几何元素间的相对位置及综合问题解题方法

直线与平面平行两平面平行4.1平行问题第二页1第二页，共80页。⒈

直线与平面平行DBCAP若：AB∥CD则：AB∥P若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。几何条件：有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。第三页2第三页，共80页。fg

f

g结论：直线AB不平行于定平面[例1]试判断直线AB是否平行于定平面第四页3第四页，共80页。n

●●a

c

b

m

abcmn[例2]过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解d

dX第五页4第五页，共80页。正平线[例3]过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解c

●●b

a

m

abcmnn

d

dX第六页5第六页，共80页。b

a

af

fb[例4]试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面第七页6第七页，共80页。直线与特殊位置平面平行

当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。第八页7第八页，共80页。⒉

两平面平行若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。

判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。几何条件：两平面平行的作图问题有：第九页8第九页，共80页。两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。ⅠⅡⅢAB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ；

则：P∥Q第十页9第十页，共80页。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。两特殊位置平面平行第十一页10第十一页，共80页。c

f

b

d

e

a

abcdefXf

g

abcdefga

b

c

d

e

X两特殊位置平面平行两一般位置平面平行第十二页11第十二页，共80页。acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故两平面不平行。[例1]

判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MH第十三页12第十三页，共80页。[例2]试判断两平面是否平行m

n

mnr

rss

结论：两平面平行第十四页13第十四页，共80页。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k[例3]已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。第十五页14第十五页，共80页。[例4]试判断两平面是否平行。结论：因为PH平行SH，所以两平面平行第十六页15第十六页，共80页。直线与平面相交两平面相交4.2相交问题第十七页16第十七页，共80页。

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。1.

直线与平面相交要讨论的问题：(1)求直线与平面的交点。

(2)判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们将分别讨论一般位置的直线与平面或至少有一个处于特殊位置的情况。●●第十八页17第十八页，共80页。2.

两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①

求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。

②

判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。第十九页18第十九页，共80页。4.2.1特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交第二十页19第二十页，共80页。1.直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。b

ba

acc

m

mnn

k

k第二十一页20第二十一页，共80页。2.判断直线的可见性特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。kb

ba

acc

m

mn

nk

第二十二页21第二十二页，共80页。例1求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析:

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①

求交点②

判别可见性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。

还可通过重影点判别可见性。⑴

平面为特殊位置abcmnc

n

b

a

m

k

●k●1

(2

)2●1●●X第二十三页22第二十三页，共80页。km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵

直线为特殊位置空间及投影分析:

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①

求交点②

判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前，点Ⅱ位于MN上，在后，故k

1

为不可见。k

●2●1●●1

(2

)X第二十四页23第二十四页，共80页。()k21k'2'1'例2求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别

其可见性。第二十五页24第二十五页，共80页。4.2.2一般位置平面与特殊位置

平面相交求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。

1.求交线2.判断平面的可见性第二十六页25第二十六页，共80页。1.求交线MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

第二十七页26第二十七页，共80页。2.判断平面的可见性第二十八页27第二十八页，共80页。2.判断平面的可见性第二十九页28第二十九页，共80页。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●例3求两平面的交线

MN并判别可见性。⑴空间及投影分析：①

求交线②

判别可见性

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。m●n●

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。

还可通过重影点判别可见性第三十页29第三十页，共80页。a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●空间及投影分析：

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①

求交线②

判别可见性

点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故m

c

可见。作图X211'(2')m′●●●n′●●第三十一页30第三十一页，共80页。bc

d

e

f

a

b

acdef⑶投影分析

N点的水平投影n位于Δdef

的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。m●k●k

●nn'●①

求交线②

判别可见性作图●m

●ΔDEF的正面投影积聚第三十二页31第三十二页，共80页。4.2.3直线与一般位置平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点

示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点

示意图判别可见性

示意图第三十三页32第三十三页，共80页。1

2

QV21kk

步骤：1．过EF作正垂平面Q。2．求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。示意图以正垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点第三十四页33第三十四页，共80页。ABCQ过EF作正垂面QEF以正垂面为辅助平面求线面交点示意图ⅠⅡ第三十五页34第三十五页，共80页。2PH1

步骤：1．过EF作铅垂平面P。2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。k

k2

示意图以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点1第三十六页35第三十六页，共80页。过EF作铅垂面P以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图FCABPEFKEⅠⅡ第三十七页36第三十七页，共80页。f

e

e直线EF与平面

ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性124

3

（

）kk

(3)4示意图(

)2

1

第三十八页37第三十八页，共80页。4.2.4两一般位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线判别可见性第三十九页38第三十九页，共80页。两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．连接两个共有点，画出交线KE。示意图例4求两平面的交线第四十页39第四十页，共80页。两一般位置平面相交求交线的方法示意图利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL第四十一页40第四十一页，共80页。利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3

4

()34

21()1

2

第四十二页41第四十二页，共80页。4.2.5综合性问题解法试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。综合性问题解法

综合性问题解法

综合性问题解法

例5第四十三页42第四十三页，共80页。过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH分析第四十四页43第四十四页，共80页。m

n

h

hnmPV1

12

21．过点K作平面KMN//

ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H。3．连接KH，KH即为所求。作图第四十五页44第四十五页，共80页。直线与平面垂直两平面互相垂直4.3垂直问题第四十六页45第四十六页，共80页。4.3.1直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。第四十七页46第四十七页，共80页。定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO第四十八页47第四十八页，共80页。定理2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线（逆）的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO第四十九页48第四十九页，共80页。a

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例6平面由

BDF给定，试过定点M作平面的垂线。第五十页49第五十页，共80页。h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例7试过定点K作特殊位置平面的法线。第五十一页50第五十一页，共80页。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例8平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN

是否垂直于定平面。第五十二页51第五十二页，共80页。几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。PAB4.3.2两平面垂直第五十三页52第五十三页，共80页。反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ABⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠAB第五十四页53第五十四页，共80页。g

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例9平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面第五十五页54第五十五页，共80页。g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d结论：两平面不垂直XO例10试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面

是否垂直。第五十六页55第五十六页，共80页。

5.4.1空间几何元素定位问题

5.4.2空间几何元素度量问题4.4综合问题分析及解法

5.4.3综合问题解题举例第五十七页56第五十七页，共80页。求解综合问题主要包括：平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。综合问题解题的一般步骤：

1.分析题意2.明确所求结果，找出解题方法3.拟定解题步骤空间几何元素的定位问题（交点、交线）空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。第五十八页57第五十八页，共80页。4.4.1空间几何元素定位问题c

g

h

e

f

d

cefghdXO例11已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与

CD平行，并且与EF、GH均相交。第五十九页58第五十九页，共80页。分析所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF第六十页59第六十页，共80页。作图过程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

第六十一页60第六十一页，共80页。例12

试过定点A作直线与已知直线EF正交。第六十二页61第六十二页，共80页。EQ分析FAK过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。第六十三页62第六十三页，共80页。作图2

11

22

1a

efaf

e

1

2PVk

k第六十四页63第六十四页，共80页。4.4.2空间几何元素度量问题度量问题—是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求其实长或实形。

1.距离的度量点到点之间的距离.

求二点之间线段的实长（直角三角形法）。

点到直线之间的距离.过点作平面垂直于直线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。

点到平面之间的距离.过点作平面的垂线，求出垂足，

..再求出点与垂足之间的线段实长。第六十五页64第六十五页，共80页。直线与直线平行之间的距离直线与交叉直线之间的距离直线与平面平行之间的距离平面与平面平行之间的距离过一直线上任一点作另一直线的垂线，余下方法同点到直线的距离。包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取一点，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的距离。过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平面的距离。第六十六页65第六十六页，共80页。PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELF第六十七页66第六十七页，共80页。例13求点C到直线AB的距离。c

a

b

cabXO第六十八页67第六十八页，共80页。分析PABCK过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。第六十九页68第六十九页，共80页。作图过程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距离PV第七十页69第七十页，共80页。例14求两平行直线AB和CD的距离。c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距离PVd

d第七十一页70第七十一页，共80页。例15

求Ｍ点到△ABC平面的距离。

作出垂线后，用辅助平面法求出垂线与△ＡＢＣ平面的交点（即垂足），再用直角三角形法求出线段的实长即可。hfe

bm

b

a

c