两个计数原理的综合应用

第2课时两个计数原理的综合应用知识点一两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点

完成，类类相加

完成，步步相乘不同点每类方案中的每一种方法

独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的每一种方法

独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整分类分步都能都不能知识点二两个计数原理的应用解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用.使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，还需特别注意以下两点：(1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“

”还是“

”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.分类时需要满足两个条件：①类与类之间要_____(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准.分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性.分类分步互斥(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想.预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.甲、乙、丙三人站队，其中甲站在最左端，则不同的站法种数为____.22.一个三位数的密码，每一位都由0～4的5个数字随机组成，则不同的密码种数为_____.1253.从1,2,3,4,5,6中选取3个数字，组成无重复数字的三位数，这样的三位数有_____个.1204.已知集合A＝{－2,0,1,2}，m，n∈A，使点P(m，n)在坐标轴上的点有____个.72.从1,2,3,4,7,9六个数中，任意两个不同数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数有多少？答(1)当取的两数中有1时，且1只能为真数，此时不管取哪一个数为底数对数的值都为0.(2)当两数都不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种.其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴即所有不同的对数的值的个数为1＋5×4－4＝17.要点一两个计数原理在排数中的应用例1数字不重复的四位偶数共有多少个？解(1)0在末位时，十、百、千分别有9,8,7种排法，共有9×8×7＝504(个).(2)0不在末位时，2,4,6,8中的一个在末位，有4种排法，首位有8种(0除外)，其余两位分别有8,7两种排法.∴共有4×8×8×7＝1792(个).由(1)(2)知，共有符合题意的偶数为504＋1792＝2296(个).跟踪演练1用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个：(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？解由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑.(1)百位数字有9种选择，十位数字和个位数字都各有10种选择.由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900(个).(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择.由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648(个).(3)百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择.由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288(个).要点二抽取(分配)问题例2高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(

)A.16种

B.18种C.37种

D.48种解析方法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种).综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种).方法二(间接法)先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：4×4×4－3×3×3＝37(种)方案.答案C规律方法解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用例举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.要点三涂色问题例3一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.(1)如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？解如题图1，先对a1部分种植，有3种不同的种植方法，再对a2，a3种植.因为a2，a3与a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步乘法计数原理得3×2×1＝6(种).(2)如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？解如图2，当a1，a3不同色时，有3×2×1×1＝6(种)种植方法，当a1，a3同色时，有3×2×2×1＝12(种)种植方法，由分类加法计数原理，共有6＋12＝18(种)种植方法.规律方法(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色.解决此类问题要特别关注图形的结构特征.如果图形不很规则，往往从某一块出发进行分步涂色，从而选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，每一类再进行分步.(2)涂色问题往往涉及两计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色.要点四种植问题例4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.解方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6(种)不同种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)不同种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18(种).方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种).规律方法按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步.例1中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种生物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有A.30种

B.50种

C.60种

D.90种一、有限制条件的计数问题√解析①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20(种)，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种).反思感悟解决有限制条件的计数问题的策略有限制条件的计数问题，一是直接法，从限制条件出发，即特殊优先原则，优先安排有限制条件的，通常适用于“分类”较少的时候；二是间接法，先不考虑限制条件计数，再减去不符合条件的，适用于“分类”较多的时候.跟踪训练1高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有A.16种 B.18种

C.37种 D.48种√解析方法一

(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种).综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种).方法二

(间接法)先计算3个班级自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案.例2

用0,1,2,3,4五个数字：(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？二、组数问题解三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个).(2)可以排成多少个三位数？解三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个).(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

解被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法.因而有12＋18＝30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.反思感悟对于组数问题，应掌握以下原则(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.跟踪训练2如果一个三位正整数a1a2a3，满足a1<a2且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为A.240 B.204C.729 D.920√解析按照十位数的情况分8类进行讨论：当十位数为2时，百位数只能选1，个位数可选1和0，有1×2＝2(个)凸数；当十位数为3时，百位数有2种选择，个位数有3种选择，有2×3＝6(个)凸数；同理可得，当十位数为4时，有3×4＝12(个)凸数；当十位数为5时，有4×5＝20(个)凸数；当十位数为6时，有5×6＝30(个)凸数；当十位数为7时，有6×7＝42(个)凸数；当十位数为8时，有7×8＝56(个)凸数；当十位数为9时，有8×9＝72(个)凸数.根据分类加法计数原理知共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)凸数.例3

将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？三、涂色问题1234解方法一

第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此,第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法.1234方法二

以需要的颜色分类，分三类.第一类，需4种颜色，即每块各涂1种颜色，共有5×4×3×2＝120(种)方法.第二类，需3种颜色，即把4块分三组.1,4各一组，2和3一组或2,3各一组，1和4一组，共有5×4×3＋5×4×3＝120(种)方法.第三类，需2种颜色，即把4块分两组，1与4一组，2与3一组，共有5×4＝20(种)方法，综上共有120＋120＋20＝260(种)不同的方法.1234反思感悟涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析.(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析.跟踪训练3如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现有5种颜色可供使用，求不同的染色方法.解由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法.当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法.由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420(种).3随堂演练PARTTHREE1.小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有A.27种

B.36种

C.54种

D.81种12345√解析小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法.2.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是A.5 B.12 C.15 D.412345√解析当x＝1时，y的取值可能为0,1,2,3,4,5，有6种情况；当x＝2时，y的取值可能为0,1,2,3,4，有5种情况；当x＝3时，y的取值可能为0,1,2,3，有4种情况.根据分类加法计数原理可得，满足条件的(x，y)的个数为6＋5＋4＝15.3.从1,3,5,7,9中选2个数字，从0,2,4,6中选1个数字，组成一个无重复数字的三位偶数，则满足条件的三位数的个数为A.100 B.80 C.75 D.6012345√解析第一步，从0,2,4,6中选一个数字放在个位，有4种方法.第二步，从1,3,5,7,9中选2个数字放百位和十位，有5×4＝20(种)方法，所以共有4×20＝80(个).123454.现有5名医生，10名护士，4名麻醉师，从这些人中选出1名医生，1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，其中医生甲不参加医疗小组，麻醉师乙参加医疗小组，则不同的方案种数为____.40解析第一步，选一名医生，有4种，第二步，选一名护士，有10种，第三步，选一名麻醉师，有1种.故共有4×10×1＝40(种)不同的方案.123455.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_____种.(用数字作答)750解析把4个格子从左至右依次记为ABCD，第一步，A涂色有6种方法，第二步，B涂色有5种方法，第三步，C涂色有5种方法，第四步，D涂色有5种方法.所以共有6×5×5×5＝750(种)不同的涂色方法.课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)有限制条件的计数问题.(2)组数问题.(3)涂色问题.2.方法归纳：分类讨论法、列举法、间接法.3.常见误区：在分类讨论计数时，容易重复计数或遗漏计数,如组数时，首位不能为0易忽视.4课时对点练PARTFOUR1.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为A.15 B.12 C.10 D.5基础巩固12345678910111213141516√解析分三类：第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成三位整数，其中偶数有2个.由分类加法计数原理知共有偶数5个.2.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，可配成的组数为A.22 B.55 C.60 D.6512345678910111213141516√解析分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果.第二类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60(组).3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有A.24种 B.18种

C.12种 D.6种12345678910111213141516√解析第一步，种黄瓜有3种方法，第二步，从白菜、油菜、扁豆3种品种中选2种，种在两块不同的土地上，有3×2＝6(种)方法.故共有3×6＝18(种)不同的种植方法.4.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复).若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有A.180种

B.360种

C.720种

D.960种12345678910111213141516√解析按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法.因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况.5.三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有A.1种

B.2种

C.4种

D.6种√12345678910111213141516解析画出树形图如图所示：所以经过三次后，毽子又踢回甲，有2种不同的传递方法.6.若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有_____.1234567891011121314151610个解析当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7，故共有10个这样的三角形.123456789101112131415167.现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的情况有___种.20解析因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9＝63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5＝20(种).123456789101112131415168.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有____种.96解析完成承建任务可分五步：第一步，安排1号有4种；第二步，安排2号有4种；第三步，安排3号有3种；第四步，安排4号有2种；第五步，安排5号有1种.由分步乘法计数原理知，共有4×4×3×2×1＝96(种).123456789101112131415169.用0,1,2,3，…，9十个数字：(1)可以组成多少个十位数字比个位数字大的两位数？解分类讨论，按十位数字为1,2,3，…，9，分9类讨论，共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(个).所以能组成45个十位数字大于个位数字的两位数.12345678910111213141516(2)可以组成多少个有重复数字的三位数？解用0,1,2…9十个数字，能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，故有重复数字的三位数有900－648＝252(个).1234567891011121314151610.用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.问：该板报有多少种书写方案？12345678910111213141516解分四步，第一步“英语角”用的粉笔颜色有6种不同的选法；第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色与“英语角”不同，有5种不同的选法；第三步,“理综视界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”都不同，有4种不同的选法；第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综视界”不同即可，有5种不同的选法；故共有6×5×4×5＝600(种)不同的书写方案.11.若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)时不产生进位现象，则称n为“开心数”.例如：因为32＋33＋34不产生进位现象，所以32是“开心数”；因为23＋24＋25产生进位现象，所以23不是“开心数”.那么小于100的“开心数”的个数为A.9 B.10 C.11 D.12综合运用12345678910111213141516√12345678910111213141516解析若“开心数”为个位数，则“开心数”为0,1,2共3种，若“开心数”为两位数，则十位数字只能从1,2,3中选取，个位数字只能从0,1,2中选取，故共有3×3＝9(种).综上，共有3＋9＝12(个)“开心数”.12.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有A.12种

B.18种

C.24种

D.36种√12345678910111213141516解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12(种)不同的排法.1234567891011121314151613.用0,1,2,3,4