特训01期中选填压轴题（第1-3章）（解析版）

特训01期中选填压轴题（第1-3章）一、单选题1．若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析出AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，，当的坐标为时，，由余弦函数的单调性确定时，最大，此时最大，最大值为.【解析】可化为，故圆N的圆心为，半径为，由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，所以且，故，当的坐标为时，，在△NAB中，，又，在上单调递减，故为锐角，且当时，最大，又在上单调递增，所以当最大时，取得最大值，且最大值为，故选：D2．在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先设，根据求出点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，即可得到的取值范围【解析】设，则，解得（舍去）或=4，所以点P的轨迹方程为，曲线过点（1，2）且关于直线x=1对称，由题可知k<0.当直线与相切时，解得k=或.所以k的取值范围为故选：A3．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，，所以的取值范围是：.故选：B【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.4．在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:①对任意三点，都有②已知点和直线则③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；其中真命题的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；③根据“切比雪夫距离”的定义可判断出命题的真假.【解析】①对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；若，或，对调，可得；若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，由矩形或矩形，；则对任意的三点，，，都有，故①正确；②设点是直线上一点，且，可得，，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值；综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；③由题，到原点的“切比雪夫距离”的距离为1的点满足，即或，显然点的轨迹为正方形，故③正确；故选：D【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．5．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用，求出点Q的轨迹方程，求出直线l过定点，设，结合直线与圆的位置关系得到，即可求出面积最大时，直线l的方程．【解析】解：设，由题意得，化简可得动点Q的轨迹方程为，圆心为，半径为．又由，可得．则由解得所以直线l过定点，因为，所以点在圆C的内部．作直线，垂足为D，设，因为，所以，所以，所以，所以当，即时，．此时，又，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，故选：A．【点睛】本题主要考查圆有关的轨迹问题，考查直线与圆的位置关系，直线系方程过定点，涉及三角形面积计算以及函数最值，考查学生计算能力，解题的关键是求出点Q的轨迹方程和直线过的定点，画出图形，结合图形求解，属于较难题．6．已知A，是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（

）A．直线过焦点时，最小值为4B．直线过焦点且倾斜角为60°时（点A在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D．点A坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：【答案】B【分析】对于A，易知当垂直于轴时，取最小值4，故A正确；对于B，联立方程求得与，从而得到，故B错误；对于C，由可推得当直线过焦点时，最大值为8，故C正确；对于D，利用条件分别求出的坐标，从而求得直线的方程，故D正确．【解析】依题意得，抛物线的焦点为，准线为，对于A，直线过焦点，，当垂直于轴时，取最小值，此时，故A正确；对于B，由题可知，直线为，代入，整理得，解得或，所以，，即，故B错误；对于C，由于A，为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故C正确；对于D，依题意，，故，即，同理可得，故直线方程为，故D正确．故选：B.7．已知抛物线）的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.则下列四个命题中正确的个数是（

）个.①；②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则的最小值为；③（O为坐标原点）的面积为.；④，则.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用求得，然后结合导数、抛物线的定义、三角形的面积、两角差的正切公式对命题进行分析，从而确定正确答案.【解析】抛物线的焦点为，直线的方程为，设，由消去并化简得，.，由得，所以抛物线方程，，不妨设在第一象限，在第二象限，则，，设，，设，所以，所以，①正确.到抛物线准线的距离为，结合抛物线的定义可知，的最小值是，②正确.到直线的距离为，所以，③错误.，，④正确.所以正确的有个.故选：C【点睛】求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解.8．已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题设易知四边形为矩形，可得，结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.【解析】由椭圆的对称性知：，而，又，即四边形为矩形，所以，则且M在第一象限，整理得，所以，又即，综上，，整理得，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性及矩形性质可得，由已知条件得到，进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.9．若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．点的运动轨迹为双曲线的一部分C．若，，则D．不存在点，使得取得最小值【答案】C【分析】根据双曲线的方程直接写出渐近线方程判定A；由圆的切线长定理和双曲线的定义可求得的横坐标，可判定B；由双曲线的定义和余弦定理，利用等面积法求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C；若与关于y轴对称，结合双曲线的定义及对称性可得，可判定D.【解析】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则的横坐标为，由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；由且，解得：，∴，则，∴，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设△的内切圆的半径为，则，解得，即，∴，由，可得，解得，故，C正确；若与关于y轴对称，则且，而，∴，故要使的最小，只需三点共线即可，易知：，故存在使得取最小值，D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：D选项求动点到两定点的距离最值，应用双曲线的定义及对称性将动点转移到两定点之间的某条曲线上，结合两定点间的线段最短求最小值．10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件及双曲线的定义可得，，将△MF1F2沿MN折成直二面角后，过作，应用直角三角形边角关系、余弦定理及勾股定理求最小时的大小，进而求值.【解析】∵，，∴，，将△MF1F2沿MN折成直二面角，过作，易知面，设，在中有，，∴在△中，，有，∴，∴，当且仅当，时等号成立.∴F1，F2距离最小时，为角平分线，故，可得.故选：B【点睛】关键点点睛：由双曲线的定义求、，结合直角三角形边角关系、余弦定理、勾股定理求与的函数关系，再求最小值，最后即可求参数值.二、多选题11．将两圆方程作差，得到直线的方程，则（

）A．直线一定过点B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等【答案】BCD【分析】利用分离参数法求出直线恒过的定点即可判断A；利用两圆心坐标求斜率进而判断B；利用垂直直线的斜率之积为-1判断C；设直线上一点，利用两点坐标求距离公式和勾股定理化简计算即可判断D.【解析】由题意知，，两式相减，得，A：由，得，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；B：，故B正确；C：因为，故C正确；D：，，则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，又，得，即直线与圆相离，，得，即直线与圆相离，所以过直线上任一点可作两圆的切线.在直线上任取一点，设点P到圆的切线长为，到圆的切线长为，则，，所以，即，故D正确.故选：BCD.12．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．若圆C关于直线l对称，则C．若，则或 D．若A，B，C，O四点共圆，则【答案】ACD【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【解析】直线过点，圆，即①，圆心为，半径为，由于，所以在圆内.，所以，此时，所以A选项正确.若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误.设，则，此时三角形是等腰直角三角形，到直线的距离为，即，解得或，所以C选项正确.对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，的中点为，，所以的垂直平分线为，则②，圆的方程为，整理得③，直线是圆和圆的交线，由①-③并整理得，将代入上式得，④，由②④解得，所以直线即直线的斜率为，D选项正确.故选：ACD【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断.13．已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（

）A．当时，直线与圆相离B．若直线是圆的一条对称轴，则C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为【答案】ABD【分析】根据圆心到直线的距离，可判断A项；直线是圆的一条对称轴，则直线过圆心，可判断B项；当与圆相切时，取得最大值，转化为圆心到直线的距离，可判断C项；利用弦长公式及直角三角形的性质，结合三角函数求最值，即可判断D项.【解析】解：当时，直线：，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆心相离，故A正确；若直线是圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即，解得，故B正确；当与圆相切时，取得最大值，只需此时，即时，故圆心到直线的距离，解得，故C错误；设的中点为，，则，，故，当且仅当且点在点正上方时，等号成立，故D正确．故选：ABD．14．已知点在圆上，点，，则（

）A．点到直线的距离最大值为B．满足的点有2个C．过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为D．的最小值是【答案】ABCD【分析】对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；对B，设点，根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；对C，设，进而得到切线方程MB,NB，再根据点B在两条切线上求得答案；对D，设，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案.【解析】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为.A正确；对B，设点，则，且，由题意，两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个.B正确；对C，设，则直线MB,NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为.C正确；对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，则有，即，∴，，所以，所以D正确.故选：ABCD.15．已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（

）A．对于任意直线m，均有AE⊥PFB．不存在直线m，满足C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|【答案】AC【分析】A选项由E为线段PF的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由及抛物线方程求出坐标，再说明三点共线，即存在直线即可；C选项设，表示出直线AE，联立抛物线，利用即可判断；D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断.【解析】A选项，如图1，由抛物线知O为DF的中点，轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知，所以，所以A正确；B选项，如图2，设，，，，，E为线段PF的中点，则，，由得，解得，，又，故，，又，可得，，故存在直线m，满足，选项B不正确．C选项，由题意知，E为线段PF的中点，从而设，则，直线AE的方程：，与抛物线方程联立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直线AE与抛物线相切，所以选项C正确．D选项，如图3，设直线m的方程，，，，由，得．当，即且时，由韦达定理，得，．因为，，所以，又，，所以成立，故D不正确．故选：AC．16．抛物线C：的焦点为F，直线l过点F，斜率为k，k>0，且交抛物线C于A、B两点(点A在x轴的下方)，抛物线的准线为m，AA1⊥m交m于A1，BB1⊥m交m于B1，点E(1，3)，P为抛物线C上任一点，下列结论正确的有（

）A．若，则 B．的最小值为－2C．若k=1，则|AB|=12 D．∠A1FB1=90°【答案】ABD【分析】作出图形，进而结合抛物线的定义和三角形相似判断A,B,D，再由焦点弦公式判断C，最后得到答案.【解析】如图所示，易知：.对A，延长BA交准线于Q，由并结合抛物线的定义可以设，由与相似可知，，设直线倾斜角为，则，则.A正确；对B，容易判断点E在抛物线外，设点P在准线上的投影为点，由抛物线的定义可知，，则当三点共线时，其最小值为.B正确；对C，设，易知直线l的斜率为1，将代入抛物线方程化简得：，则，由抛物线焦点弦公式可得：.C错误；对D，由可知，，所以.D正确.故选：ABD.17．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（

）A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则【答案】ABD【分析】由点在双曲线上及斜率公式即可判断A选项；设出，表示出，由A选项中斜率之积即可判断B选项；利用点关于直线对称求出点坐标，代入双曲线即可求出离心率，即可判断C选项；先判断出内切圆圆心的横坐标为，再借助勾股定理即可判断D选项.【解析】由题意知，，设，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则，则，又，则，A正确；对于B，设，则，由A选项知，即，又，，故，解得，即，B正确；对于C，易得双曲线的渐近线方程为，若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则有，解得，代入可得，即，解得，则C的离心率为，C错误；对于D，设的内切圆与分别切于三点，由切线长定理知，则，又，可得，则和重合，即的内切圆圆心的横坐标为，同理可得的内切圆圆心横坐标也为，则轴，且，作于，则即为切点，作于，则，，，在中，可得，即，整理得，D正确.故选：ABD.18．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（

）A．的最大值为9B．若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则C．若，则有或13D．设，的斜率分别为、，则的最小值为【答案】BD【分析】求得的最大值判断选项A；求得判断选项B；求得的值判断选项C；求得的最小值判断选项D.【解析】双曲线中、，焦距，实轴长不妨设，选项A：则，又，则由，可知，即，则的最大值为16.判断错误；选项B：以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则有则，解之得，则，则则.判断正确；选项C：若，由，可得或（因为，舍去）.判断错误；选项D：由，可得即，则故，（当且仅当时等号成立）即的最小值为.判断正确.故选：BD19．已知双曲线：和点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上在第一象限内的点，点为的内心，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为25 B．C． D．若，，则【答案】BC【分析】首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A，设的内切圆的半径为，利用面积公式及双曲线的定义计算即可判断B，设在上的垂足为，根据切线长定理可得，即可得到的坐标，记渐近线的倾斜角为，则，记则，利用临界值求出，即可求出的取值范围，即可判断C，延长交于点，由角平分线定理得到，即可求出、，即可判断D；【解析】解：因为双曲线：，所以，，，则、，双曲线的渐近线为，因为，所以，所以，当且仅当、、在同一直线且在之间时取等号，故A错误；设的内切圆的半径为，则，故B正确；设在上的垂足为，根据双曲线的定义及切线长定理可得，又，所以，所以，记渐近线的倾斜角为，则，记，则，当，即，解得，所以，则，所以，故C正确；延长交于点，由解得，由角平分线定理可知，所以，又由角平分线定理知，过点作交、分别于点、点，则，所以，所以，因为，所以又，解得，所以，故D错误；故选：BC20．对于椭圆，定义双曲线为其伴随双曲线，则下列说法中正确的有（

）A．椭圆与其伴随双曲线有四个公共点B．若椭圆的离心率是其伴随双曲线的离心率的，则伴随双曲线的渐近线方程C．若椭圆的左、右顶点分别为、，直线与椭圆相交于、两点，则直线与直线的交点在伴随双曲线上D．若椭圆的右焦点为，其伴随双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为或【答案】BCD【分析】求得椭圆与其伴随双曲线的交点判断选项A；求得伴随双曲线的渐近线方程判断选项B；求得直线与直线的交点判断选项C；求得椭圆的离心率判断选项D.【解析】选项A：由可得或即椭圆与其伴随双曲线有二个公共点，.判断错误；选项B：椭圆的离心率为，其伴随双曲线的离心率为则，整理得，即则伴随双曲线的渐近线方程.判断正确；选项C：椭圆的左、右顶点分别为、，则可令直线与椭圆的交点、，则直线为，直线为由可得即直线与直线的交点为，由可得点在双曲线上.判断正确；选项D：椭圆的右焦点为，其伴随双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，由，可得由为等腰三角形，可知等腰的顶点可能为或或当等腰的顶点为时，，化简得，这与已知相矛盾，不符合题意；当等腰的顶点为时，，整理得，即则椭圆的离心率为当等腰的顶点为时，，整理得则椭圆的离心率为故椭圆的离心率为或.判断正确.故选：BCD三、填空题21．设，求的最小值是___________.【答案】【分析】由配方化简可得d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值.【解析】解：，即d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，由题意得，解得故，则.故答案为：.22．如图1，等腰直角三角形，，为中点，为平面内过点的一条动直线，沿直线作如图2的翻折，点在翻折过程中记为点，在直线上的射影为，在平面上的射影落在直线上，则当取得最小值时，到直线的距离为________．【答案】##【分析】由给定条件证得，可得是过顶点C作直线l的垂线的垂足，再在平面内建立直角坐标系，利用点到直线距离结合均值不等式推理、计算作答.【解析】如图，平面，平面，则，而，，平面，于是得，因此，点三点共线，，以直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，则，依题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：，直线的方程：，则，，由得，解得，因此，，当且仅当，即时取“=”，此时，直线l：，直线：，由解得，则点到直线AB距离，故答案为：【点睛】思路点睛：平面图形翻折问题，在翻折过程中，始终位于同一平面内的点线位置关系和数量关系不变，否则将可能发生变化.23．已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】将方程的根转化为图象交点问题，画出图象，数形结合进行求解.【解析】方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．作出和的图象如图所示．当时，只需直线与圆相离，可得；当时，只需直线与圆相切，可得．故k的取值范围是．故答案为：24．已知曲线的方程是，给出下列四个结论：①曲线与两坐标轴有公共点；②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；③若点，在曲线上，则的最大值是；④曲线围成图形的面积大小在区间内．所有正确结论的序号是______．【答案】②③【分析】根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析个结论，即可得答案．【解析】根据题意，曲线的方程是，必有且，当，时，方程为，当，时，方程为，当，时，方程为，当，时，方程为，作出图象：依次分析个结论：对于①，由于，，曲线与坐标轴没有交点，故①错误；对于②，由图可知，曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确；对于③，若点，在曲线上，则当且仅当、与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，故的最大值是圆心距加两个半径，为，故③正确；对于④，当，时，方程为与坐标轴的交点，，则第一象限面积为，故总的面积大于，故④错误．故答案为：．25．已知分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆的面积为，圆的面积为，则______________.①的取值范围是

②直线与轴垂直③若，则

④的取值范围是【答案】②③④【分析】根据双曲线渐近线的倾斜角判断①；利用双曲线的性质和切线长的定义判断②；根据平面几何的知识得后，再根据直角三角形相似求得判断③；根据得范围，再根据基本不等式求解即可.【解析】解：如图，设与圆的切点分别为，由切线的性质得的横坐标相等，，由双曲线的定义得，所以，所以，设，则，解得，即的横坐标，同理可得的横坐标也是，对于①，双曲线的渐近线方程为，倾斜角分别为，故当过且倾斜角满足时，直线与双曲线的右支交于两点，故错误；对于②，由于两点横坐标相等，故直线与轴垂直，正确；对于③，连接，由三角形的内切圆圆心是角平分线的交点得，所以，，，故，即，当时，解得，此时直线轴，，，所以，故正确；对于④，因为，所以，，所以，又因为，故，所以，所以，故正确.故答案为：②③④26．设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．【答案】【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.【解析】由椭圆及双曲线定义得，，，因为，所以，，，因为，，，所以，则，因为，，由，所以，因此．故答案为：.27．已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________①直线l：是曲线和的公切线：②曲线和的公切线有且仅有一条；③最小值为；④当轴时，最小值为.【答案】①③④【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可.【解析】解：选项①，对于曲线，，当时，，，故直线与曲线相切与点；联立，可得，故此时直线与切于点，故直线l：是曲线和的公切线，故①正确；对于②，设公切线分别与切于点，则曲线的切线为：，曲线的切线为，根据与表示同一条直线，则有，解得，令，则有，可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，则有，根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线故曲线和的公切线有且仅有2条，故②错误；对于③，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，故有：，设点的坐标为：，则有：，令，可得，再次求导可得：，故在上单调递增，又，可得：当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；故，则，故，故③正确；对于④，当轴时，设，则，则有：，记，则有，令，解得：，故当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增；故有，故，故选项④正确.故答案为：①③④.28．已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______．【答案】4【分析】设直线：，利用韦达定理求得，设，利用判别式求得直线的方程，进而得到的坐标，从而可得，再利用基本不等式即得.【解析】由题可知，设直线：，直线:与联立消，得，设，，则，，∴，设，由，可得，∴，又，∴，∴，即，同理可得，所以可得，即，∴，∴，当且仅当，即取等号.故答案为：4.29．已知点在曲线：上，斜率为的直线与曲线交于，两点，且，两点与点不重合，有下列结论：（1）曲线有两个焦点，其坐标分别为，；（2）将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆；（3）面积的最大值为；（4）线段长度的最大值为3．其中所有正确结论的序号是______．【答案】（2）（3）【分析】将点代入曲线中，即可求出曲线的方程，即可判断（1）；将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），代入化简后为以原点为圆心，半径为2的圆，即可判断（2）；设直线为：，椭圆与直线联立，韦达定理，表示出，当时，即可求出的最大值；求出到直线直线：的距离，表示出面积，由均值不等式即可求出最大值，即可判断（4）.【解析】点在曲线：上，所以，所以曲线：，所以曲线为焦点在轴上的椭圆，所以，所以（1）错误；将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），设曲线上任意一点设为，扩大后的坐标设为，所以，所以，因为在上，所以，所以化简后为：，表示以原点为圆心，半径为2的圆，所以（2）正确；设直线为：，所以联立得：，即，，所以，因为，所以当时，，所以（4）错误；到直线直线：的距离为：，，当且仅当时取等，即时取等，故（3）正确.故选：（2）（3）.30．在直角坐标系内，点实施变换后，对应点为，给出以下命题：①圆上任意一点实施变换后，对应点的轨迹仍是圆；②若直线上每一点实施变换后，对应点的轨迹方程仍是，则；③椭圆上每一点实施变换后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线上每一点实施变换后