全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.当时，与等价的无穷小量是（）.【答案】(B)【考点】等价无穷小【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当时，此时，所以可以排除、、，所以选（B）.方法2：当时，，，又因为时，，所以，选（B）.设函数在处连续，下列命题错误的是().若存在，则若存在，则若存在，则存在若存在，则存在【答案】(D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明都正确，从而只有不正确。由存在及在处连续，所以，所以（A）正确；由选项（A）知，，所以存在，根据导数定义，存在，所以（C）也正确；由在处连续，所以在处连续，从而，即有.所以（B）正确，故此题选择（D）.方法2：举例法，举例说明（D）不正确，例如取，有存在而，，左右极限存在但不相等，所以在的导数不存在.（D）不正确，选（D）.如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设则下列结论正确的是（）332-1O1-2-3【答案】(C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，为的奇函数，则，由知，故为的偶函数，所以而表示半径的半圆的面积，所以，，其中表示半径的半圆的面积的负值，所以所以所以，选择(C)设函数连续，则二次积分等于（）【答案】(B)【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换【难易度】★★【详解】解析：画出该二次积分所对应的积分区域D，交换为先后，则积分区域可化为：所以，所以选择(B).设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）10203040【答案】(D)【考点】导数的经济意义【难易度】★★【解析】解析：|需求弹性|若，，无意义；若，解得：所以选(D)曲线渐近线的条数为（）0123【答案】(D)【考点】函数图形的渐近线【难易度】★★★【详解】解析：，所以是一条铅直渐近线；，所以是沿方向的一条水平渐近线；令令所以是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D）（7）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是()....【答案】(A)【考点】向量组线性相关的判别法【难易度】★★★【详解】解析：方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数，使得成立，则称线性相关.因，故线性相关，所以选择（A）.方法2：排除法因其中，.故是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,右乘时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有故线性无关，排除（B）.因其中，故是可逆矩阵，故有故线性无关，排除（C）.因其中，故是可逆矩阵，故有故线性无关，排除（D）.综上知应选（A）.（8）设矩阵，，则与（）.合同，且相似.合同，但不相似.不合同，但相似.既不合同，也不相似【答案】（B）【考点】相似矩阵的概念，矩阵合同的判定【难易度】★★【详解】解析：则的特征值为3，3，0;是对角阵，对角元素即是其特征值，则的特征值为1，1，0.的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，不相似.由的特征值可知，的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数，知与合同，应选（B）.(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为则此人第4次射击恰好第次命中目标的概率为()....【答案】【考点】事件独立性的性质，独立重复试验【难易度】★★【详解】解析：把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功.第4次射击恰好是第次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功，2次失败.根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为再加上第4次是成功的，其概率为.根据独立性原理，若事件独立，则所以，第4次射击为第二次命中目标的概率为所以应选（C）(10)设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为()....【答案】【考点】二维正态分布的性质、二维连续型随机变量的条件密度【难易度】★★★【详解】解析：二维正态随机变量中，与的独立等价于与不相关.而对任意两随机变量与，如果它们相互独立，则有.由于二维正态随机变量中与不相关，故与独立，且.根据条件概率密度的定义，当在条件下，如果则.现显然不为0，因此所以应选(A).二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）【答案】0【考点】洛必达法则，无穷小量的性质【难易度】★★【解析】解析：由洛必达法则，而，，所以是有界变量，根据无穷小量乘以有界量仍是无穷小量，所以（12）设函数，则【答案】【考点】高阶导数【难易度】★★【详解】解析：，，由数学归纳法可知把代入得：（13）设是二元可微函数，则_________【答案】【考点】多元复合函数一阶偏导数的求法【难易度】★★【详解】，把，代入，则：（14）微分方程满足的特解为y=_____________【答案】【考点】变量可分离的微分方程【难易度】★★【解析】令有原方程化为即此式为变量可分离的微分方程，两边积分，得把代入上式得：再把代入上式得：所以得特解（其中因为，所以）.（15）设距阵则的秩为＿＿＿＿＿【答案】1【考点】矩阵的秩【难易度】★★【详解】解析：由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知(16)在区间中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于的概率为＿＿＿＿＿＿.【答案】【考点】几何型概率【难易度】★★【详解】解析：不妨假定随机地抽出两个数分别为，它们应是相互独立的.如果把看成平面上一个点的坐标，则由于所以为平面上正方形：中的一个点.两个数之差的绝对值小于对应于正方形中的区域.11O1所有可能随机在区间中随机取的两个数，可以被看成上图中单位正方形里的点.的区域就是正方形中阴影的面积.根据几何概率的定义：三、解答题：17－24小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点附近的凹凸性.【考点】函数图形的凹凸性、多元隐函数的求导法【难易度】★★★【详解】解析：讨论曲线的凹凸性，实际上就是讨论的符号，而是由方程确定，所以实际上就是求隐函数的二阶导数并讨论其符号.对方程两边求导得：移向得：再两边求导得：在（1，1）点的值，又由在的附近连续，所以在附近，曲线为凸.（18）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中【考点】二重积分的性质、利用直角坐标计算二重积分、利用极坐标计算二重积分【难易度】★★★【详解】解析：D如图1所示，它关于x，y轴均对称，又f（x，y）对x，y均为偶函数其中D1是D的第一象限部分．图1图2由于被积函数分块表示，将D1分成（如图2）：D1＝D11∪D12，且于是而因此（19）（本题满分11分）设函数，在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得【考点】零点定理、罗尔定理【难易度】★★★★【详解】解析：（Ⅰ）命，由题设存在相等的最大值，设，使于是若，则取有.若，则取有.若，则由连续函数介值定理知，存在使.不论以上哪种情况，总存在使，即。（Ⅱ）由（I）知，存在使得，再由将在区间分别用罗尔定理知，存在使得再由罗尔定理知，存在使.即有.（20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.【考点】初等函数的幂级数展开式【难易度】★★★【解析】解析：记，因为所以，同理：所以展开成的幂级数为：其中，即(21）（本题满分11分）设线性方程组与方程有公共解，求得值及所有公共解.【考点】线性方程组的公共解【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立并对联立方程组的增广矩阵作初等行变换由此可知，要使此线性方程组有解，必须满足，即或.当时，，联立方程组（3）的同解方程组为由，方程组有个自由未知量.选为自由未知量，取：，解得两方程组的公共解为，其中是任意常数.当时,联立方程组（3）的同解方程组为解得两方程的公共解为.方法2：将方程组（1）的系数矩阵作初等行变换当时，，方程组（1）的同解方程组为由，方程组有个自由未知量.选为自由未知量，取：，解得（1）的通解为，其中是任意常数.将通解代入方程（2）.对任意的成立，故当时，是（1）、（2）的公共解.当时，，方程组（1）的同解方程组为由，方程组有个自由未知量.选为自由未知量，取：，解得（1）的通解为,其中是任意常数.将通解代入方程（2）.得，故当时，（1）和（2）的公共解为.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量,记，其中为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵.【考点】实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵【难易度】★★★★【详解】解析：（Ⅰ）由，可得，是正整数,故于是是矩阵的特征向量（对应的特征值为）.若，则因此对任意多项式，，即是的特征值.故，的特征值可以由的特征值以及与的关系得到，的特征值则有特征值所以的全部特征值为－2，1，1.由是实对称矩阵及与的关系可以知道，也是实对称矩阵，故属于不同的特征值的特征向量正交.由前面证明知是矩阵的属于特征值的特征向量，设的属于1的特征向量为，与正交，所以有方程如下：选为自由未知量，取，于是求得的属于1的特征向量为故的所有的特征向量为：对应于的全体特征向量为，其中是非零任意常数，对应于的全体特征向量为，其中是不同时为零的任意常数.方法1：令矩阵，求P的逆矩阵.则由，所以方法2：由知与分别正交，但是不正交，现将正交化：取.其中，再对单位化：其中，合并成正交矩阵，记由，有.又由正交矩阵的性质：，得.（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度.【考点】二维连续型随机变量的概率密度、两个及两个以上随机变量简单函数的分布【难易度】★★★★【详解】解析：计算可用公式求的概率密度：可用两个随机变量和的概率密度的一般公式求解.（卷积公式）此公式简单，但讨论具体的积分上下限会较复杂.另一种方法可用定义先求出然后再.（Ⅰ），其中为中的那部分区域；11O1求此二重积分可得（Ⅱ）方法1：根据两个随机变量和的概率密度的卷积公式有先考虑被积函数中第一个自变量的变化范围，根据题设条件只有当时才不等于0.因此，不妨将积分范围改成：现再考虑被积函数的第二个变量.显然，只有当时，才不等于0.且为为此，我们将分段讨论.因为有，即是而的取值范围是，所以使得不等于0的取值范围是如下图，在情况下，在阴影区域和，密度函数值不为0，积分方向如图所示，积分上下限就很好确定了，所以很容易由卷积公式得出答案。11O2积分方向1时，由于，故，故时，时，时，由于，故，故总之，方法2：11O1当时，；当时，；当时，当时，所以（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为