专题21 双曲线 分层训练（解析版）

答案第=page22页，共=sectionpages33页专题21双曲线【练基础】单选题1．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】由双曲线方程的特征计算得m的范围，再由集合的包含关系可得结果.【详解】∵表示双曲线，∴.∴是表示双曲线的充要条件.故选：C.2．以双曲线的一个焦点为圆心，以为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为，结合垂径定理运算求解.【详解】由双曲线可得，∵双曲线的焦点到渐近线的距离，故所得弦长.故选：D.3．两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形，平面，平面截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到点的坐标，从而得到双曲线方程，然后结合离心率公式，即可得到结果.【详解】如图，设平面，平面与圆锥侧面的交线为，过垂直于的母线与曲线交于，不妨延长至，使.过垂直于的截面交曲线为，设在平面内的投影为点，以为原点，投影为轴建立平面直角坐标系，易知点为双曲线顶点.设，则可求点坐标为，代入方程：，知，故双曲线离心率为，故选:.4．已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线的定义，将点到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线的距离，进而得出结果.【详解】已知双曲线，可知，则，所以，分别为的左、右焦点，则，即，设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则.故选：A.5．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与在第二象限交于点，且双曲线的一条渐近线垂直平分线段，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由题知，，进而得直线、的方程并联立得，再将其代入双曲线方程整理得，再求离心率即可.【详解】解：由题设，渐近线，，因为以为直径的圆与在第二象限交于点，所以，因为双曲线的一条渐近线垂直平分线段，所以，，，所以，直线的方程为，直线的方程为，所以，联立方程得，所以，将代入整理得，即，所以，的离心率为.故选：D6．已知是双曲线上不同的三点，且，直线AC，BC的斜率分别为，（），若的最小值为1，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据向量共线可知两点关于原点对称，分别设出三点的坐标，利用点差法点差法表示出和，根据基本不等式求得取最小值时满足，计算即可求得离心率.【详解】根据题意，由可得原点是的中点，所以两点关于原点对称；不妨设，因为，所以，易知，又因为A、B，C都在双曲线上，所以，两式相减可得，即，所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立；所以，即，可得，即离心率.故选：A.7．已知为双曲线右支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线的斜率分别为，，若以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】设点，得，以为直径的圆经过点，得，得．又，，得，，又，得即可解决.【详解】设点，则，得

①．因为以为直径的圆经过点，所以，所以，即．由题意得，，所以，，所以，又，所以②．由①②得，所以.故选：B．【点睛】关键点点睛：找到等价转化的桥梁，即根据直线斜率间的关系得到，并能想到将化为的形式，从而得到．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为，因此直线的倾斜角的正切值为，即，所以有，设，由双曲线定义可知：，由余弦定理可知：，故选：B二、多选题9．已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若曲线表示两条平行线，则B．若曲线表示双曲线，则C．若，则曲线表示椭圆D．若，则曲线表示焦点在轴的椭圆【答案】BD【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若曲线表示两条平行线，则有或，且.若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，故A错；对于B选项，若曲线表示双曲线，则，由于且，则，可得，则，B对；对于C选项，若曲线表示椭圆，则，解得且，C错；对于D选项，若，则，则，曲线的方程可化为，此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D对.故选：BD.10．已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（

）A．C的方程为B．C的离心率为C．曲线经过C的一个焦点D．C的焦点到渐近线的距离为1【答案】CD【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，再逐项计算判断作答.【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，则设双曲线C：，又点在双曲线C上，有，即双曲线C的方程为，A错误；双曲线C的实半轴长，虚半轴长，半焦距，双曲线C的离心率，B错误；双曲线C的焦点坐标为，其中满足，C正确；双曲线C的焦点到渐近线的距离，D正确．故选：CD11．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，则（

）A．E的方程为 B．E的离心率为C．E的渐近线与圆相切 D．过点作曲线E的切线仅有2条【答案】ACD【分析】求得点P的轨迹方程判断选项A；求得E的离心率判断选项B；求得E的渐近线与圆的位置关系判断选项C；求得过点作曲线E的切线条数判断选项D.【详解】设点，由已知得，整理得，所以点P的轨迹方程为，故A正确；又曲线E的离心率，故B不正确；圆的圆心到曲线E的渐近线的距离为，又圆的半径为1，故C正确；如图：曲线E的渐近线，则过点作曲线E的切线仅有2条故D正确.故选：ACD12．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（

）A．的渐近线方程为 B．点的坐标为C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为4【答案】ACD【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项正确；对于B项，设，则，整理可得.又，所以，所以有，解得，所以点的坐标为，故B项错误；对于C项，如上图，显然为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.则垂直平分，即点为的中点.又是的中点，所以，，故C项正确；对于D项，，当且仅当，即时，等号成立.所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出.三、填空题13．已知双曲线的左､右焦点分别为的离心率为，点在上，点是双曲线与圆的一个交点，则的面积__________.【答案】1【分析】根据题意，由离心率可得的关系，再将点的坐标代入双曲线方程即可得到，然后联立双曲线与圆的方程即可得到点的坐标，从而得到结果.【详解】由题意得，所以，所以.因为点在上，所以，所以，解得.所以，所以双曲线的方程为.由，解得，所以.故答案为:14．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，A为双曲线的右支上一点，点A关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率为___________.【答案】【分析】由对称性和双曲线定义得到，，，在中，，由余弦定理列出方程，求出，得到离心率.【详解】由对称性可知：，故，由双曲线定义可知：，即，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，即，解得：，故离心率为.故答案为：15．不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为____________．【答案】2【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率.【详解】设，则，两式相减得，即，即，所以，因为是AB垂直平分线，有，所以，即，化简得，故.故答案为：216．已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，若E上存在点P，满足，（O为坐标原点），且的内切圆的半径等于a，则E的离心率为____________．【答案】##【分析】由可得，，再结合双曲线的定义可得，化简得，因为的内切圆的半径为a，所以，即，化简运算即可得E的离心率.【详解】因为，所以，，又因为P在双曲线上，所以，联立可得，，所以，因为的内切圆的半径为a，所以，即，即，所以，两边平方得，即，两边同时除以，得，，因为，所以．故答案为：.【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．四、解答题17．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在C上，且．(1)求C的标准方程；(2)设点P关于坐标原点的对称点为Q，不过点P且斜率为的直线与C相交于M，N两点，直线PM与QN交于点，求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据题意结合双曲线的定义的应用列方程组，解得与即可得出答案；（2）设，，直线MN的方程为，联立方程消去得，根据韦达定理得出，根据已知得出，由题意知，，当直线PM，QN的斜率均存在时，设出方程联立得，，即可比出答案，当直线PM的斜率不存在时，易求，，所以，当直线QN的斜率不存在时，易求，，所以，综上，即可得出答案.【详解】（1）由题意可知，，解得，，所以的标准方程为：．（2）设，，直线MN的方程为，由得，直线MN与C相交于M，N两点，，则．由题意知，，当直线PM，QN的斜率均存在时，，，所以直线PM的方程为，直线QN的方程为．两方程联立得，，显然，又，所以，当直线PM的斜率不存在时，易求得直线PM的方程为，直线QN的方程为，则，，所以．当直线QN的斜率不存在时，易求得直线QN的方程为，直线PM的方程为，则，，所以．综上，.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.18．已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.(1)求的面积；(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)为定值.·【分析】（1）设，根据两点间长度得出与，即可根据已知列式解出，即可得出答案；（2）根据第一问得出双曲线的方程，设，直线l的方程为，根据韦达定理得出，即可根据直线方程得出与，则根基两点斜率公式得出，化简代入即可得出答案.【详解】（1）依题意可知，，则，，又，所以，解得（舍去），又，所以，则，所以的面积.（2）由（1）可，解得，所以双曲线C的方程为，设，则，则，，设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根与系数的关系得，所以，，则，故为定值.·【提能力】一、单选题19．双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】设，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可.【详解】解：由题，设，因为所以，因为，所以，解得因为，解得，所以，双曲线的离心率为.故选：A20．已知双曲线的左、右焦点分为，，左、右顶点分别为，，点M，N在y轴上，且满足（O为坐标原点）．直线，与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形为矩形，且P，N，三点共线，则C的离心率为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】由四边形为矩形，可得，，设，则，由P，N，三点共线，可得，由P，M，三点共线，可得，即可得，从而得答案.【详解】解：如图所示：，由，则有，设，则，由，可得，取，同理可得，又因为，P，N，三点共线，所以，，所以，所以，P，M，三点共线，所以，，所以，所以，又因为，所以，即有，所以，所以.故选：A.21．已知点是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则双曲线C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.【详解】双曲线的渐近线方程为：，不妨令点A在直线上，，如图，因为，则，而，即有，，，由知，点在y轴同侧，于是，，，在中，，由得：，整理得：，化简得，解得或（舍去），所以，，双曲线方程为.故选：A22．已知双曲线的左､右焦点分别为，左顶点为为坐标原点，以为直径的圆与的渐近线在第一象限交于点.若的内切圆半径为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】渐近线与圆联立求出点坐标，两点间的距离公式求出的长，利用三角形等面积可建立之间的等量关系，同除，建立的一元二次方程，求解即可.【详解】由题意知，双曲线过第一､三象限的渐近线方程为，以为直径的圆的方程为.联立解得或所以，则.又的内切圆半径为，所以，则.结合，得，所以，解得或（舍去）.故选：A23．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知结合双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，即，则，则，即可得出双曲线的离心率为.【详解】双曲线（，）的渐近线的方程为，双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，根据双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，则，则，，则该双曲线的离心率为，故选：D.24．已知为双曲线左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为、，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线、的斜率为、，若以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设点，可得出，利用圆的几何性质可得，由，即可得出的值，由此可求得双曲线的离心率.【详解】设点，则，即有，①由、以及以为直径的圆经过点可知，所以，又，，所以，，由题意知，所以，②由①和②得，由得．故选：D.25．设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值.【详解】由双曲线定义得,故如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，，故方程为，联立，解得点Q的坐标为(Q为第一象限上的一点)，故故选：A26．已知双曲线（）的左、右焦点分别为F1，F2，M，N在C上，且，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据及得知的外心与重心重合，所以是等边三角形，就可以把M的坐标用表示出来，代入双曲线方程整理求解.【详解】由可知，点F1是的外心，由得，即，所以点F1是的重心，所以是等边三角形，由对称性可知MN⊥F1F2．且，，不妨设M在第二象限，所以点M的横坐标为，纵坐标为，故点．又点M在双曲线()上，所以，即，整理得，两边同时除以可得，解得，所以，又，所以．故选：D二、多选题27．若曲线C的方程为，则（

）A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为C．当时，曲线C表示圆，半径为1D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4【答案】BC【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的得离心率，得焦距判断AD，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B，由圆的标准方程判断C．【详解】选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错；选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确；选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确；选项D，曲线C表示椭圆时，或，时，，，，时，，，，所以，即，无最大值．D错．故选：BC．28．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（

）A．当时，点的轨迹为圆B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为D．当时，面积的最大值为3【答案】BCD【分析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则，利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．【详解】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；当时，如图1，点在线段AB上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即则椭圆的离心率，B正确；当为椭圆短轴顶点时，面积的最大若时，则，最大面积为，D正确；当时，过点作圆的切线，切点为若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接则∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支则点的轨迹为双曲线∴，渐近线方程为，C正确；故选：BCD．29．已知双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于渐近线的直线交两渐近线于A，B两点，若，则双曲线C的离心率可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设点，求出，由对称性设出l的方程，与渐近线方程联立求出线段AB长，再分情况计算作答.【详解】设点，由双曲线对称性，不妨令直线l垂直于渐近线：，即，则，直线l的方程为：，由解得点A的横坐标，由解得点B的横坐标，当时，点B在线段的延长线上，由得，因此有，整理得，则离心率，当时，点B在线段的延长线上，由得，因此有，整理得，则离心率，所以双曲线C的离心率为或.故选：BC30．已知双曲线，的左右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的面积为 D．的面积为1【答案】BD【分析】根据点差法，结合双曲线的定义逐一判断即可.【详解】，，因为A，B关于坐标原点对称，则，曲已知得，，两式相减得，所以，因为，所以，得，所以选项B正确A错误；因为P在右支上，记，则，因为，所以，解得或（舍去），所以的面积为．所以选项D正确C错误．故选：BD．【点睛】关键点睛：应用点差法和双曲线的定义是解题的关键.三、填空题31．已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为______．【答案】【分析】根据题意设点并解出Q点坐标为，再根据可得，即可解得，由P为双曲线右支上一点可得，解不等式即可求得离心率的取值范围.【详解】如下图所示，根据题意可得，设，则直线的方程为，所以直线与轴的交点，由可得，即，整理得，即；又因为P为双曲线右支上一点，所以，当时，共线与题意不符，即；可得，整理得，即，解得或（舍）；即双曲线E的离心率的取值范围为.故答案为：32．已知双曲线的右焦点为F，点O为坐标原点，点P是C的一条渐近线上的点，若，且，则m的值为______．【答案】4【分析】根据给定条件，求出双曲线右焦点F的坐标，一条渐近线方程，再利用点到直线距离公式及勾股定理求解作答.【详解】双曲线的右焦点，不妨令直线OP的方程为，因为，则有，又,因此，解得，所以m的值为4.故答案为：433．已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆与抛物线的公共点，，关于轴对称且位于轴右侧，，则椭圆的离心率的最大值为______．【答案】【分析】联立抛物线与椭圆方程，消元、解得或，再分和两种情况讨论，当时求出、的坐标，由，即可得到关于的不等式，解得即可.【详解】解：联立抛物线与椭圆的方程消去整理得到，解得或．①时，代入解得，已知点位于轴右侧，取交点，则，此时，与矛盾，不合题意．②时，代入解得．已知点，关于轴对称且位于轴右侧，取交点、，已知，则轴，．此时，即，两端同除以可得：，解得．因为，所以，所以．故答案为：34．已知直线与双曲线交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若的内心到y轴的距离不小于，则双曲线C的离心率取值范围是______.【答案】【分析】先求得的坐标，根据三角形的内心以及角平分线定理以及的内心到轴的距离的范围，求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围.【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以，，则.因为A是线段BD的中点，又轴，所以，，所以的内心G在线段EA上.因为DG平分，所以在中所以，设，所以，因为G到y轴的距离不小于，∴，∴.∴，故.故答案为：四、解答题(共0分)35．已知双曲线的右焦点为F，点分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于两点，设直线的斜率分别为，且.(1)求双曲线C的方程；(2)当点P在第一象限，且时，求直线l的方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）设点，根据，结合点P是双曲线上的点，化简求得，即得答案.（2）设，利用两角和的正切公式化简可得，设直线，并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，化简求得m的值，即得答案.【详解】（1）由题意得，设点.则.因为点P是双曲线上的点，则，∴.，∴，则双曲线C的方程为（2）设，点P在第一象限，则，又，故，同理可得，即，则直线l的斜率大于0，由（1）可知，设直线，联立，化简得，则，故,，代入韦达定理得，所以，解得或（舍去），所以直线l的方程为.【点睛】关键点点睛：解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般设出直线方程，并联立圆锥曲线，得到根与系数的关系式，化简求解，解答此题的关键在于要能利用两角和的正切公式结合进行化简得到，从而再结合根与系数的关系化简求解即可.36．已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且．(1)求此双曲线的方程；(2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得的值，由此可得双曲线方程；（2）由三点共线可设，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得的值，由此可得直线方程.【详解】（1）设，，则，，，解得：，；又在双曲线上，则，，，双曲线的方程