上海市青浦区2023-2024学年高一上册期末数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

上海市青浦区2023-2024学年高一上册期末数学质量检测模拟试题一、填空题1．若集合，则___________．【答案】【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】因为集合，由交集的定义可得：，故答案为：.2．观察函数的图像，写出它的值域为___________．【答案】【分析】根据函数图像和函数的值域的定义即可求解.【详解】根据函数图像，函数的的最大值和最小值分别为2和0，而且函数值取值不间断，所以它的值域为.故答案为：.3．已知a是正实数，若，则a的取值范围是___________．【答案】【分析】根据指数函数的单调性求解.【详解】若，则指数函数在定义域上单调递增，则不满足题意；若，则，不满足题意；若，则指数函数在定义域上单调递减，则满足题意，所以.故答案为:.4．历史上著名的狄利克雷函数，那么___________．【答案】1【分析】根据分段函数的解析式代入即可得出答案.【详解】因为，所以，.故答案为：1.5．若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是___________．【答案】【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．故答案为：6．已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为___________．【答案】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出关于实数n的方程，解之即可得出答案.【详解】一元二次方程的两个实根分别为，所以，所以，解得.故答案为：.7．已知幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于y轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是___________（只需写出一个正确的答案）【答案】【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】根据幂函数的性质，要使幂函数在上是严格减函数，则，又因为图象关于y轴对称，所以为偶函数，综上可知：为负偶数，所以满足条件的幂函数的表达式可以是，故答案为：.8．已知，且，则实数m的值为___________．【答案】45【分析】根据已知结合换底公式可得，，代入整理可得，即可得出结果.【详解】由可知，，显然.则，，所以，，则由可得，，所以.故答案为：45.9．已知，且，若不等式对任意恒成立，则实数k的最大值是___________．【答案】2【分析】根据绝对值三角不等式即可求解.【详解】，当且仅当时取等号，因此若不等式对任意恒成立，则，故最大值为2．故答案为：210．已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则___________．【答案】##【分析】由已知可得，求出，，，可知零点在内，即可得出结果.【详解】因为，，根据二分法可得，，且，所以零点所在的区间为.所以.故答案为：.11．已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________．【答案】【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解.【详解】当时，在上单调递增，所以时，；当时，，①若，则在上单调递增，在上单调递减，则时，，即时，，又时，，此时，函数的值域为，不满足题意，舍去；②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去；③当时，在上单调递减，则时，，即时，，因为函数的值域为，又时，；则时，且，不等式解得：，不等式等价于时，，设（），因为在上单调递增，在上是增函数，所以在上单调递增，又，所以时，等价于，即，则不等式解得：，所以时，的解集为，综上：实数的取值范围是，故答案为：.12．已知函数和的表达式分别为．设．现有如下四个命题：①对任意实数，且，都有；②存在实数，且，使得；③存在实数，且，使得；④对任意实数a，存在，且，使得．其中的真命题有___________．（写出所有真命题的序号）【答案】②③【分析】根据的定义，可分别构造函数和，求导，利用单调性即可结合选项求解.【详解】对于①，若，则在定义域内单调递增，由于为二次函数，所以不可能在定义域上单调递增，故错误，对于②，记，则，当时，此时，此时有两个不相等的实数根，不妨设为且，此时当，，故在单调递减，故存在时，满足，故②正确，当，此时，此时，故此时在定义域内单调递增，故至多一个根，因此不存在，使得，故④错误，对于③，记，则，当时，此时，此时有两个不相等的实数根，不妨仍设为且，此时当，，故在单调递减，在单调递增，故一定存在，使得，，故③正确，故答案为：②③二、单选题13．如果，那么下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作差即可判断A、B项；根据不等式的性质可判断C、D项.【详解】对于A项，，因为，所以，，所以，所以，故A项错误；对于B，，因为，所以，所以，所以，故B项错误；对于C项，因为，根据不等式的性质可得，故C项正确；对于D项，因为，所以，根据不等式的性质可得，即，故D项错误.故选：C.14．已知集合，，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由求得或，然后即可得出答案.【详解】由可得，解得或.所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A.15．设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（

）A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一C．的最大值为3 D．的最小值为3【答案】D【分析】代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b的值唯一，则A项错误；代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a的值唯一，则B项错误；分、、三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出的范围，即可判断C、D项.【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误；对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误；对于C、D项，①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或.当时，即，此时有；当时，即，则，此时有.综上所述，.故C项错误，D项正确.故选：D.16．存在函数，满足对任意都有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义即可求解.【详解】根据函数的定义，对任意的，按照某种对应法则，存在唯一的与之对应.对于选项A：若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项A错误；对于选项B：若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项B错误；对于选项C：令，，所以，即，令，则有，即，所以存在这样的函数，C选项正确；对于D选项：若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项D错误；故选：C.三、解答题17．设集合．(1)若，试用区间表示集合A、B，并求；(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得.（2）根据列不等式，【详解】（1）当时，由得，所以.由得，所以，所以.（2）由得，所以，由于，所以，所以的取值范围是.18．已知指数函数在区间上的最大值与最小值之和等于12．(1)求的表达式：(2)若函数是奇函数，当时，．试求函数的表达式，并求此函数的零点．【答案】(1)(2)；函数3个零点为【分析】（1）根据函数表达式代入求值即可得解；（2）根据函数的奇偶性即可求解表达式，根据指数对数互化即可求出零点.【详解】（1）设，或，所以，即有，所以，所以或（舍），所以;（2）当时，，当时，，所以，又是奇函数，所以所以，所以，再根据是奇函数，所以，所以，令，得，此函数的零点为.19．某网红食品店近日研发出一款糕点，为给糕点合理定价，食品店进行了市场调研．调研发现，销售量（单位：斤）与定价x（单位：元/斤）满足如下函数关系：(1)为使销售量不小于150斤，求定价x的取值范围；(2)试写出总销售额）y（单位：元）关于定价x的函数表达式；并求总销售额的最大值，及此时定价x的值．【答案】(1)(2)定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.【分析】（1）由题意销售量不小于150斤，即解不等式即得定价x的取值范围；（2）由总销售额=定价销售量可得函数关系式，化简利用二次函数求最值即可得到总销售额的最大值及此时定价x的值.【详解】（1）因为量不小于150斤，所以，即，解得，又因为，则，故定价x的取值范围.（2）总销售额=定价销售量当时取得最大值，此时即定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.20．已知函数的表达式为，将函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到函数的图像，(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)求函数的表达式，并求的值；(3)若不等式恒成立，求ab的最大值；并指出当ab取得最大值时，a、b的值分别是多少？【答案】(1)奇函数(2)(3)ab的最大值为，此时.【分析】（1）由奇偶函数的定义结合对数函数的运算性质即可得出答案.（2）由函数的平移变换求出的表达式，再有对数的运算性质即可求出的值；（3）由（2）知，，所以关于对称，由于恒成立，所以，再根据均值不等式即可得出答案.【详解】（1）因为函数的定义域为，则，得：，所以函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为奇函数.（2）函数的图像向右平移1个单位，可得：，再向上平移2个单位，则，，因此求的值为.（3）由（2）知，，所以关于对称，由于恒成立，故，，的定义域为，所以由“复合函数”的单调性知，在上单调递增，所以即，因为，当且仅当“”时取等，所以，当且仅当“”时取等，将代入，解得：所以ab的最大值为，此时.21．已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”．(1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）；(2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有；(3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数；②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数．【答案】(1)函数不具有“性质”，函数具有“性质”(2)证明见解析(3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析【分析】（1）利用作差法结合“性质”的定义判断可得出结论；（2）利用“性质”的定义结合不等式可推导出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）取可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的、且，取，根据“性质”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得，即可证得结论成立.【详解】（1）解：函数不具有“性质”，函数具有“性质”，理由如下：设，，对任意的，，所以，，所以，函数不具有“性质”，对任意的，，所以，，所以，函数具有“性质”.（2）证明：因为函数具有“性质”，对任意的，，所以，，又因为，所以，，所以，，由不等式的可加性可得，故对任意的，.（3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：对于命题①，取函数，由（1）可知，函数具有“性质”，函数在区间上是严格增函数，但该函数在上不单调；对于命题②，对任意的，对任意的，，所以，，对任意的、且，取，必存在且，满足，因为函数在区间上是严格减函数，所以，，即，所以，，故，即，故函数在上是严格减函数.所以，命题②为真命题.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.上海市青浦区2023-2024学年高一上册期末数学质量检测模拟试题一、填空题1．____________.（用符号“”或“”填空）【答案】【分析】根据实数的定义及集合与元素的关系判断即可.【详解】解：.故答案为：.2．已知集合，且，则实数a的值为____________.【答案】或【分析】根据元素与集合的关系求解.【详解】因为，，所以，解得或，故答案为：或3．函数的定义域是__________.【答案】【分析】先利用对数式中真数为正得到，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解.【详解】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域是.故答案为：.4．是2的倍数，是6的倍数，则是的____________条件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）.【答案】必要非充分【分析】由充分性和必要性的定义即可得出答案.【详解】是2的倍数推不出是6的倍数，如，但是6的倍数能推出是2的倍数.故是的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.5．用有理数指数幂的形式表示（其中）____________.【答案】【分析】根据幂指数和根式之间的互化即可求解.【详解】，故答案为：6．设，则关于x的不等式的解集是____________.【答案】【分析】由于，根据指数函数的单调性可得，解不等式即可.【详解】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为.故答案为：7．已知一元二次方程的两个实根为，则____________.【答案】3【分析】先利用韦达定理求出，再由，代入即可得出答案.【详解】一元二次方程的两个实根为，所以，所以.故答案为：3.8．请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式的所有正整数解.【答案】①②④【分析】根据集合的概念即可判断.【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合；对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合；对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合.故答案为：①②④.9．设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是____________.①如果，且，那么；②如果，且，那么；③如果，那么；④如果，那么.【答案】①③④【分析】根据不等式的性质一一判断求解.【详解】对于①,因为，且，根据不等式的可加性，所以，故①正确；对于②，例如有，故②错误；对于③,，因为，所以，即，故③正确；对于④，因为，所以且，所以，故④正确，故答案为：①③④.10．已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是____________.【答案】9【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解.【详解】因为对数函数（且）的图象经过点，所以解得，所以，因为该函数图象经过点，所以解得，故答案为:9.11．已知正数a和b满足，用a及b表示____________.【答案】【分析】令，由，可得，进而可得以现由即可得答案.【详解】解：因为均为正数，令，则有，，又因为，所以，所以，所以，所以所以.故答案为：12．某同学在学习了基本不等式和幂指对运算后，通过查阅资料发现了一个不等式“，当且仅当时等号成立”，请借助这个不等式，解答下题：对任意，恒成立，则b的取值范围____________.【答案】【分析】由题意转化为恒成立，即求的最小值，根据可得，从而得到答案.【详解】由，可得，由得，对任意，恒成立，转化为求的最小值，因为，所以，所以，解得，当且仅当即时等号成立，所以b的取值范围为.故答案为：.二、单选题13．下列函数与函数相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当两函数定义域相同，对应关系相同时，为同一函数，对四个选项中的函数一一分析定义域和对应关系，选出答案.【详解】函数定义域为R，A选项，定义域为，A错误；B选项，定义域为R，且，与函数相同，B正确；C选项，，与函数不相同，C错误；D选项，定义域为，D错误.故选：B14．下列函数中，值域是的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A：的值域为；对于B：的值域为；对于C：的值域为；对于D：，，，的值域为；故选：D15．关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（

）A．幂函数的图象一定经过和B．幂函数的图象一定关于y轴或原点对称C．幂函数的图象一定不经过第四象限D．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点【答案】C【分析】由幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，函数的图象不经过点，所以A不正确；对于B，是非奇非偶函数，所以B不正确；对于C，对于幂函数，当时，一定成立，所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C正确；对于D，，则令，解得：或或，所以幂函数和有三个交点，所以D不正确.故选：C.16．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（

）A．在上是严格增函数 B．若，则C．若，则 D．函数的最小值为2【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A；取值计算判断B，C；借助均值不等式求解判断D作答.【详解】任意，恒成立，且，假设，则有，显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，，取，有，则，于是得，，，，，对于A，函数，，，并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，A不正确；对于B，，则，B正确；对于C，，则，而，有，又，因此，C正确；对于D，，，则有，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D正确.故选：A【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.三、解答题17．解不等式.【答案】【分析】对两边同时平方，由一元二次方程的解法即可得出答案.【详解】由可得：，则，则或.故不等式的解集为：18．已知集合，集合，用列举法表示集合.【答案】【分析】集合A,B中的元素均为函数图像上的点，故A与B的交集即为与的交点的集合.【详解】联立，解得：或，故19．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽x（单位：m）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度）【答案】居室的宽为5m时，居室的最大总面积是.【分析】由题意，若把材料全部用完，得到两间居室的总长为，再由长方形的面积公式建立模型求解.【详解】解：由题意，若把材料全部用完，则两间居室的总长为，设所建造的居室总面积，则，当居室的宽为5m时，居室的面积最大，居室的最大总面积是.20．小明在学习“用函数的观点求解方程与不等式”时，灵光一动，为课本上一道习题“已知为正数，求证：.”得到以下解法：构造函数，因为，当且仅当时取等号；所以对于函数可得，当且仅当