DE∥AB,∴△DEF∽△BAF,∴S△DEF即S△ABF=4S△DEF,故C错误;∵△ADE与△BED同底等高,∴S△ADE=S△BED,∴S△ADF=S△BEF,故D正确;故选:D.【点评】本题主要考查是相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质等知识,熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.3.(2022春•新吴区期中)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E为AB边中点,点F为对角线BD上一点,且FB=2DF,连接DE、EF、EC,则S△DEF:S△CED=()A.1:4 B.1:3 C.1:6 D.2:5【分析】根据四边形ABCD是平行四边形,点E为AB边中点,可得S△ADE=S△BDE=14S平行四边形ABCD,根据FB=2DF,可得S△BDE=3S△【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,点E为AB边中点,∴S△ADE=S△BDE=14S平行四边形∵FB=2DF,∴S△DEF=13S△BDE=112∵S△CDE=12S平行四边形∴S△DEF:S△CDE=112S平行四边形ABCD:12S平行四边形ABCD=1故选:C.【点评】本题考查平行四边形的性质,掌握平行四边形的性质是解题的关键.4.(2022秋•锡山区校级月考)如图,正方形ABCD的边长为6,点E是BC的中点,连接AE与对角线BD交于点G,连接CG并延长,交AB于点F,连接DE交CF于点H,连接AH.以下结论:①∠DEC=∠AEB;②CF⊥DE;③AF=BF;④CHHF=23A.2 B.3 C.4 D.5【分析】由四边形ABCD是边长为6的正方形,点E是BC的中点,得DC=AB=6,∠DCE=∠ABE=90°,CE=BE=3,即可证明△DCE≌△ABE,得∠DEC=∠AEB,可判断①正确;由∠ABG=∠CBG=45°,AB=CB,BG=BG,证明△ABG≌△CBG,得∠BAE=∠BCF=∠CDE,则∠DHF=∠DCF+∠CDE=∠DCF+∠BCF=90°,即可证明CF⊥DE,可判断②正确;由∠BCF=∠BAE,CB=AB,∠CBF=∠ABE,证明△CBF≌△ABE,得BF=BE=3,所以AF=BF=3,可判断③正确;根据勾股定理求得CF=AE=DE=62+32=35,则12×35CH=12×6×3=S由△BFG∽△DCG,得FGCG=BFDC=12,则FG=1【解答】解:∵四边形ABCD是边长为6的正方形,点E是BC的中点,∴DC=AB=6,∠DCE=∠ABE=90°,CE=BE=3,∴△DCE≌△ABE(SAS),∴∠DEC=∠AEB,故①正确;∵AB=AD,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°,同理∠CBD=∠CDB=45°,∴∠ABG=∠CBG=45°,∵AB=CB,BG=BG,∴△ABG≌△CBG(SAS),∴∠BAE=∠BCF=∠CDE,∴∠DHF=∠DCF+∠CDE=∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°,∴CF⊥DE,故②正确;∵∠BCF=∠BAE,CB=AB,∠CBF=∠ABE,∴△CBF≌△ABE(AAS),∴BF=BE=3,∴AF=BF=3,故③正确;∵S△CDE=12DE•CH=12DC•CE,CF=AE=DE∴12×35CH=12∴CH=6∴HF=35-∴CHHF故④正确;∵BF∥CD,∴△BFG∽△DCG,∴FGCG∴FG=11+2CF∴HG=35-故⑤正确,故选:D.【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识,证明△DCE≌△ABE及△CBF≌△ABE是解题的关键.二.填空题(共4小题)5.(2022•靖江市二模)如图,AB⊥BC,AB=5,点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点,以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF,∠D=90°,连接AD,则AD的最小值为522【分析】连接BD并延长,利用四点共圆的判定定理得到B,E,D,F四点共圆,再利用等腰直角三角形的性质和圆周角定理得到∠DBF=∠DEF=45°,得到点D的轨迹,最后利用垂线段最短和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论.【解答】解:连接BD并延长,如图,∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∠EDF=90°,∴∠ABC+∠EDF=180°,∴B,E,D,F四点共圆,∵△DEF为等腰直角三角形,∴∠DEF=∠DFE=45°,∴∠DBF=∠DEF=45°,∴∠DBF=∠DBE=45°,∴点D的轨迹为∠ABC的平分线上,∵垂线段最短,∴当AD⊥BD时,AD取最小值,∴AD的最小值为22AB=故答案为:52【点评】本题主要考查了直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质,四点共圆的判定圆周角定理,点的轨迹,垂线段的性质,利用已知条件求得点D的轨迹是解题的关键.6.(2022秋•梁溪区校级期中)如图,在△ABC中,D在AC边上,AD:DC=1:2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于E,则OE:OA=1:2,S△BOE:S△BCD=1:8.【分析】过点D作DF∥AE,交CE于点F,根据已知可得CDCA=23,再证明A字模型相似三角形△CDF∽△CAE,从而利用相似三角形的性质可得AE=32DF,CFEF=2,然后根据线段中点的定义可得BO=OD=12BD,再证明A字模型相似三角形△BEO∽△BFD,从而利用相似三角形的性质可得OE=12DF,BF=2BE,S【解答】解:过点D作DF∥AE,交CE于点F,∵AD:DC=1:2,∴CDCA∵DF∥AE,∴∠CDF=∠CAE,∠CFD=∠CEA,∴△CDF∽△CAE,∴CDCA∴AE=32DF,CF∴CF=2EF,∵O是BD的中点,∴BO=OD=12∵OE∥DF,∴∠BOE=∠BDF,∠BEO=∠BFD,∴△BEO∽△BFD,∴BOBD∴OE=12DF,BF=2BE,S△BOES△BDF=∴OEAE∴OE:OA=1:2,∵CF=2EF,BF=2BE=2EF,∴CF=BF,∴△BDF的面积=△CDF的面积,∴S△BOE:S△BCD=1:8,故答案为:1:2,1:8.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,三角形的面积,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.7.(2022秋•崇川区校级月考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,点O为△BC的内心,连接OA,OC,过点O作OD∥BC交AC于点D,则OD的长为53【分析】过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,OH⊥AB于H,连接AO,BO,由面积法可求OE=OF=OH=1,可证四边形OFBH是矩形,可得BF=OH=1,由“AAS”可证△COE≌△COF,可得CE=CF=3,由勾股定理可求解.【解答】解:如图,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,OH⊥AB于H,连接AO,BO,∵点O为Rt△ABC的内心,OE⊥AC,OF⊥BC,OH⊥AB,∴OE=OH=OF,∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=AB2∵S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO,∴12×3×4=12×3×OH+12×∴OE=OF=OH=1,∵OE⊥AC,OF⊥BC,OH⊥AB,∴四边形OFBH是矩形,∴BF=OH=1,∴CF=3,∵点O为Rt△ABC的内心,∴∠OCF=∠OCE,∵∠CEO=∠CFO=90°,在△COE和△COF中,∠OCE=∴△COE≌△COF(AAS),∴CE=CF=3,∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCF=∠OCE,∴OD=DC,∵OD2=DE2+OE2,∴CD2=(3﹣CD)2+1,∴CD=5∴OD=5故答案为:53【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心,考查了三角形的内心的性质,全等三角形判定和性质,矩形的判定和性质,勾股定理等知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.8.(2022秋•惠山区校级月考)如图,矩形ABCD中,点E在BC上,AE⊥DE,点F为AE延长线上一点,满足EF=AE,连接DF交BC于点G,若AB=4,BE=2,则GC=3.【分析】由余角的性质可得∠BAE=∠DEC,根据相似三角形的性质可求EC=4,由等腰三角形的性质和平行线的性质可证EG=DG,由勾股定理可求解.【解答】解:∵AE⊥DE,∴∠AED=90°=∠B=∠C,∴∠AEB+∠DEC=∠AEB+∠BAE,∴∠BAE=∠DEC,∴△ABE∽△ECD,∴ABEC∴4EC∴EC=8,∵AE=EF,∠AED=90°,∴AD=DF,∵∠AED=90°,∴∠ADE=∠FDE,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC=∠FDE,∴DG=EG,∵DG2=DC2+GC2,∴(8﹣GC)2=16+GC2,∴GC=3.故答案为:3.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.三.解答题(共4小题)9.(2022秋•高邮市期中)如图,点P在△ABC的外部,连结AP、BP,在△ABC的外部分别作∠1=∠BAC,∠2=∠ABP,连结PQ.(1)求证:AC•AP=AB•AQ;(2)判断∠PQA与∠ACB的数量关系,并说明理由.【分析】(1)由∠1=∠BAC,得∠1+∠PAC=∠BAC+∠PAC,则∠CAQ=∠BAP,而∠2=∠ABP,即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△CAQ∽△BAP,则ACAB=AQAP,所以AC•AP=(2)由AC•AP=AB•AQ,变形为APAB=AQAC,而∠1=∠BAC,即可由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△APQ∽△ABC,得∠【解答】(1)证明:∵∠1=∠BAC,∴∠1+∠PAC=∠BAC+∠PAC,∴∠CAQ=∠BAP,∵∠2=∠ABP,∴△CAQ∽△BAP,∴ACAB∴AC•AP=AB•AQ.(2)解:∠PQA=∠ACB,理由:∵AC•AP=AB•AQ,∴APAB∵∠1=∠BAC,∴△APQ∽△ABC,∴∠PQA=∠ACB.【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质等知识,找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△CAQ∽△BAP及△APQ∽△ABC是解题的关键.10.(2022秋•苏州期中)如图,Rt△ABC中∠BCA=90°,AE2=AD•AC,点D在AC边上,以CD为直径画⊙O与AB交于点E.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若AD=DO=1,求BE的长度.【分析】(1)连接OE,则∠OEC=∠ACE,再证明△ADE∽△AEC,得∠AED=∠ACE,则∠AED=∠OEC,所以∠OEA=∠AED+∠OED=∠OEC+∠OED=90°,即可证明AB是⊙O的切线;(2)由AD=DO=OC=1,得AC=3,则AE2=AD•AC=3,所以AE=3,再证明△AOE∽△ABC,求得BC=3,即可根据切线长定理求得BE=BC【解答】(1)证明:连接OE,则OE=OD=OC,∴∠OEC=∠ACE,∵AE2=AD•AC,∴AEAC∵∠A=∠A,∴△ADE∽△AEC,∴∠AED=∠ACE,∴∠AED=∠OEC,∵CD是⊙O的直径,∴∠OEA=∠AED+∠OED=∠OEC+∠OED=∠CED=90°,∵AB经过⊙O的半径OE的外端,且AB⊥OE,∴AB是⊙O的切线.(2)解:∵AD=DO=OC=OE=1,∴AC=3,∴AE2=AD•AC=1×3=3,∴AE=3∵∠OEA=∠BCA=90°,∠A=∠A,∴△AOE∽△ABC,∴OEBC∴BC=AC⋅OE∵OC是⊙O的半径,且CB⊥OC,∴BC是⊙O的切线,∴BE=BC=3∴BE的长度是3.【点评】此题重点考查圆的切线的判定、切线长定理、直角所对的圆周角等于90°、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.11.(2022秋•惠山区校级期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以点O为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且∠CBD=∠A.(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AD:AO=5:3,BC=3,求BD的长.【分析】(1)连接OD,先利用角间关系说明∠ODB=90°,再利用切线的判定方法得结论;(2)连接DE,先说明△ADE∽△BCD,再利用相似三角形的性质得结论.【解答】解:(1)BD是⊙O的切线.理由:连接OD.∵点D在⊙O上,∴OD=OA,∴∠A=∠ADO.∵∠C=90°,∴∠A+∠CBD+∠DBA=90°.∵∠CBD=∠A,∴2∠A+∠DBA=90°.∵∠DOB=∠A+∠ADO=2∠A,∠DOB+∠DBA+∠ODB=180°,∴∠ODB=90°.∵点D在⊙O上,∴BD是⊙O的切线.(2)连接DE.∵AE是⊙O的直
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