专题13 等差数列和等比数列的计算和性质（分层训练）（原卷版）

答案第=page22页，共=sectionpages33页专题13等差数列和等比数列的计算和性质【练基础】一、单选题1．（2021秋·广东深圳·高三深圳市龙华中学校考阶段练习）记为等差数列的前n项和．已知，则A． B． C． D．2．（2021·云南·统考二模）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（

）A． B． C． D．3．（2022秋·福建莆田·高三校考期中）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（

）A．

B．

C．3

D．84．（2022·四川遂宁·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，则（

）A．4043 B．4042 C．4041 D．40405．（2022·全国·高三专题练习）已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（

）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前5项和为（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440 B．330C．220 D．110二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，则（

）A． B．C．，，成等差数列 D．，，成等差数列10．（2022秋·河北沧州·高三统考阶段练习）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（

）A．数列是等比数列B．数列是等差数列C．数列的通项公式为D．11．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考期中）已知数列满足，，则（

）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递增数列 D．的前n项和12．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（

）A．是等差数列 B．C． D．存在使得三、填空题13．（2022·湖南常德·临澧县第一中学校考一模）已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的公差_________．14．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的各项均为正数，且，则___________.15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.16．（2022·全国·高三专题练习）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被除余，被除余，被除余，则在不超过的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.四、解答题17．（2019·湖北·校联考高考模拟）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．18．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.20．（2023·全国·高三专题练习）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【提能力】一、单选题21．（2019·湖南长沙·宁乡一中校考模拟预测）（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．822．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则（

）A． B． C．2022 D．404423．（2022秋·北京·高三北京八中校考开学考试）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（

）A． B．1 C．2 D．424．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．5625．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不相等的实数，，成等比数列，，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．26．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．27．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列中，，，则数列的前10项和（

）A． B． C． D．228．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）设是公差的等差数列，如果，那么（

）A． B． C． D．二、多选题29．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（

）A． B．C． D．数列的前项和为30．（2022·河北·模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（

）A． B．C． D．31．（2022·全国·高三专题练习）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（

）A． B． C． D．32．（2023·全国·高三）已知三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形，SA平面ABC，P为平面ABC内部一动点（包括边界）.若SA=，SP与侧面SAB，侧面SAC，侧面SBC所成的角分别为，点P到AB，AC，BC的距离分别为，那么（

）A．为定值 B．为定值C．若成等差数列，则为定值 D．若成等比数列，则为定值三、填空题33．（2022秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）在正项等比数列中，若，则______．34．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，设，．则__________．35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，等差数列满足，则__________．36．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为______．四、解答题37．（2023·全国·高三专题练习）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．38．（202