混凝土收缩徐变的位移法计算步长内应力的递推计算公式

混凝土收缩徐变的位移法计算步长内应力的递推计算公式

1混凝土徐变、收缩和应力随着经济的快速发展，许多已建成的道路需要扩建，其中桥梁的扩建是整个扩建项目的关键之一。对于混凝土桥梁,横向拼接时主梁的长期效应主要是由收缩徐变引起的。旧梁在使用多年以后,混凝土的收缩徐变基本已经完成,而拼接时新梁的混凝土龄期较短,收缩徐变还没有完成,拼接后新梁的收缩、徐变变形受到拼接处的旧梁的混凝土与横向抗剪钢筋的约束作用,必然会引起与新、旧梁之间的内力重分布。对于桥梁这样宽跨比较小的结构,收缩徐变产生的应力主要是沿桥梁纵向行车道方向,新梁的收缩作用在旧梁上产生纵向压应力,在新梁上产生纵向拉应力,如果拉应力过大,会引起横向收缩裂缝。因此,对横向拼接时新梁混凝土的收缩徐变效应进行分析具有重要的工程意义。徐变、收缩在超静定结构中所引起的次内力的计算方法大致有Dischinger法(微分方程求解)、Trost-Bazant法(代数方程求解)和有限元逐步增量法。对于结构形式、施工过程复杂的结构,大多采用有限元逐步增量法,在计算每时段内混凝土的收缩、徐变的总应变时,一般只叠加混凝土收缩应变,未考虑混凝土收缩产生应力重分布后的应力所引起的徐变作用,因而在加载初期收缩应变较大和徐变系数较大时计算误差可能很大。对于横向拼接的新旧混凝土梁,在分析拼接后桥梁结构的时间效应时,理应考虑每时段内收缩应力的徐变效应。在计算考虑施工过程的混凝土徐变时,通常假定混凝土应力变化呈阶梯状,如图1所示,假定每个施工阶段内的应力变化为常值,常值的变化只发生在每一施工阶段的开始时刻,而在时段中间保持不变。而对于新旧混凝土拼接结构,按有限元逐步增量法计算时,在每一时段内由混凝土收缩引起的应力也是连续变化的,须考虑应力连续变化的影响;当拼接新混凝土龄期较早时,也应同时考虑混凝土弹性模量对徐变的影响。2土拼接结构的弹性模量仿真考虑混凝土收缩徐变效应时,一般按式(1)计算ε(t)=σ(t0)[1E(t0)+ϕ(t,t0)E(t0)]+∫tt0[1E(τ)+ϕ(t,τ)E(τ)]dσ(τ)+εsh(t,t0)(1)式中σ(t0)为初始应力,ϕ(t,t0)为徐变系数,E(t)为t时刻混凝土的弹性模量,σ(t)包括收缩和徐变应力的增量,εsh(t,t0)为t0～t时间间隔内的收缩应变,ε(t)为总应变。对于新旧混凝土拼接结构,新梁的混凝土收缩会在新、旧梁上产生应力重分布,须考虑混凝土收缩应力的徐变作用,则总徐变应力和应变分别为σs(t)=σ(t)-σ(t0)-σsh(t,t0)εs(t)=ε(t)-σ(t0)E(t0)-εsh(t,t0)-σsh(t,t0)E(t)(2)式中σsh(t,t0)为由收缩引起的新、旧梁上的应力,式(2)代入式(1)整理,得εs(t)=σ(t0)E(t0)ϕ(t,t0)+∫tt0dσs(τ)E(τ)dτ[1+ϕ(t,τ)]dτ+∫tt0dσsh(t,τ)E(τ)dτϕ(t,τ)dτ(3)按照有效弹模法,γ(t,t0)=Eφ(t,t0)E(t0)=11+ρ(t,t0)ϕ(t,t0)。根据文献,取老化系数为ρ(t,t0)=11-e-0.665ϕ(t,t0)-0.107(1-e-3.131ϕ(t,t0))-1ϕ(t,t0),该公式对于持荷时间较长和持荷时间较短的情况都适用。混凝土的弹性模量随龄期增长而增大,拼接时新梁龄期较小时应考虑混凝土弹性模量变化对收缩徐变效应的影响,在每个时间段内可以近似取弹性模量的均值计算。式(3)可表示为σs(t)=ˉEφ(t,t0)[εs(t)-σ(t0)ˉE(t,t0)ϕ(t,t0)-σsh(t,t0)ˉE(t,t0)ρ(t,t0)ϕ(t,t0)](4)式中ˉE(t,t0)为t0～t时间段内弹性模量的平均值。3单元杆端力生产工艺描述,描述以下生成一个描述式(4)中,εs(t)-σ(t0)ˉE(t,t0)ϕ(t,t0)-σsh(t,t0)ˉE(t,t0)ρ(t,t0)ϕ(t,t0)为弹性应变,所以结构的徐变应变能为U=12∫vˉEφ(t,t0){ε2s(t)-2εs(t)⋅[σ(t0)+σsh(t,t0)ρ(t,t0)]ϕ(t,t0)ˉE(t,t0)+[σ(t0)+σsh(t,t0)ρ(t,t0)ˉE(t,t0)]2ϕ2(t,t0)}dv(5)积分公式中前两项可以通过虚功原理进行变换。在图2中假定单元ij的徐变等效弹性模量为ˉEφ(t,t0),应变为εs(t),杆端力和杆端位移分别为{Fφ(t,t0)}={NiQyiQziTiMyiMziNjQyjQzjTjMyjMzj}T{δ}={uiviwiθxiθyiθziujvjwjθxjθyjθzj}T图2(b～d)分别为三种虚位移状态,根据有限元理论,状态(a)的力对状态(b)的虚位移所作的虚功为∫vσs(t)εs(t)dv=∫vˉEφ(t,t0)ε2s(t)dv={δ}Τ{Fφ(t,t0)}=γ(t,t0){δ}Τ[Κ]{δ}(6)同理,状态(a)的力对状态(c)的虚位移所作的虚功为状态(a)的力对状态(d)的虚位移所作的虚功为∫vσs(t)σ(t0)ˉE(t,t0)dv=γ(t,t0){δ}Τ[Κ]{δ0t1}(7)∫vσs(t)σsh(t,t0)ˉE(t,t0)dv=γ(t,t0){δ}Τ[Κ]{δ0t2}(8)将式(6)～式(8)代入式(5)并根据卡氏第一定理得到:{F}=∂U∂{δ}=γ(t,t0)[Κ][{δ}-ϕ(t,t0){δ0t1}-ρ(t,t0)ϕ(t,t0){δ0t2}]=γ(t,t0)[Κ][{δ}-{δ*0t}](9)式(9)表明了由徐变引起的单元杆端力与杆端位移之间的关系。该式表明由徐变引起的杆端力由三部分组成:第一部分为由徐变位移{δ}产生的杆端力;第二部分为由初应力引起的徐变相应的杆端力;第三部分为由混凝土收缩应力引起的徐变相应的杆端力,可以根据初应变法求得收缩的弹性位移{δt0}后求得。由于徐变分析是以结构初始内力为基础的,所经历的时间段除约束反力发生变化外并不增加新的外荷载,因此将各单元在单元坐标系内由徐变引起的杆端力列阵转换到结构整体坐标系内进行叠加,便可得到结构的总体平衡方程,引入边界条件便可解得徐变引起的单元杆端位移{δ},进而求得徐变引起的单元杆端力{F}和徐变约束反力。由式(9)可推导出第i阶段的单元平衡方程:{Fi}=γ(ti,ti-1)[K][{δi}-{δ*0i}](10)4混凝土徐变应变的计算分析新、旧混凝土梁拼接后在各时间段内收缩应力的徐变效应时,采用增量法形式的徐变应变表达式,实际结构中应力与时间的关系如图3所示。图3中σi表示ti-1～ti时段内的收缩应力增量,σ*i表示在ti-1～ti时段内的徐变应力增量,新、旧梁拼接时结构的初始应力为σ0。考虑混凝土弹性模量变化对收缩徐变效应的影响,根据式(3),由图3可以写出时刻tn的徐变应变为sεs(tn)=σ0¯ˉE(tn,t0)ϕ(tn,t0)+n∑i=1∫titi-1dσ*i(τ)ˉE(ti,ti-1)[1+ϕ(tn,τ)]dτ+n∑i=1∫titi-1dσi(τ)ˉE(ti,ti-1)ϕ(tn,τ)dτ(11)同理,可写出在时刻tn-1的徐变应变为sεs(tn-1)=σ0ˉE(tn-1,t0)ϕ(tn-1,t0)+n-1∑i=1∫titi-1dσ*i(τ)ˉE(ti,ti-1ˉ)[1+ϕ(tn-1,τ)]dτ+n-1∑i=1∫titi-1dσi(τ)ˉE(ti,ti-1)ϕ(tn-1,τ)dτ(12)则第n个阶段即ti-1～ti的徐变应变为εs(tn)=σ0E¯(tn,tn-1)[ϕ(tn,t0)-ϕ(tn-1,t0)]+∑i=1n-1∫ti-1tidσi*(τ)E¯(ti,ti-1)[ϕ(tn,τ)-ϕ(tn-1,τ)]dτ+∫tn-1tndσn*(τ)E¯(tn,tn-1)[1+ϕ(tn,τ)]dτ+∑i=1n-1∫ti-1tidσi(τ)E¯(ti,ti-1)[ϕ(tn,τ)-ϕ(tn-1,τ)]dτ+∫tn-1tndσn(τ)E¯(tn,tn-1)ϕ(tn,τ)dτ(13)每个时段内由混凝土收缩引起的应力是连续变化的,可以利用积分中值定理,近似计算徐变应变。令ϕni=ϕ(tn,ti)-ϕ(tn-1,ti),ϕ¯ni=ϕ(tn,tξ)-ϕ(tn-1,tξ)≈ϕ(tn,ti-1/2)-ϕ(tn-1,ti-1/2),ti-1/2=12(ti+ti-1),则式(13)可以表示为εs(tn)=σ0E¯(tn,tn-1)ϕn0+∑i=1n-1σi*E¯(ti,ti-1)ϕ¯ni+σn*E¯φ(tn,tn-1)+∑i=1n-1σiE¯(ti,ti-1)ϕ¯ni+σnE¯(tn,tn-1)ρ(tn,tn-1)ϕ(tn,tn-1)(14)根据式(10),单元杆端力{Fi}是完全由徐变引起的杆端力,所以由σi*/E¯φ(ti,ti-1)产生的杆端位移为{δi}-{δ*0i}。由式(14)可写出第n阶段由徐变引起的杆端位移为{δ0n*}={δ00}ϕn0+∑i=1n-1({δi}-{δ0i*})γ(ti,ti-1)ϕ¯ni+∑i=1n-1{δti}ϕ¯ni+{δtn}ρ(tn,tn-1)ϕ(tn,tn-1)(15)式中{δ00}为施加初始应力产生的杆端位移,{δi}为第i阶段(ti-1～ti时段)的总徐变位移,{δ*0i}为第i阶段由其前阶段施加的结构内力所产生的徐变位移,{δti}为第i阶段收缩应力增量σi产生的单元杆端位移。由式(15)计算出每阶段徐变杆端位移{δ*0i},计算各单元在单元坐标系内由徐变引起的杆端力列阵,然后转换到结构整体坐标系内叠加,得到结构的总体平衡方程,引入边界条件即可求得单元杆端位移{δi},代入式(10)可以求得每阶段由徐变引起的单元杆端力{Fi}和徐变约束反力。程序计算基本过程如图4所示。将各阶段由徐变引起的单元杆端力和徐变约束反力叠加,即得到t0～tn时段内总的徐变效应,徐变效应反号后再与每阶段的弹性计算结果叠加即得到新、旧混凝土拼接后的结构内力和位移。5混凝土应变分析大连理工大学的刘健对新、旧混凝土试件的收缩性能进行了试验研究。试验的旧混凝土于1998年12月浇筑,尺寸为100mm×100mm×515mm。1999年6月将旧混凝土表面人工早毛处理并用气囊吹干净后直接浇筑新混凝土,制成尺寸为100mm×200mm×515mm的约束收缩试件,如图5所示。新、旧混凝土的强度等级均为C30,同时制作新混凝土的自由干燥收缩试件,尺寸与旧混凝土试件相同。由于混凝土的徐变特性,收缩应力必然产生徐变,因此在计算中应该考虑混凝土试件的收缩、徐变作用。根据以上介绍的位移增量法,分别按图1所示的每个计算步长内应力为常值和图3中应力为变值,编制计算收缩徐变的有限条程序,按图6所示的模型,新、旧混凝土之间完全粘结,计算新、旧混凝土试件拼接以后120天内由新混凝土沿试件纵向的收缩应力产生的徐变效应。然后计算测点2和测点3的混凝土应变值,每个计算步长分别取1～60天进行计算,并与试验值比较,比较结果列入表1。混凝土收缩应变计算采用文献中同批制作的自由收缩试件的实测值回归曲线εsh(t)=t34.62+2.322t×10-3,新、旧混凝土随龄期变化的弹性模量按照美国ACI209委员会1982年的报告计算,E(t)=E28t4.2+0.85t。由表1可以看出,分别按每个计算步长内应力为变值和常值时,计算步长为1天则计算值与实测值的相对误差基本一致,但随着计算步长增大计算值与实测值的相对误差的差异逐渐增加,计算步长为60天时测点2的相对误差分别为8.6%和14.2%,测点3的相对误差分别为7.5%和13.7%。由此可知,计算步长划分很小时每个计算步长内应力分别为变值和常值的计算误差相同;但计算步长较大时,按应力为常值计算的与实测值的相对误差则会明显增大,而按应力为变值计算的不同步长的值与实测值相对误差变化不大。由于每步长内按应力为变值计算时采用积分中值定理作了近似简化,计算步长相差60倍时计算值与实测值误差最小,若步长进一步增大则计算误差则会增大。因此采用每个步长内应力变化为变值计算可以适当增大步长减少叠加次数,从而提高计算精度并加快程序计算速度。