河南省六市部分学校2023-2024学年高三上学期10月阶段性联考（期中）数学试题（原卷版+解析版）

第第页河南省六市部分学校2023-2024学年高三上学期10月阶段性联考（期中）数学试题（原卷版+解析版）★2023年10月25日

2023-2024学年度高三阶段性考试

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4．考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.全集，能表示集合和关系的Venn图是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】化简集合，根据两集合的关系，即可得出答案.

【详解】由已知，可得，

所以，根据选项的Venn图可知选项D符合.

故选：D

2.“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

利用充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】如，，满足，但不满足“”，

所以由得不出”，

若”，则，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

3.复数，则复数的（）

A.1B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化简得到，进而利用复数乘方运算法则得到答案.

【详解】，则，

故.

故选：A

4.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了.

【详解】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了，

所以.

故选：D

5.已知，且为锐角，则（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数值以及角的范围可求得，再利用两角和的余弦公式可得，用二倍角的余弦公式即可计算出结果.

【详解】由，且为锐角，所以，

可得，所以；

因此，

.

故选：D

6.已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】先由，得求出，再求出的坐标，然后利用投影向量的定义可求得结果.

【详解】因为，，所以，得，

所以，，

所以在上的投影向量的坐标为，

故选：C

7.已知，均大于1，满足，则下列不等式成立的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】先化简表达式，将问题转化，构造函数，画图分析即可.

【详解】由得：

，

即，

同理，

，

上述可化为：，其中且都大于1，

分别为，且，

令，

如图所示：

由图可得：

故选：B

8.已知直线是曲线的切线，则的最小值为（）

A.B.0C.D.3

【答案】A

【解析】

【分析】对曲线求导，求出其在处的切线方程，从而得到了切线中的关系，然后将所求进行构造，与已知条件建立联系，再用均值不等式求解最小值即可.

【详解】设直线与曲线相切于点，

当时，直线不是曲线的切线，故，

由得，所以切线方程为，即，

所以，所以，所以，

当且仅当即时，等号成立，

所以最小值为.

故选：A

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分．

9.是边长为2的等边三角形，为的中点．下列正确的是（）

A.B.

C.D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据向量的运算逐个判定即可

【详解】对于A：，A正确；

对于B：，B错误；

对于C：由平行四边形法则可知，所以，C正确；

对于D：，D错误，

故选：AC

10.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（）

A.的最小正周期为

B.的图象关于直线对称

C.

D.是的一个零点

【答案】ACD

【解析】

【分析】结合函数图像求出的解析式，进而判断AC；利用代入检验法可判断BD.

【详解】由图像可知，，，

所以，即，故A正确；

从而，

由五点法可得，因为，所以，

从而，故C正确；

因为，

所以不是的对称轴，故B错误；

因为，所以是的一个零点，故D正确.

故选：ACD.

11.判断平面与平面平行的条件可以是（）

A.平面内有无数条直线都与平行

B.直线，，且，

C.平面，且平面

D.平面内有两条不平行的直线都平行于平面

【答案】CD

【解析】

【分析】结合面面平行的判定方法逐项分析即可.

【详解】对A：结合图形可知A错误；

对B：结合图形可知B错误；

对C：由平面平行的传递性可以得证；

对D：由两平面平行的判定定理即可得证.

故选：CD.

12.已知为数列前项和，则下列结论成立的有（）

A.若数列为等比数列，且，则数列为等差数列

B.若数列为等差数列，若，则

C.若数列为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为2

D.若数列满足，且，则该数列的前100项和

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用等差数列与等比数列的定义及性质可判断选项ABC，根据所给数列表达式，找出规律求出即可.

【详解】A选项：依题意，设等比数列的公比为，

所以为常数，

所以数列为等差数列，故A正确；

B选项：数列为等差数列，设公差为，首项为，

则，

又，即，

化简可得，则，

，所以，

故B选项正确；

C选项：等差数列的前10项中，

偶数项的和为，

奇数项的和为，

又偶数项的和与奇数项的和之比为，

且，则，

解得，所以，故C选项正确；

D选项：因为，所以，

因为，

所以数列依次为：，

所以数列从第项起，周期为，

所以数列的前项的和为，

故D错误；

故选：ABC.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值等于________．

【答案】2

【解析】

【分析】由点知,再由点可得.

【详解】由图可知.

【点睛】本题解题关键在能结合图象中的点的坐标弄清楚数之间的对应关系.

14.已知等比数列中，若，则=__________．

【答案】9

【解析】

【分析】根据等比数列通项公式化简，解方程组得结果

【详解】因为等比数列中通项公式可知，，那么联立方程可知首项为128，公比为，

结合9.

故答案为：9.

15.若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．

【答案】（满足即可）

【解析】

【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.

【详解】与关于轴对称，

即关于轴对称，

，

则，

当时，可取的一个值为.

故答案为：（满足即可）.

16.关于的不等式的解集为________．

【答案】

【解析】

【分析】变形得到，设，从而求出，求导得到其单调性，从而得到不等式，求出解集.

【详解】可化为，

设，定义域为R，且，

故为奇函数，

且恒成立，

故在R上单调递增，

故，解得，

故解集为.

故答案为：

【点睛】利用同构思想来比较大小或解不等式是考试压轴题常考内容，本题要整理得到，从而看出要构造出的函数，研究函数的单调性，达到求解的目的.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式：

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；

（2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.

【详解】设等差数列的公差为，

由，可得

解得，

所以等差数列的通项公式可得;

（2）由（1）可得，

所以.

【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.

18.已知函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）将函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数的图象，求的最小值及取得最小值时的x的取值集合.

【答案】（1），；

（2），.

【解析】

【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再结合的单调性即可求得的单调增区间；

（2）先利用三角函数的图像变换得到的解析式，再结合的性质即可求得的最小值及取得最小值时的x的取值集合.

【小问1详解】

函数，

由，，可得，，

所以函数的增区间为，；

【小问2详解】

由题可得函数，

所以函数的最小值为，此时，即，

所以最小值为，取得最小值时的x的取值集合为.

19.设函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记的最小值为，证明：．

【答案】（1）答案见详解

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）由题意可得的定义域为,求出的导函数,通过判断导函数的符号即可判断的单调性；

（2）先结合（1）得到，解法一：先求导，，再根据导数的性质求得，进而即可证明；解法二：根据题意可得要证，即证，从而构造函数，求导，再根据导数的性质求得，进而即可证明．

【小问1详解】

依题意可得的定义域为，

由，

则，

当时，，则在上单调递增；

当时，

若，，此时单调递减；

若，，此时单调递增；

综上，

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

【小问2详解】

由（1）知，，即．

解法一：

则，

则，所以单调递减，

又，，所以存在，使得，

则当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减；

所以，

又，即，即，

所以，

显然在上单调递增，

又，所以，即．

解法二：

要证，即证，即证，即证，

令，则，

当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增；

所以，

所以，即．

20.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点E，

（1）求角B的大小；

（2）记，的面积分别为，在①，②这两个条件中任选一个作为已知，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）

（2）选①：；选②：

【解析】

【分析】（1）由，结合正弦定理及化简得到，即可求解；

（2）选①：由余弦定理列出方程求得，令，结合三角形的面积公式，求得则，，即可求得的值；

选②：由，求得，利用余弦定理列出方程求得，联立方程组求得，结合面积公式求得，即可求得的值.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理可得，

即

又由，

可得，

因为，可得，所以，

又因为，可得.

【小问2详解】

选①：因为，，

由余弦定理可得，

整理得，解得，

因为为的平分线，令，

则，，

所以，故的值为.

选②：，，，

由，解得，

又由，由余弦定理可得，

即，可得，

又因为，可得，所以，即，

联立方程组，解得，

由为的平分线，令，

所以，，

所以，故的值为.

21.已知抛物线，直线与交于两点且（为坐标原点）．

（1）求抛物线的方程；

（2）设，若直线的倾斜角互补，求的值．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用韦达定理法即求；

（2）由题可求，，再结合条件即得.

【小问1详解】

设，，

由，得，

故，

由，可得，即，

∴，

故抛物线的方程为：；

小问2详解】

设的倾斜角为，则的倾斜角为，

∴,

由，得，

∴，

∴，同理，

由，得，

∴，即，

故.

22.设，函数.

（1）当时，求在内的极值；

（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值.

【答案】（1）极大值是，无极小值；（2）

【解析】

【分析】（1）当时，可求得，令，利用导数可判断的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；

（2）表示出，并求得，由题意，得方程有两个不同的实根，，从而可得△及，由，得．则可化为对任意的恒成立，按照、、三种情况分类讨论，分离参数后转化为求函数的最值可解决；

【详解】（1）当时，.

令，则，显然在上单调递减，

又因为，故时，总有，所以在上单调递减.

由于，所以当时，；当时，.

当变化时，的变化情况如下表：

+-

增极大减

所以在上的极大值是，无极小值.

（2）由于，则.由题意，方程有两个不等实根，则，解得，且，又，所以.

由，，可得

又.将其代入上式得：.

整理得，即

当时，不等式恒成立，即.

当时，恒成立，即，令，易证是上的减函数.因此，当时，，故.

当时，恒成立，即，

因此，当时，所以.

综上所述，.

【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高

(

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)★2023年10月25日

2023-2024学年度高三阶段性考试

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4．考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.全集，能表示集合和关系的Venn图是（）

A.B.

C.D.

2.“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.复数，则复数的（）

A.1B.C.D.

4.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（）

A.B.C.D.

5.已知，且为锐角，则（）

A.B.C.D.

6.已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（）

A.B.C.D.

7.已知，均大于1，满足，则下列不等式成立的是（）

AB.C.D.

8.已知直线是曲线的切线，则的最小值为（）

A.B.0C.D.3

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分．

9.是边长为2的等边三角形，为的中点．下列正确的是（）

A.B.

C.D.

10.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（）

A.的最小正周期为

B.的图象关于直线对称

C.

D.是的一个零点

11.判断平面与平面平行条件可以是（）

A.平面内有无数条直线都与平行

B.直线，，且，

C.平面，且平面

D.平面内有两条不平行的直线都平行于平面

12.已知为数列前项和，则下列结论成立的有（）

A.若数列为等比数列，且，则数列为等差数列

B.若数列为等差数列，若，则

C.若数列为等差